数学 › 確率論 › 多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
特性関数による独立性と分布の判定
を 値確率変数、 を部分 σ-加法族、 とし、すべての と について
が成り立つとします。このとき は と独立で、 に従います。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 67 件、定義なども含めて 85 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
正規分布の特性関数✓補題 2.3・特性関数と Gauss ベクトル
ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
比較判定法と絶対収束✓定理 2.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
- 単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
- 広義積分のコーシーの判定法✓定理 2.2・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数 この先をたどる →
置換積分✓定理 6.1・積分の基本定理と定積分
- 連続関数は原始関数をもつ✓系 5.3・積分の基本定理と定積分 この先をたどる →
- 連鎖律✓定理 7.2・導関数の定義と基本的な微分法 この先をたどる →
- 連続関数の可積分性と区分求積法✓定理 3.5・積分の基本定理と定積分 この先をたどる →
- 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分 この先をたどる →
特性関数の基本性質✓命題 2.2・特性関数と Gauss ベクトル
独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値
- 確率変数の独立性定義 2.3・確率変数と期待値
- 変数変換公式✓定理 4.5・確率変数と期待値 この先をたどる →
- 分散と共分散の基本性質✓命題 5.3・確率変数と期待値 この先をたどる →
積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
- の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
- 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
- ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理 この先をたどる →
- ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
一意性定理と反転公式✓定理 3.3・特性関数と Gauss ベクトル
Gauss 平滑化✓補題 3.1・特性関数と Gauss ベクトル
Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
- 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
- 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
- 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
- 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
- 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
- 正規分布の特性関数✓補題 2.3・特性関数と Gauss ベクトル（上で展開済み）
Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
- Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
- 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
有界連続関数は分布を決める✓補題 3.2・特性関数と Gauss ベクトル
測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理
- Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
- 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理 この先をたどる →
これを使っている定理 証明で参照している 2 件
- Girsanov の定理✓定理 4.1・Girsanov の定理とマルチンゲール表現定理
- Lévy の特徴付け✓定理 6.4・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け