一意性定理と反転公式

定理 3.3（「特性関数と Gauss ベクトル」§3）・ ✓公理まで証明済み

$\mu,\nu$ を $\mathbb{R}^d$ の確率測度とする。

$\varphi_\mu=\varphi_\nu$ ならば $\mu=\nu$ 。
$\varphi_\mu\in L^1(\mathbb{R}^d)$ ならば、 $\mu$ は有界連続な密度 $p(x)=\frac{1}{(2\pi)^d}\int_{\mathbb{R}^d}\varphi_\mu(t)\,e^{-i\langle t,x\rangle}\,dt$ を持つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 66 件、定義なども含めて 84 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Gauss 平滑化✓補題 3.1・特性関数と Gauss ベクトル
- Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理（上で展開済み）
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
- 正規分布の特性関数✓補題 2.3・特性関数と Gauss ベクトル
  - ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
    比較判定法と絶対収束✓定理 2.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
    置換積分✓定理 6.1・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
  - 特性関数の基本性質✓命題 2.2・特性関数と Gauss ベクトル
    独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値この先をたどる →
    積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
有界連続関数は分布を決める✓補題 3.2・特性関数と Gauss ベクトル
- 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理

これを使っている定理証明で参照している 17 件

多次元正規分布からの生成✓命題 5.3・分布からの標本抽出
カイ二乗分布の密度✓命題 4.2・線形モデル
指数型分布族の完備性✓定理 5.4・統計モデルと十分統計量
Lévy の連続性定理（極限関数の連続性による存在）✓定理 4.7・特性関数と Gauss ベクトル
Gauss ベクトルの構造✓定理 5.2・特性関数と Gauss ベクトル
無相関ならば独立✓命題 5.3・特性関数と Gauss ベクトル
Gauss ベクトルの極限も Gauss✓命題 5.5・特性関数と Gauss ベクトル
伊藤のマルチンゲール表現定理✓定理 5.2・Girsanov の定理とマルチンゲール表現定理
エセーンの平滑化不等式✓補題 5.8・大数の法則と中心極限定理
ジャンプの様子✓命題 5.3・Markov 連鎖と Poisson 過程
特性関数による独立性と分布の判定✓補題 6.2・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
ウィーナー積分の分布と独立性✓命題 4.8・確率微分方程式
オルンシュタイン・ウーレンベック過程の解の表示と分布✓命題 5.5・確率微分方程式
Lévy の連続性定理（多次元）✓定理 5.2・確率測度の弱収束
4 次元 Ising 模型のスケーリング極限の Gauss 性（原論文 Theorem 1.2 の Ising 版）✓定理 7.5・Aizenman–Duminil-Copin『Marginal triviality of 4D Ising and φ⁴₄』(2021) 第 3 部
φ⁴₄ のスケーリング極限の Gauss 性（原論文 Theorem 1.2 の GS 族の場合）✓定理 7.3・Aizenman–Duminil-Copin『Marginal triviality of 4D Ising and φ⁴₄』(2021) 第 4 部
自由場のブロックスピン共分散（原論文 (2.12)–(2.15)）✓命題 3.1・Gawędzki–Kupiainen『Massless lattice φ⁴₄ theory』(1985) 第 1 部

一意性定理と反転公式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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