三角形の上の H² 関数の連続性と平均 Taylor 多項式

補題 3.3（「有限要素法 II」§3）・ ✓公理まで証明済み

$T$ を閉じた三角形（面積 $|T|$ 、直径 $h_T$ ）とし、 $u \in C^2(T)$ に対し

Q_Tu(x) = \frac{1}{|T|}\int_T\bigl(u(y) + \nabla u(y)\cdot(x - y)\bigr)\,dy

とおく。 $Q_Tu$ は $x$ の 1 次式で、 $u$ が 1 次式なら $Q_Tu = u$ である。すべての $x \in T$ について

|u(x) - Q_Tu(x)| \le \frac{h_T^2}{2|T|^{1/2}}|u|_{H^2(T)},\qquad|u(x)| \le \frac{1}{|T|^{1/2}}\Bigl(\|u\|_{L^2(T)} + h_T|u|_{H^1(T)} + \frac{h_T^2}{2}|u|_{H^2(T)}\Bigr)

が成り立つ。したがって、 $u \in \mathcal{H}^2(T)$ は $T$ の上で連続な代表元をもち、 $Q_Tu$ を同じ式で定めれば、その代表元について上の 2 つの評価が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 17 件、定義なども含めて 21 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
- 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
- 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列
    アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
    整数部分の存在✓補題 5.1・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

1 次式による近似（Bramble–Hilbert の補題の 1 次の場合）✓補題 3.5・有限要素法 II
エネルギーノルムでの誤差✓定理 5.1・有限要素法 II

三角形の上の H² 関数の連続性と平均 Taylor 多項式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件