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変数変換公式

定理 4.5（「確率変数と期待値」§4）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を確率空間 $(\Omega,\mathcal{F},P)$ 上の確率変数、 $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ をボレル可測関数とする。

$g \ge 0$ ならば、 $[0,\infty]$ における等式として $E[g(X)] = \int_{\mathbb{R}} g(x) \, P_X(dx)$ が成り立つ。
一般の $g$ に対しては、 $g(X)$ が $P$ -可積分であることと $g$ が $P_X$ -可積分であることは同値で、そのとき上の等式が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 12 件、定義なども含めて 19 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

期待値定義 4.1・確率変数と期待値
分布と分布関数定義 3.5・確率変数と期待値
単関数の期待値の well-defined 性✓補題 4.2・確率変数と期待値
標準近似列✓命題 4.4・確率変数と期待値
- 確率変数定義 3.1・確率変数と期待値
- 単調収束定理✓定理 2.1・確率変数と期待値（上で展開済み）
単調収束定理✓定理 2.1・確率変数と期待値
- 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理

これを使っている定理証明で参照している 3 件

層別推定量の分散✓定理 5.4・Monte Carlo 積分と分散低減
離散型・連続型の計算公式✓系 4.6・確率変数と期待値
独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値

関連するノック 1 問

確率論第 14 問