数学 › Gibbs 測度と相転移の数理 › Poincaré 不等式・対数 Sobolev 不等式と対数凹測度

Prékopa–Leindler の不等式

定理 3.1（「Poincaré 不等式・対数 Sobolev 不等式と対数凹測度」§3）・ ✓公理まで証明済み

$0<t<1$ とし、 $u,v,w:\mathbb{R}^n\to[0,\infty)$ をボレル可測関数で、すべての $x,y$ について

w\bigl((1-t)x+ty\bigr)\ge u(x)^{1-t}v(y)^t

を満たすとする。このとき $\int w\,dx\ge\bigl(\int u\,dx\bigr)^{1-t}\bigl(\int v\,dx\bigr)^t$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 24 件、定義なども含めて 28 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列
    アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
    整数部分の存在✓補題 5.1・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
- 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
正則性の自動成立✓定理 5.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
- Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
  - 開集合は μ*-可測✓補題 4.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    Carathéodory の定理（外測度から測度へ）✓定理 3.2・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - コンパクト集合の測度✓補題 4.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
  - 積分との一致✓補題 4.5・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    コンパクト集合の測度✓補題 4.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
- 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
σ-有限な集合での内正則性✓命題 5.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
- 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
- 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 4 件

対数凹関数の周辺は対数凹✓系 3.2・Poincaré 不等式・対数 Sobolev 不等式と対数凹測度
Bakry–Émery 判定✓定理 4.2・Poincaré 不等式・対数 Sobolev 不等式と対数凹測度
Brascamp–Lieb 不等式✓定理 5.1・Poincaré 不等式・対数 Sobolev 不等式と対数凹測度
Prékopa–Leindler の不等式✓補題 8.1・Gauss 型の相関不等式

Prékopa–Leindler の不等式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

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