相関不等式：Griffiths・GKS・FKG・Lebowitz と無限体積極限

物理学構成的場の理論と Euclid 手法第4章博士・研究有料「本」の章約 46 分2026-10-03

対象読者: 本テーマ第 3 章までの内容と、強磁性 Ising 模型の定義および確率測度の期待値を知っている博士課程の人。相関不等式の知識は仮定しません。

前提となる記事:P(φ)₂ 模型の構成：Nelson の評価・Feynman–Kac–Nelson 公式・無限体積極限

0. この記事の要点

小さな磁石が格子状に並び、隣り合うものが同じ向きをそろえたがる状況を考えます。ある場所の磁石が上を向いていると、離れた場所の磁石も上を向きやすくなるはずですが、それを厳密な不等式として言い切れるのでしょうか。この記事は、そうした「向きのそろいやすさ（相関）」の符号と大小を、計算が難しい模型でも確かめられる不等式にまとめます。読み終えると、体積を広げたときに相関がどちら向きに動くかを、これらの不等式から説明できるようになります。

強磁性（すべての結合と外場が非負）の Ising 模型では、スピンの積の期待値が非負（Griffiths の第 1 不等式）で、2 つの積は正に相関します（第 2 不等式、GKS）。第 2 不等式は「相関は結合定数・外場について単調増加」と同値で、体積を広げると相関が増えることを意味します。
証明は、Boltzmann 因子を冪級数に展開して符号を見るだけです（第 1）。第 2 は、独立な複製 $\sigma'$ を用意し $\sigma'_i=\sigma_i\tau_i$ と置き換えて第 1 に帰着させます。
Griffiths–Simon 構成: 臨界 Curie–Weiss 模型の $N$ 個のスピンの和を $N^{-3/4}$ で規格化すると、分布が $e^{-x^4/12-ax^2/2}$ に収束します。これにより $\phi^4$ 型の 1 点分布をもつ格子場は強磁性 Ising 模型の極限になり、Ising で示した不等式がすべて移ります。
FKG 不等式: 束条件 $\mu(\omega\vee\eta)\mu(\omega\wedge\eta)\ge\mu(\omega)\mu(\eta)$ を満たす測度では、単調増加関数どうしが正に相関します。外場の符号によらず強磁性 Ising 模型に使えます。
Lebowitz 不等式: 外場 $0$ の強磁性 Ising 模型と Griffiths–Simon 族では 4 点 Ursell 関数が $u_4\le0$ です。本章では、複製変数 $t=(\sigma+\sigma')/2$ , $q=(\sigma-\sigma')/2$ で $u_4$ を共分散に書き直し、FKG で符号を決めます。これはくりこまれた結合 $g_R\ge0$ と、自明性の判定（ $g_R\to0$ なら Gauss 的）の出発点です。

強磁性 Ising 模型: 各点に $\pm1$ のスピンがあり、結合と外場がすべて非負で、スピンが同じ向きにそろうほど重みが大きい模型。→ 強磁性 Ising 模型
分配関数: 重み（Boltzmann 因子）をすべての配置について足し合わせたもので、期待値を作るときの規格化の定数。- Schwinger 関数と Dirichlet 境界条件: 場の積の期待値と、領域の境界で場を 0 に固定する条件。前章 P(φ)₂ 模型の構成で扱いました。
Wick の定理: Gauss 測度の高次の積率が、2 点の積率の積の和で書けるという定理。
優収束定理: 積分の中身が可積分な関数で押さえられるとき、極限と積分を入れ替えてよいという定理。

1. 動機

前章では、 $\phi^4$ 型の $P(\phi)_2$ 模型について、Dirichlet 境界条件の下で Schwinger 関数が体積について単調増加すること（定理 5.2［P(φ)₂ 模型の構成］）を述べ、証明を本章に回しました。単調で有界な列は収束するので、これだけで無限体積極限が存在します。弱結合を仮定するクラスター展開と違い、結合の強さによらない議論です。

この単調性の源は、統計力学の相関不等式です。Griffiths（1967）は強磁性 Ising 模型の相関関数の符号と単調性を示し、Kelly–Sherman と Ginibre がそれを一般化しました（まとめて GKS 不等式）。Fortuin–Kasteleyn–Ginibre（1971）は束の上の単調関数の相関（FKG）を、Lebowitz（1974）は 4 点の連結相関関数の符号を示しました。場の理論の側で重要なのは、格子 $\phi^4$ 模型がこれらの不等式を満たすこと（Simon–Griffiths 1973）で、これにより連続極限で得た $P(\phi)_2$ 測度にも不等式が引き継がれます。Lebowitz の不等式は 4 次元 $\phi^4$ の自明性の議論（ランダムカレントの章、定理 3.4［φ⁴ 理論の自明性・有限体積効果・O(N) 模型］）でも中心的な役割を果たします。