P(φ)₂ の無限体積極限：周期境界の鏡映正値性、チェッカーボード評価、体積に一様な φ 評価と OS 公理

0. この記事の要点

場の理論を、有限の広さの空間から無限に広い空間へ広げるとき、広げるほど評価が悪くなっていくのでは困ります。この記事は、トーラス（ドーナツ型の面）の上で、空間の半分と、それを鏡に映したもう半分の関係に着目すると、広さに比例する量だけで全体を押さえられることを示します。読み終えると、空間を大きくしても壊れない一様な評価がどう得られ、それで無限に広い空間での極限が作れる理由を説明できます。

• 周期境界のトーラス $T$ 上の自由場は、時間方向の Green 関数が $e^{-\omega t}e^{-\omega s}$ と $e^{\omega t}e^{\omega s}$ の正係数の和に分かれることから鏡映正値（反射正値性。鏡に映した場との相関が負にならない性質）です。相互作用 $e^{-U_T}$ は鏡映で 2 つに分かれるので、周期境界の $P(\phi)_2$ 測度 $\mu_T$ も鏡映正値になります。
• 鏡映正値性の Cauchy–Schwarz 不等式を、箱の格子のあらゆる線について繰り返すと チェッカーボード評価 $\langle\prod_\beta\vartheta_\beta F_\beta\rangle\le\prod_\beta\langle\prod_\gamma\vartheta_\gamma F_\beta\rangle^{1/N}$ が得られます。証明は、比を最大にする配置のうち「隣どうしが一致する対」が最も多いものを考える、Gauss 支配（Gauss 型の相関不等式の章で扱う不等式）と同じ論法です。
• 圧力（分配関数の対数 $\log Z$ を体積あたりにしたもの）の体積に比例する上界 $\log Z_T(h)\le c\int_T(1+|h|^p)$（評価 I。証明は次章で、Nelson の対称性と転送行列のトレース（時間方向に 1 ステップ進める作用素のトレース）によって与えます）と Jensen の不等式による下界から、チェッカーボード評価と $\log Z$ の凸性で、体積に一様な φ 評価（Glimm–Jaffe）$\log\langle e^{\phi(f)}\rangle_T\le C\sum_\beta(\|f\|_{L^p(\Delta_\beta)}+\|f\|_{L^p(\Delta_\beta)}^p)$ を証明します。
• φ 評価から、トーラスを大きくしたときの Schwinger 関数の極限点の存在と、極限が OS 公理の (E0)(E0’)(E2)(E3) と並進不変性を満たすことが従います。$\phi^4$ 型では GKS 不等式で Dirichlet 境界の Schwinger 関数を周期境界で上から押さえ、Nelson の単調極限に必要だった体積に一様な上界を与えます。
• 全 Euclid 不変性とクラスター性 (E4) まで含めた OS 公理の検証を、どの段階でどの主張（Glimm–Jaffe–Spencer のクラスター展開、格子近似による相関不等式）を使うかを明示して組み立てます。

この記事で使う事前知識

• 反射正値性: 時間を反転した場との期待値 $\langle\overline{\Theta F}\,F\rangle$ が 0 以上になる、という性質。→ 反射正値性
• Wick 冪: 場の冪から自己縮約の分を引いて、紫外側の発散を取り除いたもの。→ Wick 冪
• P(φ)₂ 測度と Nelson の評価: 有限体積の Euclid 測度 $Z_\Lambda^{-1}e^{-U_\Lambda}d\mu_C$ の作り方と、$e^{-U_\Lambda}$ が可積分になる理由。→ P(φ)₂ 模型の構成
• Ginibre の不等式・Gauss 支配: 非負係数の相互作用を強めると、場の積の期待値が減らない、という型の不等式。→ Gauss 型の相関不等式

1. 動機

$P(\phi)_2$ 模型の構成 では、有限体積の Euclid 測度 $d\mu_\Lambda=Z_\Lambda^{-1}e^{-U_\Lambda}d\mu_C$ を Nelson の評価で作り、無限体積極限については Dirichlet 境界条件の単調性（Nelson）と Glimm–Jaffe–Spencer のクラスター展開の 2 つの主張を述べました。どちらの経路でも欠かせないのが、体積によらない評価です。単調な列が収束するには上界が要り、OS 公理の正則性 (E0’) には $n!$ 程度の増え方を体積によらず押さえる評価が要ります。

素朴な Nelson の評価は体積に一様ではありません。$U_\Lambda$ の下界 $-B|\Lambda|(\log\kappa)^n$ は体積に比例して悪化し、$L^p$ の評価も体積に比例して大きくなるので、$\langle e^{\phi(f)}\rangle_\Lambda$ を $\Lambda$ によらずに押さえるには別の仕組みが必要です。Fröhlich（1974）と Glimm–Jaffe が見つけた仕組みは鏡映正値性でした。周期境界のトーラス上では、箱の境界の線についての鏡映がすべて正値性を保ち、Cauchy–Schwarz の不等式を繰り返すと、ばらばらの箱に置いた関数の期待値を「1 つの関数を全部の箱に鏡映で並べた期待値」の幾何平均で押さえられます（チェッカーボード評価）。後者は並進不変な量なので、体積に比例する量 $|T|\times(\text{圧力})$ の差として評価でき、体積あたりの評価になります。

本章では、この仕組みを証明付きで組み立て、Gauss 型の相関不等式 と合わせて無限体積極限と OS 公理の検証に使います。

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