情報科学 › 乱数と確率的数値計算 › Monte Carlo 積分と分散低減

層別推定量の分散

定理 5.4（「Monte Carlo 積分と分散低減」§5） ・ ✓公理まで証明済み

定義 5.3 の設定で f(X)∈L2f(X) \in L^2、I=E[f(X)]I = \mathbb{E}[f(X)]、σ2=Var(f(X))\sigma^2 = \mathrm{Var}(f(X)) とする。

  1. I=∑kpkμkI = \sum_kp_k\mu_k であり、σ2=∑kpkσk2+∑kpk(μk−I)2\sigma^2 = \sum_kp_k\sigma_k^2 + \sum_kp_k(\mu_k - I)^2（層内分散と層間分散への分解）。
  2. I^str\hat I^{\mathrm{str}} は不偏で、Var(I^str)=∑kpk2σk2/nk\mathrm{Var}(\hat I^{\mathrm{str}}) = \sum_k p_k^2\sigma_k^2/n_k。
  3. 比例配分（NpkNp_k がすべて整数のとき）では Var(I^str)=1N∑kpkσk2=σ2N−1N∑kpk(μk−I)2≤σ2N.\mathrm{Var}(\hat I^{\mathrm{str}}) = \frac1N\sum_kp_k\sigma_k^2 = \frac{\sigma^2}{N} - \frac1N\sum_kp_k(\mu_k - I)^2 \le \frac{\sigma^2}{N}.
  4. 正の実数 n1,…,nKn_1, \ldots, n_K で ∑knk=N\sum_kn_k = N を満たすもの全体の上で、∑kpk2σk2/nk\sum_kp_k^2\sigma_k^2/n_k は 1N(∑kpkσk)2\frac1N\bigl(\sum_kp_k\sigma_k\bigr)^2 以上である。σk\sigma_k がすべて正のとき、等号は nk=Npkσk/∑jpjσjn_k = Np_k\sigma_k/\sum_jp_j\sigma_j（Neyman 配分）で成り立つ。また (∑kpkσk)2≤∑kpkσk2\bigl(\sum_kp_k\sigma_k\bigr)^2 \le \sum_kp_k\sigma_k^2 である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 96 件、定義なども含めて 117 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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