Gibbs 測度と相転移の数理

数学修士無料 7 章有料 0 章

熱力学的極限、DLR 条件と Gibbs 測度、Ising 模型と Peierls の議論、Lee–Yang の円定理、ランダムクラスター表示、対数 Sobolev 不等式を扱う。

想定読者: 大学院生（修士課程）・数学や物理を深く学びたい人

前提テーマ:確率論、解析学（実解析）、組合せ論

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目次

1. 第 1 章熱力学的極限無料格子スピン系の相互作用を定義し、van Hove 極限で圧力（自由エネルギー）が境界条件によらず存在することをほぼ加法性から証明する。凸性、平均エントロピーによる Gibbs の変分原理、Cramér の大偏差定理まで示す。
2. 第 2 章DLR 条件と Gibbs 測度無料有限体積の条件付き分布を指定する「仕様」から無限体積の Gibbs 測度を DLR 方程式で定義し、緊密性による存在、凸構造と極値測度＝尾部自明性、Dobrushin の一意性定理を証明する。
3. 第 3 章Ising 模型と Peierls の議論無料Ising 模型の 1 次元の Gibbs 測度が転送行列により一意に決まることを示し、Griffiths 不等式で + 境界条件の極限状態を作る。Peierls の輪郭の議論を平面の組合せ論から完全に証明し、d≥2 の低温で相が共存することを導く。
4. 第 4 章Lee–Yang の円定理無料強磁性 Ising 模型の分配関数の外場についての零点が単位円周上にあるという Lee–Yang の円定理を、Asano 縮約と Schwarz–Pick の補題で証明する。Vitali の定理から、外場が 0 でなければ圧力が解析的で相転移が起きないことを導く。
5. 第 5 章ランダムクラスター表示と浸透無料Potts・Ising 模型を辺の浸透模型に書き換える FK（ランダムクラスター）表示と Edwards–Sokal 結合を証明し、FKG 不等式で独立浸透と比較して高温・低温の判定を導く。長距離浸透と 1/r² Ising の不連続性（Aizenman–Newman・ACCN）の骨格も述べる。
6. 第 6 章Poincaré 不等式・対数 Sobolev 不等式と対数凹測度無料Poincaré 不等式と対数 Sobolev 不等式を定義し、Prékopa–Leindler の不等式から強対数凹測度の Bakry–Émery 判定と Brascamp–Lieb 不等式を証明する。Holley–Stroock の摂動と、対数 Sobolev 不等式と超縮小性の同値性（Gross）も示す。
7. 第 7 章Mermin–Wagner の定理無料Bogoliubov 不等式から 2 次元量子 Heisenberg 模型の自発磁化が 0 であることを、スピン波のねじりの摂動法から 2 次元古典 O(N) 模型の任意の Gibbs 測度が回転不変であることを証明する。鍵は 2 次元格子の再帰性と Σ1/|k|² の対数発散。