Ising 模型と Peierls の議論：1 次元の一意性と 2 次元以上の相の共存

0. この記事の要点

磁石は高温で磁力を失い、低温では保ちます。この記事では、格子の各点に上向きか下向きの小さな矢印（スピン）を置いた単純な模型で、この違いを数学として扱います。一列に並んだ鎖では、どんなに冷やしても「上向きが優勢な状態」と「下向きが優勢な状態」が別々に残ることはありません。ところが平面以上では、十分冷やすと両方が並び立ちます。読み終えると、この対比が起きる理由を、エネルギーの損と並べ方の数の勝負として説明できます。

• 1 次元（定理 3.2）: 最近接 Ising 模型の Gibbs 測度は、すべての温度と外場でただ一つです。転送行列 $T$ の最大固有値 $\lambda_+$ がほかの固有値より真に大きいので、境界条件の影響が $(\lambda_-/\lambda_+)^n$ で消えます。
• 単調性（命題 4.1）: 強磁性で外場 $h\ge0$ なら、すべて $+$ の境界条件での相関 $\langle\sigma_A\rangle^+_\Lambda$ は体積 $\Lambda$ について単調減少です。Griffiths（GKS）不等式の帰結で、これにより極限状態 $\mu^+$ が存在し、並進不変な Gibbs 測度になります（定理 4.2）。自発磁化 $m^*(\beta)=\mu^+(\sigma_0)$ は $\beta$ について単調非減少です。
• Peierls の議論（定理 6.1）: $d=2$、$h=0$ で、$+$ 境界条件のもと原点が $-$ になるには、原点を囲む長さ $\ell$ の「輪郭」が必要で、その確率は $e^{-2\beta J\ell}$ 以下です。長さ $\ell$ の輪郭は $\ell\,3^\ell$ 個以下しかないので、$\beta J\ge\frac12\log6$ なら $\langle\sigma_0\rangle^+_\Lambda\ge1/5$ が体積によらず成り立ちます。
• 輪郭の数え上げに必要な平面の事実（偶な辺集合は有限集合の境界であること、単連結な集合の境界は連結であること）も、本章で組合せ的に証明します。
• 以上から $d\ge2$ の低温では $\mu^+\ne\mu^-$ で、Gibbs 測度は一意ではありません（相の共存）。Pirogov–Sinai 理論は、この描像を対称性のない一般の模型に広げます（主張のみ）。

この記事で使う事前知識

• Gibbs 仕様: 領域の外の配置を決めたとき、領域の中の配置がどんな確率で現れるかを与える規則。→ Gibbs 仕様
• Gibbs 測度: 無限に広がる格子上の確率測度で、どの有限領域でも、外を固定した条件付き分布が Gibbs 仕様に一致するもの。→ Gibbs 測度
• Dobrushin の判定: 相互作用が弱い高温側で、Gibbs 測度がただ一つに決まるための十分条件。→ DLR 条件と Gibbs 測度
• 弱収束: 確率測度の列が、連続関数の期待値の収束という意味で近づいていくこと。- Ising 模型の平均場理論: スピンが周りの平均から受ける効果だけを考えて、自発磁化の出現を見積もる近似。→ 相転移と平均場理論

1. 動機

前章 では、相転移を「Gibbs 測度が 2 つ以上ある」こととして定義し、高温（Dobrushin 条件）では一意性が成り立つことを示しました。本章では、その逆が低温で実際に起きることを、最も単純な Ising 模型で示します。

歴史的には、Ising（1925）は 1 次元の模型を解いて相転移がないことを示し、高次元でもないと推測しました。Peierls（1936）は、2 次元では低温で自発磁化が残ることを、「境界の長さに比例するエネルギーの損失」と「境界の個数の指数的な増え方」の比較という単純な議論で示しました。Griffiths（1964）と Dobrushin（1965）がこの議論を厳密にしました。1 次元では境界は点なので長さによるエネルギーの損失がなく、逆にエントロピー（位置の選び方）が勝って秩序が壊れます。この対比が本章の主題です。

2. 準備：Ising 模型と境界条件

$S=\{-1,1\}$、$\Omega=\{-1,1\}^{\mathbb{Z}^d}$ とし、スピンを $\sigma_x$、$A$ 上の積を $\sigma_A=\prod_{x\in A}\sigma_x$ と書きます。$x\sim y$ は $\|x-y\|_1=1$（最近接）を表します。

定義 2.1（最近接 Ising 模型）↗

$\beta>0$、$J>0$、$h\in\mathbb{R}$ とし、相互作用 $\Phi_{\{x,y\}}=-\beta J\sigma_x\sigma_y$（$x\sim y$）、$\Phi_{\{x\}}=-\beta h\sigma_x$ の Gibbs 仕様（定義 3.3［DLR 条件と Gibbs 測度］）を $\gamma$ とする。$\Lambda\Subset\mathbb{Z}^d$ と $\tau\in\Omega$ について $\mu^\tau_\Lambda=\gamma_\Lambda(\cdot\mid\tau)$ を境界条件 $\tau$ の有限体積 Gibbs 測度、$\langle\cdot\rangle^\tau_\Lambda$ をその期待値とする。$\tau\equiv+1$、$\tau\equiv-1$ のときを $\mu^+_\Lambda$、$\mu^-_\Lambda$ と書く。

$\mu^\tau_\Lambda$ を $\Omega_\Lambda$ 上の分布と見ると

$$\mu^\tau_\Lambda(\sigma)\propto\exp\Bigl(\beta J\sum_{\substack{\{x,y\}\subset\Lambda\\x\sim y}}\sigma_x\sigma_y+\sum_{x\in\Lambda}\bigl(\beta h+\beta J\textstyle\sum_{y\sim x,\,y\notin\Lambda}\tau_y\bigr)\sigma_x\Bigr)$$

です。すなわち境界条件は、境界の点に働く外場に置き換わります。$\tau\equiv+1$、$h\ge0$ なら、これは 相関不等式 の意味の強磁性模型（定義 2.1［相関不等式］、結合と外場がすべて非負）です。

スピン反転の対称性. 写像 $\sigma\mapsto-\sigma$ は $h$ を $-h$ に、境界条件 $\tau$ を $-\tau$ に移します。特に $h=0$ では $\mu^-_\Lambda$ は $\mu^+_\Lambda$ をスピン反転で移したもので、$\langle\sigma_0\rangle^-_\Lambda=-\langle\sigma_0\rangle^+_\Lambda$ です。

補題 2.2（Walsh 基底）✓

有限集合 $\Lambda$ について、$\{\sigma_A:A\subset\Lambda\}$ は $\{-1,1\}^\Lambda$ 上の実数値関数全体の基底である。したがって、$\Omega$ 上の 2 つの確率測度は、すべての有限集合 $A$ で $\mu(\sigma_A)=\nu(\sigma_A)$ なら等しい。

証明（補題 2.2）

一様分布 $u$ のもとで $u(\sigma_A\sigma_B)=u(\sigma_{A\triangle B})$ で、$C\ne\emptyset$ なら $u(\sigma_C)=\prod_{x\in C}u(\sigma_x)=0$ です。よって $\{\sigma_A\}$ は内積 $u(fg)$ について正規直交で、個数 $2^{|\Lambda|}$ は関数空間の次元に等しいので基底です。後半は、局所関数がすべて $\sigma_A$ の線形結合になることと、補題 2.1［DLR 条件と Gibbs 測度］ (iii) と 補題 2.2［確率測度の弱収束］ から従います。

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3. 1 次元：転送行列と一意性

$d=1$ とします。$s,t\in\{-1,1\}$ について

$$T(s,t)=\exp\Bigl(\beta Jst+\frac{\beta h}{2}(s+t)\Bigr)$$

とおき、$T$ を $2\times2$ の実対称行列と見ます（行と列の添字は $+1,-1$）。自由エネルギーの公式 $f=-\beta^{-1}\log\lambda_+$ は 相転移と平均場理論 の 定理 6.1［相転移と平均場理論］ にあります。ここでは Gibbs 測度そのものを決定します。

補題 3.1（転送行列のスペクトル分解）✓

$T$ の固有値を $\lambda_+>\lambda_-$ とすると $\lambda_+>|\lambda_-|$ で、$\lambda_+$ の単位固有ベクトル $v$ は成分がすべて正にとれる。$w$ を $\lambda_-$ の単位固有ベクトルとすると、$m\ge1$ について

$$T^m=\lambda_+^m\,vv^{\mathsf{T}}+\lambda_-^m\,ww^{\mathsf{T}},\qquad\lim_{m\to\infty}\frac{T^m(s,t)}{\lambda_+^m}=v_sv_t\quad(\text{一様に }s,t).$$

証明（補題 3.1）

$T=\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}$、$a=e^{\beta(J+h)}$、$b=e^{-\beta J}$、$c=e^{\beta(J-h)}$ はすべて正です。固有値は $\lambda_\pm=\frac{a+c}2\pm\sqrt{\bigl(\frac{a-c}2\bigr)^2+b^2}$ で、$b>0$ から $\lambda_+>\max(a,c)$、$\lambda_+>\lambda_-$。$\lambda_++\lambda_-=a+c>0$ から $\lambda_+>|\lambda_-|$ です。$(b,\lambda_+-a)$ は $\lambda_+$ の固有ベクトルで（第 1 行: $ab+b(\lambda_+-a)=\lambda_+b$）、成分はどちらも正です。実対称行列なので $v\perp w$ で、スペクトル分解 $T=\lambda_+vv^{\mathsf{T}}+\lambda_-ww^{\mathsf{T}}$ の $m$ 乗が第 1 式です。$|\lambda_-/\lambda_+|<1$ から第 2 式が出ます。

∎

次の定理の証明の方針は、区間の外の境界条件の影響を、転送行列の冪 $T^m$ の形で書き表すことです。冪は大きくなると $\lambda_+^m v_sv_t$ にほぼ等しくなるので、遠い境界条件の違いは中央の確率に効かなくなり、どの境界条件からも同じ極限が得られます。

定理 3.2（1 次元 Ising 模型の Gibbs 測度の一意性）✓

$d=1$ の最近接 Ising 模型（任意の $\beta>0$、$J>0$、$h\in\mathbb{R}$）の Gibbs 測度はただ一つ $\mu$ であり、$k\ge0$、$\eta\in\{-1,1\}^{\{-k,\dots,k\}}$ について

$$\mu(\sigma_i=\eta_i,\ |i|\le k)=\frac{v_{\eta_{-k}}\,\Bigl(\prod_{i=-k}^{k-1}T(\eta_i,\eta_{i+1})\Bigr)\,v_{\eta_k}}{\lambda_+^{2k}}$$

で与えられる。

証明（定理 3.2）

$\Lambda_n=\{-n,\dots,n\}$、$n>k$ とし、境界条件 $\omega$ の端の値を $a=\omega_{-n-1}$、$b=\omega_{n+1}$ とします。$\Lambda_n$ 上の配位 $\sigma$ に $\sigma_{-n-1}=a$、$\sigma_{n+1}=b$ を付け加えると

$$\prod_{i=-n-1}^{n}T(\sigma_i,\sigma_{i+1})=\exp\Bigl(\beta J\sum_{i=-n-1}^{n}\sigma_i\sigma_{i+1}+\beta h\sum_{i=-n}^{n}\sigma_i+\frac{\beta h}{2}(a+b)\Bigr)$$

です（$\sigma_i$ は内部の点では 2 回、端点 $a,b$ は 1 回ずつ現れる）。最後の因子は $\sigma$ によらないので、これは $\gamma_{\Lambda_n}(\cdot\mid\omega)$ の重みに比例します。$\Lambda_n$ の内側の区間 $\{-k,\dots,k\}$ 以外の変数について和をとると

$$\gamma_{\Lambda_n}\bigl(\sigma_i=\eta_i,\,|i|\le k\bigm|\omega\bigr)=\frac{T^{n-k+1}(a,\eta_{-k})\,W(\eta)\,T^{n-k+1}(\eta_k,b)}{T^{2n+2}(a,b)},\qquad W(\eta)=\prod_{i=-k}^{k-1}T(\eta_i,\eta_{i+1}).$$

補題 3.1 から、$n\to\infty$ でこれは $a,b$ について一様に

$$\frac{\lambda_+^{n-k+1}v_av_{\eta_{-k}}\,W(\eta)\,\lambda_+^{n-k+1}v_{\eta_k}v_b}{\lambda_+^{2n+2}v_av_b}=\frac{v_{\eta_{-k}}W(\eta)v_{\eta_k}}{\lambda_+^{2k}}$$

に収束します（$v_a,v_b>0$ が分母を $0$ から遠ざける）。$\mu'\in\mathcal{G}$ を任意にとると、DLR 方程式から $\mu'(\sigma_i=\eta_i,|i|\le k)=\int\gamma_{\Lambda_n}(\sigma_i=\eta_i,|i|\le k\mid\omega)\,\mu'(d\omega)$ で、一様収束により右辺は上の極限値に収束します。左辺は $n$ によらないので、$\mu'$ の有限次元分布は上の式で決まります。Gibbs 測度は存在する（定理 5.1［DLR 条件と Gibbs 測度］）ので、ちょうど一つです。

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注意 3.3（Markov 連鎖としての解釈）

上の式は、$\mu$ が遷移行列 $P(s,t)=T(s,t)v_t/(\lambda_+v_s)$、定常分布 $\pi(s)=v_s^2$ の定常 Markov 連鎖の分布であることを示しています（$\sum_tP(s,t)=(Tv)_s/(\lambda_+v_s)=1$）。相関は $P$ の第 2 固有値 $\lambda_-/\lambda_+$ のべきで減衰し、$h=0$ では $\langle\sigma_0\sigma_r\rangle=(\tanh\beta J)^r$ です（定理 6.2［相転移と平均場理論］）。有限到達距離の相互作用をもつ 1 次元の系では、同じ転送行列の議論（Perron–Frobenius の定理）で、つねに Gibbs 測度が一意であることが示せます。$h=0$ で一意な $\mu$ はスピン反転で不変なので $\mu(\sigma_0)=0$、すなわち 1 次元に自発磁化はありません。

4. Griffiths 不等式による単調性と + 状態

以下 $d\ge1$ を一般にし、$h\ge0$ とします。

次の命題は、領域を広げても $+$ 境界条件での相関が増えないことを言います。証明では、広い領域 $\Lambda'$ のうち $\Lambda$ の外側の点にだけ外場 $H$ を加えて比べます。$H$ を大きくすると相関は増える一方（Griffiths の不等式）、$H\to\infty$ では外側のスピンが $+$ に固定されて $\Lambda$ の $+$ 境界条件の模型に一致するので、$H=0$ の元の相関はそれ以下だと分かります。

命題 4.1（+ 境界条件の相関の体積単調性）✓

$h\ge0$、$A\subset\Lambda\subset\Lambda'\Subset\mathbb{Z}^d$ ならば

$$0\le\langle\sigma_A\rangle^+_{\Lambda'}\le\langle\sigma_A\rangle^+_\Lambda .$$

証明（命題 4.1）

$H\ge0$ について、$\Lambda'$ 上の $+$ 境界条件の模型に、$\Lambda'\setminus\Lambda$ の各点で外場 $H$ を加えた分布を $\mu^{(H)}$ とします。これは強磁性なので、Griffiths の不等式の系（系 3.3［相関不等式］）から $\mu^{(H)}(\sigma_A)$ は $H$ について単調非減少で、非負です（定理 3.1［相関不等式］）。$H=0$ では $\langle\sigma_A\rangle^+_{\Lambda'}$ です。

$H\to\infty$ の極限を調べます。$x\in\Lambda'\setminus\Lambda$ について、$x$ のスピンを反転する写像は $\{\sigma_x=+1\}$ と $\{\sigma_x=-1\}$ の全単射で、$\sigma_x=-1$ の配位の重みは、反転した配位の重みの $e^{-2(\beta h+H+\beta Jm_x)}$ 倍です（$m_x=\sum_{y\sim x}\sigma_y\ge-2d$）。よって $\mu^{(H)}(\sigma_x=-1)\le e^{-2H+4d\beta J}\to0$。一方、$\sigma_{\Lambda'\setminus\Lambda}\equiv+1$ を条件とする $\sigma_\Lambda$ の条件付き分布は、外場 $H$ が $\Lambda$ の外にしか働かないので $H$ によらず、$\mu^+_\Lambda$ に一致します（境界条件はすべて $+1$）。したがって

$$\bigl|\mu^{(H)}(\sigma_A)-\langle\sigma_A\rangle^+_\Lambda\bigr|\le2\,\mu^{(H)}\bigl(\sigma_{\Lambda'\setminus\Lambda}\not\equiv+1\bigr)\le2|\Lambda'|e^{-2H+4d\beta J}\to0 .$$

単調性と合わせて $\langle\sigma_A\rangle^+_{\Lambda'}\le\lim_{H\to\infty}\mu^{(H)}(\sigma_A)=\langle\sigma_A\rangle^+_\Lambda$ です。

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定理 4.2（+ 状態の存在）✓

$h\ge0$ とする。$\Lambda_n\uparrow\mathbb{Z}^d$（$\bigcup\Lambda_n=\mathbb{Z}^d$ の増大列）について $\mu^+_{\Lambda_n}$ は弱収束し、極限 $\mu^+$ は列によらない。$\mu^+$ は並進不変な Gibbs 測度で、すべての有限集合 $A$ で

$$\mu^+(\sigma_A)=\inf_{\Lambda\supset A}\langle\sigma_A\rangle^+_\Lambda .$$

$h=0$ のとき $\mu^-$ を $\mu^+$ のスピン反転とすると、$\mu^-$ も Gibbs 測度である。

証明（定理 4.2）

命題 4.1 から、有限集合 $A$ を固定すると $\Lambda\mapsto\langle\sigma_A\rangle^+_\Lambda$ は包含について単調非増加で $0$ 以上です。増大列 $\Lambda_n\uparrow\mathbb{Z}^d$ では、任意の有限 $\Lambda\supset A$ がある $\Lambda_n$ に含まれるので、$\lim_n\langle\sigma_A\rangle^+_{\Lambda_n}=\inf_{\Lambda\supset A}\langle\sigma_A\rangle^+_\Lambda$ で、これは列によりません。

$(\mu^+_{\Lambda_n})$ の弱収束する部分列の極限（定理 5.1［DLR 条件と Gibbs 測度］ (i)）はすべて Gibbs 測度で（同 (ii)）、$\sigma_A$ は連続なので極限での $\sigma_A$ の期待値は上の $\inf$ に等しく、補題 2.2 によりすべて同じ測度です。部分列の極限がすべて一致するので、列全体が弱収束します（補題 5.1［確率測度の弱収束］）。

並進 $x$ について、相互作用の並進不変性から $\langle\sigma_{A+x}\rangle^+_{\Lambda+x}=\langle\sigma_A\rangle^+_\Lambda$ なので、$\inf$ の形から $\mu^+(\sigma_{A+x})=\mu^+(\sigma_A)$ で、補題 2.2 から $\mu^+\circ\theta_x^{-1}=\mu^+$。$h=0$ では仕様がスピン反転で不変なので、反転した測度も DLR 方程式を満たします。

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定義 4.3（自発磁化）↗

$h=0$ のとき $m^*(\beta)=\mu^+(\sigma_0)$ を自発磁化という。

命題 4.4（自発磁化の性質）✓

$h=0$ とする。(i) $m^*(\beta)$ は $\beta$ について単調非減少である。(ii) $m^*(\beta)>0$ ならば $\mu^+\ne\mu^-$ で、Gibbs 測度は一意でない。(iii) $2d\tanh(\beta J)<1$ ならば $m^*(\beta)=0$。

証明（命題 4.4）

(i) $\mu^+_\Lambda$ は、結合 $\beta J$ と境界の外場 $\beta J\cdot\#\{y\sim x:y\notin\Lambda\}$ をもつ強磁性模型で、これらはすべて $\beta$ について増加します。系 3.3［相関不等式］ から $\langle\sigma_0\rangle^+_\Lambda$ は $\beta$ について非減少で、$\inf$ をとっても保たれます。(ii) $\mu^-(\sigma_0)=-m^*<0<\mu^+(\sigma_0)$。(iii) Dobrushin の判定（命題 7.5［DLR 条件と Gibbs 測度］）から Gibbs 測度は一意なので $\mu^+=\mu^-$、よって $m^*=\mu^+(\sigma_0)=-\mu^+(\sigma_0)=0$。

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したがって $\beta_c=\sup\{\beta:m^*(\beta)=0\}\in[\operatorname{artanh}(1/(2d))/J,\infty]$ が定まり、$\beta>\beta_c$ で相が共存します。残る問題は $\beta_c<\infty$、つまり十分低温で $m^*>0$ となることです。

5. 平面の輪郭

Peierls の議論は、$-$ のスピンの島をその境界線（輪郭）で数えることにあります。数え上げに必要な平面の組合せ論をまとめて証明します。この節は $d=2$ です。

双対格子. $(\mathbb{Z}^2)^*=\mathbb{Z}^2+(\frac12,\frac12)$ を双対格子とし、最近接点を結ぶ辺を双対辺と呼びます。$\mathbb{Z}^2$ の各辺 $e$ には、中点を共有して $e$ と直交する双対辺 $e^*$ がただ一つあります。双対頂点 $u$ は、4 つの格子点を頂点とする単位正方形（面）の中心で、$u$ から出る 4 本の双対辺はその面の 4 辺と交わります。有限集合 $B\subset\mathbb{Z}^2$ の辺境界 $\partial_eB$ を「一方の端点が $B$、他方が $B$ の外にある辺」の集合とし、その双対 $\partial^*B=\{e^*:e\in\partial_eB\}$ を $B$ の輪郭と呼びます。

言葉だけでは想像しにくいので、図に格子点と双対格子点を重ねて示します。格子の辺を 1 本とると、その中点で直交する双対辺がちょうど 1 本あり、双対頂点のまわりには 4 本の双対辺が集まります。

格子点（黒丸）と双対頂点（色つきの点）。太い黒線が格子の辺 $e$、色つきの線がそれと中点で直交する双対辺 $e^{\ast }$。双対頂点のまわりに 4 本の双対辺が集まり、それぞれが正方形（面）の 4 辺と交わる。

双対辺の有限集合 $\gamma$ が偶とは、すべての双対頂点で $\gamma$ の辺の本数（次数）が偶数であることです。

補題 5.1（輪郭は偶）✓

任意の $B\subset\mathbb{Z}^2$ について、$\partial^*B$ の各双対頂点での次数は偶数である。また $\mathbf{1}_{\partial_e(B_1\triangle B_2)}=\mathbf{1}_{\partial_eB_1}+\mathbf{1}_{\partial_eB_2}\pmod2$ が成り立つ。

証明（補題 5.1）

辺 $\{x,y\}$ について $\mathbf{1}_{\partial_eB}(\{x,y\})\equiv\mathbf{1}_B(x)+\mathbf{1}_B(y)\pmod2$ です。これは $\mathbf{1}_B$ について線形（$\bmod2$）なので第 2 の主張が出ます。双対頂点 $u$ の面の頂点を一周の順に $x_1,x_2,x_3,x_4$ とすると、$u$ での次数は $\sum_{i=1}^4(\mathbf{1}_B(x_i)+\mathbf{1}_B(x_{i+1}))\equiv2\sum_i\mathbf{1}_B(x_i)\equiv0$（$x_5=x_1$）です。

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補題 5.2（偶な集合は輪郭）✓

双対辺の有限な偶集合 $\gamma$ に対し、$\partial^*B=\gamma$ となる有限集合 $B\subset\mathbb{Z}^2$ がただ一つ存在する。

証明（補題 5.2）

構成. 格子点 $x=(a,b)$ について、$N(x)$ を「$a'<a$ で、横の辺 $\{(a',b),(a'+1,b)\}$ の双対が $\gamma$ に属するもの」の個数とし、$B=\{x:N(x)\text{ は奇数}\}$ とおきます（$\gamma$ は有限なので $N$ は有限）。

横の辺. $e=\{(a,b),(a+1,b)\}$ について $N((a+1,b))-N((a,b))=\mathbf{1}_\gamma(e^*)$ なので、$e\in\partial_eB\iff e^*\in\gamma$。

縦の辺. $e=\{(a,b),(a,b+1)\}$ とし、行 $b$ と $b+1$ の間の双対頂点 $u_{a'}=(a'+\frac12,b+\frac12)$（$a'<a$）での $\gamma$ の次数の和を考えます。偶性からこの和は偶数です。和の中で、横の双対辺 $\{u_{a'},u_{a'+1}\}$ は両端が範囲内なら 2 回数えられ、$\{u_{a-1},u_a\}$ だけは 1 回数えられます。この双対辺はちょうど $e$ と交わります。$u_{a'}$ から上に出る双対辺は横の辺 $\{(a',b+1),(a'+1,b+1)\}$ と、下に出る双対辺は $\{(a',b),(a'+1,b)\}$ と交わるので、それらの個数はそれぞれ $N((a,b+1))$、$N((a,b))$ です。したがって

$$0\equiv N((a,b))+N((a,b+1))+\mathbf{1}_\gamma(e^*)\pmod2,$$

すなわち $e\in\partial_eB\iff e^*\in\gamma$ です。

有限性. $\gamma$ を含む長方形の左側と上下では $N=0$ です。右側の十分遠く（$a$ が大きい）では、上の式で $\mathbf{1}_\gamma(e^*)=0$ なので $N((a,b))\equiv N((a,b+1))$ がすべての $b$ で成り立ち、上方で $N=0$ だから下へたどってすべて偶数です。よって $B$ は長方形に含まれ有限です。

一意性. $\partial^*B=\partial^*B'$ なら、補題 5.1 から $\partial_e(B\triangle B')=\emptyset$ で、$B\triangle B'$ は隣接について閉じています。$\mathbb{Z}^2$ は連結なので $B\triangle B'$ は $\emptyset$ か $\mathbb{Z}^2$ で、有限だから $\emptyset$ です。

∎

補題 5.3（単連結な集合の輪郭は連結）✓

有限集合 $B\subset\mathbb{Z}^2$ と $\mathbb{Z}^2\setminus B$ がともに（最近接の意味で）連結ならば、$\partial^*B$ は双対格子のグラフとして連結である。

証明（補題 5.3）

$\gamma=\partial^*B$ が連結でないとし、$\gamma$ の連結成分のいくつかの和 $\gamma_1$ と残り $\gamma_2$ に分けます（ともに空でない）。連結成分どうしは頂点を共有しないので、各双対頂点での $\gamma_1$ の次数は $\gamma$ の次数か $0$ で、$\gamma_1$ は偶です（補題 5.1）。補題 5.2 から $\gamma_1=\partial^*B_1$ となる有限集合 $B_1$ があります。

$B$ の中の辺 $\{x,y\}$（$x,y\in B$）は $\partial_eB$ に属さず、$\gamma_1\subset\gamma$ なので $\partial_eB_1$ にも属しません。すなわち $\mathbf{1}_{B_1}(x)=\mathbf{1}_{B_1}(y)$ です。$B$ は連結なので、$B\subset B_1$ か $B\cap B_1=\emptyset$ です。同じ理由で、連結な $\mathbb{Z}^2\setminus B$ は $B_1$ に含まれるか $B_1$ と交わりません。$B_1$ は有限で $\mathbb{Z}^2\setminus B$ は無限なので後者で、$B_1\subset B$ です。よって $B_1=B$ か $B_1=\emptyset$ です。前者なら $\gamma_1=\gamma$、後者なら $\gamma_1=\emptyset$ で、どちらも仮定に反します。

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補題 5.4（連結な偶集合の個数）✓

(i) 連結な有限グラフのすべての頂点の次数が偶数ならば、すべての辺をちょうど 1 回ずつ通る閉じた道（Euler 閉路）がある。

(ii) 双対辺 $e_0$ を含み、双対辺 $\ell$ 本からなる連結な偶集合の個数は $2\cdot3^{\ell-1}$ 以下である。

証明（補題 5.4）

(i) 同じ辺を 2 度通らない道（トレイル）のうち最長のもの $P$ をとります。$P$ の終点が始点と異なれば、終点で $P$ が使った辺は奇数本なので未使用の辺があり、$P$ を延ばせて矛盾します。よって $P$ は閉じています。$P$ が使わない辺があれば、グラフの連結性から、$P$ 上の頂点 $v$ に接する未使用の辺 $f$ があります。$P$ を $v$ から始まる閉路と見直し、その後に $f$ をつなげば、より長いトレイルになり矛盾します。

(ii) そのような集合 $\gamma$ に対し、(i) の Euler 閉路を $e_0$ から始め、向き（2 通り）を決めて辺を順に並べます。各ステップでは、現在の頂点（次数 $4$ 以下）から、直前に通った辺以外の高々 3 本のうち 1 本を選びます。$\gamma$ はこの列で決まるので、個数は $2\cdot3^{\ell-1}$ 以下です。

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6. Peierls の議論

定理 6.1（Peierls の定理）✓

$d=2$、$h=0$、$J>0$ とし、$y=9e^{-4\beta J}<1$ とおく。原点を含むすべての正方形 $\Lambda=\{-n,\dots,n\}^2$ について

$$\mu^+_\Lambda(\sigma_0=-1)\le\sum_{j\ge2}2j\,y^j=\frac{2y^2(2-y)}{(1-y)^2}.$$

特に $\beta J\ge\frac12\log6$ ならば $\langle\sigma_0\rangle^+_\Lambda\ge1/5$ で、$m^*(\beta)\ge1/5$。

証明（定理 6.1）

(1) 原点の島と輪郭. $\sigma\in\Omega$ を、$\Lambda$ の外で $+1$、$\sigma_0=-1$ の配位とします。$C$ を $\{x:\sigma_x=-1\}$ の中で原点を含む連結成分とすると、$C\subset\Lambda$ です。$\mathbb{Z}^2\setminus\Lambda$ は連結で $C$ と交わらないので、$\mathbb{Z}^2\setminus C$ のちょうど一つの連結成分 $U$ に含まれ、$U$ は無限、他の成分は $\Lambda$ に含まれる有限集合です。$B=\mathbb{Z}^2\setminus U$（$C$ に「穴」を埋めたもの）とおくと、次が成り立ちます。

• $B$ は有限で $0\in B\subset\Lambda$、$\mathbb{Z}^2\setminus B=U$ は連結。
• $B$ は連結。$\mathbb{Z}^2\setminus C$ の有限な成分 $F$ の辺境界の辺 $\{x,y\}$（$x\in F$、$y\notin F$）では、$y\notin\mathbb{Z}^2\setminus C$（さもなくば $y\in F$）、すなわち $y\in C$ なので、$F$ は $C$ に隣接します。
• $\partial_eB$ の辺 $\{x,y\}$（$x\in B$、$y\in U$）では $\sigma_x=-1$、$\sigma_y=+1$。実際 $x\in F$（有限成分）なら $y$ は $F$ に隣接する $\mathbb{Z}^2\setminus C$ の点で $F$ に属し、矛盾します。よって $x\in C$ で $\sigma_x=-1$、$y\notin C$ が $C$ に隣接するので $\sigma_y=+1$ です。

このようにして決まる $\gamma(\sigma)=\partial^*B$ を原点の輪郭と呼びます。補題 5.3 から $\gamma(\sigma)$ は連結で、補題 5.1 から偶です。

(2) 1 つの輪郭の確率. 有限集合 $B\ni0$ を固定し、$\gamma=\partial^*B$ とします。$\Lambda$ 内の配位 $\sigma$ に対し、$B$ のスピンをすべて反転したものを $\sigma^B$ とします（$B\subset\Lambda$ なので境界条件は保たれる）。$\sigma\mapsto\sigma^B$ は全単射です。辺 $\{x,y\}$ の両端の符号の一致・不一致は、$\{x,y\}\in\partial_eB$ のときだけ入れ替わります。$\partial_eB$ の辺がすべて不一致である $\sigma$ では、反転によってそれらがすべて一致に変わるので、エネルギーは $2J|\gamma|$ 下がり、重みは $e^{2\beta J|\gamma|}$ 倍になります。したがって

$$\mu^+_\Lambda\bigl(\partial_eB\text{ の辺がすべて不一致}\bigr)=\sum_{\sigma}{}'\frac{w(\sigma)}{Z}=e^{-2\beta J|\gamma|}\sum_\sigma{}'\frac{w(\sigma^B)}{Z}\le e^{-2\beta J|\gamma|}$$

です（$\sum'$ は条件を満たす $\sigma$ についての和、$w$ は重み）。

(3) 輪郭の数え上げ. (1) の $B$ は、原点を含み $B$ と補集合が連結な有限集合です。そのような $B$ は $\partial^*B$ で決まり（補題 5.2 の一意性）、$\ell=|\partial_eB|$ について次が成り立ちます。

• $\ell$ は偶数で $\ell\ge4$。実際 $\ell=4|B|-2\cdot\#\{B\text{ 内の辺}\}$ で、$B$ と交わる各列の最上点の上の辺と最下点の下の辺が縦の境界辺、各行についても同様なので $\ell\ge4$。
• $k=\max\{j\ge0:(j,0)\in B\}$ とすると、辺 $\{(k,0),(k+1,0)\}$ は $\partial_eB$ に属し、$B$ は連結なので列 $0,1,\dots,k$ のすべてと交わり、各列が縦の境界辺を 2 本以上もつので $\ell\ge2(k+1)$、すなわち $k\le\ell/2-1$。

よって、長さ $\ell$ の輪郭は「双対辺 $\{(k,0),(k+1,0)\}^*$（$0\le k\le\ell/2-1$）を含む連結な偶集合」で、補題 5.4 (ii) からその個数は $\frac\ell2\cdot2\cdot3^{\ell-1}\le\ell\,3^\ell/3\le\ell\,3^\ell$ 以下です。

(4) まとめ. (1)(2)(3) から

$$\mu^+_\Lambda(\sigma_0=-1)\le\sum_{B}\mu^+_\Lambda(\partial_eB\text{ の辺がすべて不一致})\le\sum_{\ell\ge4,\ \ell\text{ 偶}}\ell\,3^\ell e^{-2\beta J\ell}=\sum_{j\ge2}2j\,y^j .$$

最後の級数の和は $\sum_{j\ge2}jy^j=y^2(2-y)/(1-y)^2$ から得られます。$\beta J\ge\frac12\log6$ なら $y\le1/4$ で、右辺は $2\cdot\frac1{16}\cdot\frac74\cdot\frac{16}9=\frac{7}{18}$ 以下です。したがって $\langle\sigma_0\rangle^+_\Lambda=1-2\mu^+_\Lambda(\sigma_0=-1)\ge1-\frac79=\frac29\ge\frac15$ で、定理 4.2 の $\inf$ の表示から $m^*(\beta)\ge1/5$ です。

∎

+ 境界条件のもとで原点（丸）を含む − の島 B と、その輪郭 ∂*B（太線、長さ 12）。輪郭は双対格子の閉曲線で、島の内側を反転すると輪郭の 12 本の不一致の辺がすべて一致に変わり、重みが $e^{24\beta J}$ 倍になる。

系 6.2（d≥2 での相の共存）✓

$d\ge2$、$h=0$、$\beta J\ge\frac12\log6$ ならば $m^*(\beta)\ge1/5$ で、$\mu^+\ne\mu^-$ はともに並進不変な Gibbs 測度である。特に $\beta_c<\infty$。

証明（系 6.2）

$\Lambda=\{-n,\dots,n\}^d$ とし、平面 $P=\Lambda\cap(\mathbb{Z}^2\times\{0\}^{d-2})$ を考えます。$\mu^+_\Lambda$ は、結合 $\beta J$（$\Lambda$ 内の最近接対）と境界の外場をもつ強磁性模型です。$P$ の 2 点を結ばない結合をすべて $0$ にし、$P$ の外の点の外場もすべて $0$ にします。$P$ の点の外場は、$\Lambda$ の外の隣接点からのものですが、$P$ は第 3 座標以降が $0$ の中央の平面なので（$n\ge1$）、それは平面内の隣接点からのものだけです。こうして得た模型では、$P$ のスピンは 2 次元の正方形 $\{-n,\dots,n\}^2$ の $+$ 境界条件の Ising 模型に従い、他のスピンは独立です。結合と外場を減らすと相関は減る（系 3.3［相関不等式］）ので、$\langle\sigma_0\rangle^+_\Lambda\ge\langle\sigma_0\rangle^{+,\,d=2}_{\{-n,\dots,n\}^2}\ge1/5$（定理 6.1）。あとは 定理 4.2 と 命題 4.4 (ii) です。

∎

注意 6.3（輪郭の気体とクラスター展開）

$+$ 境界条件の分配関数は、配位を「互いに両立する輪郭の族」と 1 対 1 に対応させると（2 つの輪郭が双対頂点で接する配位では、どちらの組に分けるかを規則で決めておく必要があります。この細部は省略します）

$$Z^+_\Lambda=e^{\beta J|E_\Lambda|}\sum_{\{\gamma_1,\dots,\gamma_k\}}\prod_{i=1}^ke^{-2\beta J|\gamma_i|}$$

と書けます（$E_\Lambda$ は $\Lambda$ に関わる辺の集合、和は両立する輪郭の族について）。これは クラスター展開 のポリマー系（定義 2.1［クラスター展開と Kotecký–Preiss の判定条件］）そのもので、重み $e^{-2\beta J|\gamma|}$ は低温で小さいので、Kotecký–Preiss の判定条件（定理 4.1［クラスター展開と Kotecký–Preiss の判定条件］）が使えます。こうして低温相の自由エネルギーの解析性や相関の指数減衰が得られます。輪郭の個数の評価 $\ell3^\ell$ が、ここでも鍵になります。

7. Pirogov–Sinai 理論の概要

Peierls の議論はスピン反転の対称性を使いました（$\mu^-$ は $\mu^+$ の反転）。対称性のない模型、たとえば外場を少し加えた Ising 模型や、基底状態が 3 つ以上ある Potts 模型・Blume–Capel 模型では、低温でどの相が安定かは自明ではありません。Pirogov と Sinai（1975）は、輪郭の方法を一般化してこの問題を解きました。

定理 7.1（Pirogov–Sinai の定理（主張））※

$S$ を有限集合とし、$\Phi$ を有限到達距離で並進不変な相互作用とする。$\Phi$ が有限個の周期的基底状態 $g_1,\dots,g_r$ をもち、Peierls 条件（基底状態からずれた配位のエネルギーの超過が、ずれた領域の境界の大きさに比例する定数 $\rho>0$ 以上）を満たすとする。$\Phi$ に $r-1$ 個の摂動パラメータ $\lambda\in\mathbb{R}^{r-1}$ を加えた族 $\Phi_\lambda$ を、基底状態のエネルギーの差が $\lambda$ について非退化に動くようにとる。このとき $\beta$ が十分大きければ、$\lambda$ の空間は、$0$ の近傍で零温度の相図をわずかに変形した相図に分かれる。すなわち、空でない部分集合 $Q\subset\{1,\dots,r\}$ ごとに余次元 $|Q|-1$ の集合 $\mathcal{S}_Q$ があり、$\lambda\in\mathcal{S}_Q$ では、$g_q$（$q\in Q$）の摂動とみなせる周期的な極値 Gibbs 測度が $|Q|$ 個共存する。特に、$r$ 個の相がすべて共存する点がちょうど 1 つある。

注意 7.2（証明の所在）

証明は本章では与えません。原論文 S. A. Pirogov, Ya. G. Sinai (1975–76) のほか、Zahradník による簡略化、Borgs–Imbrie による解析性の結果があり、教科書としては Friedli–Velenik の第 7 章（Peierls の議論と Pirogov–Sinai の入門）が読みやすいでしょう。証明の中心は、各相 $q$ について「$q$ の境界条件で囲まれた輪郭の気体」を作り、不安定な相の輪郭重みを切り詰めた（truncated）重みで Kotecký–Preiss 型のクラスター展開を行うことです。

8. 演習

演習 8.1標準

定理 3.2 の $\mu$ について、$\mu(\sigma_0)=v_+^2-v_-^2$ を示し、これが 定理 6.1［相転移と平均場理論］ の磁化 $\sinh\beta h/\sqrt{\sinh^2\beta h+e^{-4\beta J}}$ に等しいことを確かめてください。

解答

$k=0$ の式から $\mu(\sigma_0=s)=v_s^2$ なので $\mu(\sigma_0)=v_+^2-v_-^2$。$\lambda_+$ の固有ベクトルは $(b,\lambda_+-a)$ に比例するので、$\mu(\sigma_0)=\dfrac{b^2-(\lambda_+-a)^2}{b^2+(\lambda_+-a)^2}$。$D=\sqrt{((a-c)/2)^2+b^2}$ とおくと $\lambda_+-a=D-(a-c)/2$ で、固有方程式 $(\lambda_+-a)(\lambda_+-c)=b^2$ を使うと分子と分母はそれぞれ $2(\lambda_+-a)\cdot\frac{a-c}2$、$2(\lambda_+-a)D$ に等しくなり、$\mu(\sigma_0)=\frac{(a-c)/2}{D}$ です。$(a-c)/2=e^{\beta J}\sinh\beta h$、$b=e^{-\beta J}$ を代入すると $\dfrac{e^{\beta J}\sinh\beta h}{\sqrt{e^{2\beta J}\sinh^2\beta h+e^{-2\beta J}}}=\dfrac{\sinh\beta h}{\sqrt{\sinh^2\beta h+e^{-4\beta J}}}$。

演習 8.2易

$C=\{x\in\mathbb{Z}^2:\|x\|_\infty=1\}$（原点を囲む 8 点）とします。$\partial^*C$ は連結でないこと、$C$ の穴を埋めた $B=C\cup\{0\}$ では $\partial^*B$ が連結な長さ 12 の正方形になることを確かめてください。どの仮定が 補題 5.3 で効いているかも述べてください。

解答

$\partial_eC$ は外側の境界辺 12 本と、原点と 4 つの隣接点を結ぶ内側の 4 本からなります。内側の 4 本の双対は原点を囲む長さ 4 の正方形、外側の 12 本の双対は $[-\frac32,\frac32]^2$ の周で、両者は頂点を共有しないので $\partial^*C$ は 2 つの成分からなります。$B=C\cup\{0\}=\{-1,0,1\}^2$ では内側の 4 本が消え、外側の正方形だけが残ります。$\mathbb{Z}^2\setminus C$ は $\{0\}$ と外側の 2 つの成分をもち連結でないので、補題 5.3 の仮定「補集合が連結」が満たされません。Peierls の議論で穴を埋めるのはこのためです。

演習 8.3標準

定理 6.1 の評価から、$\beta\to\infty$ で $1-m^*(\beta)=O(e^{-8\beta J})$ を示してください。また、原点が孤立した $-$ である配位だけを数えて、$1-\langle\sigma_0\rangle^+_\Lambda\ge c\,e^{-8\beta J}$（$c>0$ は $\beta$ によらない、$\beta J\ge1$）を示し、指数 $8\beta J$ が正しいことを確かめてください。

解答

$y=9e^{-4\beta J}$ なので $\sum_{j\ge2}2jy^j=4y^2(1+O(y))=324e^{-8\beta J}(1+O(e^{-4\beta J}))$、よって $1-\langle\sigma_0\rangle^+_\Lambda=2\mu^+_\Lambda(\sigma_0=-1)=O(e^{-8\beta J})$ が $\Lambda$ について一様に成り立ち、$m^*$ にも引き継がれます。逆向きには、原点のスピンを反転する写像を、4 つの隣接点がすべて $+$ の配位に使うと、重みは $e^{-8\beta J}$ 倍になります。よって $\mu^+_\Lambda(\sigma_0=-1)\ge e^{-8\beta J}\mu^+_\Lambda(\text{原点と 4 隣接点がすべて }+)$ です（$n\ge1$）。定理 6.1 の証明は、着目する点が $\Lambda$ に属し $\mathbb{Z}^2\setminus\Lambda$ が連結であることしか使わないので、原点の隣接点 $x$ でも $\mu^+_\Lambda(\sigma_x=-1)\le2y^2(2-y)/(1-y)^2$ です。$\beta J\ge1$ では $y\le9e^{-4}<0.17$ で、この右辺は $0.15$ 未満なので、5 点がすべて $+$ である確率は $1-5\cdot0.15=0.25$ 以上です。したがって $1-\langle\sigma_0\rangle^+_\Lambda=2\mu^+_\Lambda(\sigma_0=-1)\ge0.5\,e^{-8\beta J}$ です。

参考文献

• S. Friedli, Y. Velenik, Statistical Mechanics of Lattice Systems: A Concrete Mathematical Introduction, Cambridge University Press, 2017 — 第 3 章（1 次元と Peierls の議論）、第 7 章（Pirogov–Sinai 理論）。
• H.-O. Georgii, Gibbs Measures and Phase Transitions, 2nd ed., de Gruyter, 2011 — 第 6 章（Ising 模型の相転移）。
• R. Peierls, “On Ising’s model of ferromagnetism”, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 32 (1936), 477–481.
• R. B. Griffiths, “Peierls proof of spontaneous magnetization in a two-dimensional Ising ferromagnet”, Physical Review 136 (1964), A437–A439.
• S. A. Pirogov, Ya. G. Sinai, “Phase diagrams of classical lattice systems”, Theoretical and Mathematical Physics 25 (1975), 1185–1192; 26 (1976), 39–49.
• B. Simon, The Statistical Mechanics of Lattice Gases, Vol. I, Princeton University Press, 1993 — 転送行列と 1 次元系を扱う節。