数学 › 解析学（実解析） › ルベーグ積分の定義と収束定理
単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）
を測度空間、 を可測関数の列とし、すべての と について
が成り立つとする。（ の中での極限。単調増加なので必ず存在する）とおくと、 は可測で
が成り立つ。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 8 件、定義なども含めて 12 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列
アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列
- 完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
- 数列の収束・有界性・単調性定義 2.2・実数の完備性とコーシー列
- 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
これを使っている定理 証明で参照している 20 件
- 劣調和性の同値な特徴付け✓定理 5.2・Jensen の公式と劣調和関数
- 熱作用素の基本性質✓命題 5.1・熱核の漸近展開
- Prékopa–Leindler の不等式✓定理 3.1・Poincaré 不等式・対数 Sobolev 不等式と対数凹測度
- 弱強一意性✓定理 8.2・Navier–Stokes 方程式 I
- 条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値
- 積分の不変性と Koopman 作用素✓補題 2.2・エルゴード定理
- 単調収束定理✓定理 2.1・確率変数と期待値
- Prokhorov の定理（緊密ならば相対コンパクト）✓定理 3.3・確率測度の弱収束
- 回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
- 変数変換公式（ルベーグ積分版）✓定理 4.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
- Steinhaus の定理✓補題 2.5・古典的な不等式と関数方程式
- 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
- ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- リーマン積分はルベーグ積分の特別な場合✓定理 8.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
- 有限測度の Lebesgue 分解と密度（von Neumann の議論）✓補題 4.1・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
- Lebesgue の定理（単調関数はほとんど至るところ微分可能）✓定理 6.7・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
- 正則性の自動成立✓定理 5.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
- クラスターの大きさの期待値（原論文 (3.10)）✓命題 3.4・Aizenman『Geometric analysis of φ⁴ fields and Ising models I』(1982) 第 1 部
- ζ(2) と Bose 積分✓補題 4.3・有限温度の場の理論