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Tonelli の定理

定理 3.3（「直積測度と Fubini–Tonelli の定理」§3）・ ✓公理まで証明済み

$(X,\mathcal{M},\mu)$ 、 $(Y,\mathcal{N},\nu)$ を $\sigma$ -有限な測度空間、 $f:X\times Y\to[0,\infty]$ を $\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}$ -可測とする。このとき $x\mapsto\int_Y f(x,y)\,d\nu(y)$ は $\mathcal{M}$ -可測、 $y\mapsto\int_X f(x,y)\,d\mu(x)$ は $\mathcal{N}$ -可測で

\int_{X\times Y}f\,d(\mu\times\nu)=\int_X\Bigl(\int_Y f(x,y)\,d\nu(y)\Bigr)d\mu(x)=\int_Y\Bigl(\int_X f(x,y)\,d\mu(x)\Bigr)d\nu(y)

が成り立つ（値は $+\infty$ でもよい）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 16 件、定義なども含めて 20 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
- 切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理（上で展開済み）
非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列
  - アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列
    完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
    数列の収束・有界性・単調性定義 2.2・実数の完備性とコーシー列
  - 整数部分の存在✓補題 5.1・実数の完備性とコーシー列
    アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列（上で展開済み）
    整列性公理 3.1・証明の技術

これを使っている定理証明で参照している 44 件

三角形の上の H² 関数の連続性と平均 Taylor 多項式✓補題 3.3・有限要素法 II
独立な確率変数の同時密度✓補題 2.2・分布からの標本抽出
棄却法の正しさ✓定理 4.2・分布からの標本抽出
log|g| の平均値不等式✓補題 3.3・多変数複素関数論
許容測度の存在✓補題 6.3・Lorentz 多様体の因果構造
Fejér の定理✓定理 4.2・フーリエ級数
L¹ での基本性質✓命題 2.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換
Young の不等式✓定理 5.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換
層状表示と Chebyshev の不等式✓補題 2.2・補間と古典的不等式
軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数
一様に下に有界な作用素の半群の極限✓定理 6.1・形式和・単調収束定理・Trotter–加藤の積公式
Prékopa–Leindler の不等式✓定理 3.1・Poincaré 不等式・対数 Sobolev 不等式と対数凹測度
断面積による体積✓定理 3.1・積分の応用
円板のルベーグ測度✓補題 3.2・積分の応用
Cavalieri の原理✓定理 3.1・立体の体積・球面・多面体
Sard の定理✓定理 7.4・部分多様体と正則値定理
ノルム球の体積✓補題 4.1・イデアル類群の有限性と Minkowski 限界
熱半群の性質✓定理 4.2・熱方程式
Gauss 平滑化✓補題 3.1・特性関数と Gauss ベクトル
大数の強法則（コルモゴロフ）✓定理 4.5・大数の法則と中心極限定理
再出発の補題✓補題 4.4・Markov 連鎖と Poisson 過程
Portmanteau の定理✓定理 2.3・確率測度の弱収束
$ℝ^d$ の極座標分解✓定理 6.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標
Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
畳み込みの $L^1$ ノルム✓定理 5.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
近似単位元による近似✓定理 5.5・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
Harper 方程式への帰着✓定理 2.7・Harper 模型とほぼ Mathieu 作用素
エネルギーについてもほとんど至る所✓系 7.3・Harper 模型とほぼ Mathieu 作用素
系 8.3✓Harper 模型とほぼ Mathieu 作用素
共分散の性質（原論文の (V.A.1)–(V.A.2)）✓補題 2.1・Abdesselam–Rivasseau『Trees, forests and jungles』(1994) 部 2
伝播関数の性質と尺度の和（原論文の (11)(12)）✓補題 4.2・Abdesselam–Rivasseau (1997) 部 1
熱核の比較（原論文 (3.8)、(3.9) と §3.1 末尾の注意）✓命題 4.1・Brydges–Fröhlich–Seiler『On the construction of quantized gauge fields I』(1979) 第 2 部
ゲージ固定の恒等式（原論文 (5.8)、(5.10)）✓命題 3.5・Brydges–Fröhlich–Seiler『On the construction of quantized gauge fields I』(1979) 第 3 部
滞在時間の測度の性質✓補題 3.2・Fröhlich『On the triviality of λφ⁴_d theories』(1982)
4 次の項の総和の対称性と実数値性✓補題 8.5・Gawędzki–Kupiainen『Massless lattice φ⁴₄ theory』(1985) 第 3 部
核と有効相互作用の格子対称性✓補題 7.1・Gawędzki–Kupiainen『Massless lattice φ⁴₄ theory』(1985) 第 4 部
変数を共有しない因子の積分の分解✓補題 3.4・Osterwalder–Seiler『Gauge field theories on a lattice』(1978) 第 2 部
凍結補題✓補題 8.2・Gauss 解析の道具
時刻 0 の場での Nelson の評価と切断についての一様性✓命題 2.2・P(φ)₂ 模型の構成
格子 Green 関数の漸近形✓補題 2.4・厳密くりこみ群

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