種についての平均と標準誤差

$X_1,\ldots,X_K$ を独立で同じ分布に従う確率変数（$K$ 個の種の結果のモデル）とし、$E[X_i]=\mu$, $\mathrm{Var}(X_i)=\sigma^2\lt\infty$ とする。$\bar X=\frac1K\sum_{i=1}^KX_i$ とおく。

1. $E[\bar X]=\mu$, $\mathrm{Var}(\bar X)=\sigma^2/K$ である。
2. $K\ge2$ のとき、$S^2=\frac{1}{K-1}\sum_{i=1}^K(X_i-\bar X)^2$ は $E[S^2]=\sigma^2$ を満たす。したがって $S^2/K$ は $\mathrm{Var}(\bar X)$ の不偏推定量である。
3. $K=1$ のとき、分散の不偏推定量は存在しない。正確には、分布の族 $\mathcal{P}$ が 1 点に集中する分布（$P(X=c)=1$）をすべての $c\in\mathbb{R}$ について含み、さらに分散が正の分布を 1 つ以上含むならば、「$\mathcal{P}$ のどの分布に従う $X_1$ についても $E[h(X_1)]=\mathrm{Var}(X_1)$」となる関数 $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ はない。