数学 › 確率論 › 確率変数と期待値

分散と共分散の基本性質

命題 5.3（「確率変数と期待値」§5）・ ✓公理まで証明済み

$X, Y, X_1, \ldots, X_n \in L^2$ 、 $a, b \in \mathbb{R}$ とする。

$\mathrm{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ 、 $\mathrm{Cov}(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]$ 。
$\mathrm{Var}(aX + b) = a^2 \mathrm{Var}(X)$ 。特に分散は定数の平行移動で不変。
$\mathrm{Cov}$ は対称な双線形形式で、 $\mathrm{Cov}(X,X) = \mathrm{Var}(X)$ 。
$\mathrm{Var}\Bigl(\sum_{i=1}^{n} X_i\Bigr) = \sum_{i=1}^{n}\mathrm{Var}(X_i) + 2\sum_{1 \le i < j \le n} \mathrm{Cov}(X_i, X_j)$ 。
$\mathrm{Var}(X) = 0$ であることと、 $P(X = E[X]) = 1$ であることは同値。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 2 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

期待値定義 4.1・確率変数と期待値
確率空間では L² ⊂ L¹✓命題 5.2・確率変数と期待値

これを使っている定理証明で参照している 15 件

温度の極限・順位の保存・エントロピーの単調性✓定理 4.2・推論
内積の分散は次元に比例する✓命題 4.4・自己注意
同じ種を渡すと分散は減らない✓命題 7.1・並列化と GPU
種についての平均と標準誤差✓命題 6.1・再現できる数値実験
再実行による分類の誤りと、不安定さの率の推定✓命題 4.2・継続的インテグレーション
可逆な連鎖の漸近分散✓定理 5.2・Markov 連鎖 Monte Carlo
Monte Carlo 推定量の誤差✓定理 2.2・Monte Carlo 積分と分散低減
対称変量の分散✓定理 4.3・Monte Carlo 積分と分散低減
制御変量の最適な係数✓定理 4.5・Monte Carlo 積分と分散低減
層別推定量の分散✓定理 5.4・Monte Carlo 積分と分散低減
窓つき推定量の偏り✓命題 4.1・統計誤差の解析
二元対称通信路の符号化定理（順方向）✓定理 8.1・線形符号
大数の強法則（コルモゴロフ）✓定理 4.5・大数の法則と中心極限定理
共分散に対するコーシー・シュワルツの不等式✓定理 5.6・確率変数と期待値
独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値

関連するノック 3 問