核型空間と Bochner–Minlos の定理：正定値関数から 𝒮′ 上の確率測度を作る

0. この記事の要点

ランダムな数を 1 個ではなく、無限個まとめて扱いたいとします。たとえば、時間とともに揺れ続ける雑音や、空間の各点にランダムな値をもつ場です。このとき「それらしい確率」を無限個の数の上に定義できるのか、という素朴な問いが出てきます。本記事では、有限個の数なら特性関数（確率を Fourier 変換で表したもの）から確率を復元できることを出発点に、無限個の場合に確率がきちんと定義できる条件を調べます。読み終えると、ホワイトノイズのような「関数ではないランダムな対象」に確率測度を与える方法が分かります。

• 関数 $\varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{C}$ が正定値とは、任意の点 $x_1,\ldots,x_N$ について行列 $(\varphi(x_k-x_j))_{j,k}$ が半正定値になることです。確率測度の Fourier 変換（特性関数）は正定値です。
• Bochner の定理: 連続な正定値関数で $\varphi(0)=1$ のものは、ちょうど $\mathbb{R}^n$ 上の確率測度の特性関数です。本記事では、$\varphi$ から Hilbert 空間と平行移動のユニタリ群を作り、Stone の定理と結合スペクトル測度で測度を取り出します。
• 有限次元の Bochner の定理だけでは、無限次元の空間に測度は作れません。有限次元の測度を貼り合わせた「円筒測度」（有限個の座標だけで決まる集合の上で定義された測度のこと）は、空間を大きく取らないと可算加法的になりません。
• $\mathcal{S}$ は核型空間です。Hermite 表示では、ノルムの重みを $(2|\alpha|+n)^{n}$ だけ上げると埋め込みが Hilbert–Schmidt（無限次元の行列の成分の 2 乗和が有限になる作用素）になります。
• Minlos の定理: $\mathcal{S}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}^d)$ 上の連続な正定値汎関数 $C$ で $C(0)=1$ のものは、$\mathcal{S}'_{\mathbb{R}}$ 上のただ一つの確率測度の特性汎関数です。核型性は「測度が $\mathcal{S}'$ に乗る」ことの証明でちょうど一度使われます。
• 応用として、共分散 $B(f,g)$ をもつ $\mathcal{S}'$ 上の Gauss 測度（ホワイトノイズ、Euclid 自由場）が得られます。これは Q 空間の章で主張だけを述べた Bochner–Minlos の定理の証明です。

この記事で使う事前知識

• 特性関数: 確率測度 $\mu$ に対して $\int e^{ix\cdot\xi}\,d\mu(\xi)$ で決まる関数。→ 特性関数
• Hilbert 空間: 内積をもち、その内積から決まる距離で完備な空間。→ Hilbert 空間
• ユニタリ作用素: 内積を保つ全単射な線形写像。→ ユニタリ
• 正規直交基底: 長さ 1 で互いに直交し、全体で空間を張るベクトルの族。→ 正規直交基底
• 自己共役作用素: スペクトル定理で実数値の測度に分解できる作用素。→ 自己共役作用素
• Gauss ベクトル: 各成分の線形結合が正規分布に従うランダムベクトル。→ Gauss ベクトル

1. 動機

構成的場の量子論では、場 $\phi$ を「ランダムな超関数」として扱い、汎関数積分 $\int F(\phi)\,d\mu(\phi)$ を測度論的に定義します。最も基本的な測度は自由場の Gauss 測度で、形式的には

$$d\mu(\phi)=\frac1Z\exp\Bigl(-\frac12\int\phi\,(-\Delta+m^2)\phi\,dx\Bigr)\prod_x d\phi(x)$$

と書かれます。右辺の「無限個の Lebesgue 測度の積」は存在しないので、この式はそのままでは意味を持ちません。

意味を与えるのが特性汎関数です。Gauss 測度なら、$\int e^{i\phi(f)}d\mu(\phi)=\exp(-\frac12\langle f,(-\Delta+m^2)^{-1}f\rangle)$ となるはずです。そこで問題は次の形になります。

汎関数 $C(f)$ が与えられたとき、どの空間上に、$\int e^{i\phi(f)}d\mu=C(f)$ を満たす確率測度 $\mu$ が存在するか。

有限次元ではこれが Bochner の定理です。無限次元では、$\phi$ を $L^2$ の元として探しても見つかりません（演習 7.1）。$\phi$ は $\mathcal{S}'$ のように十分大きな空間に住む必要があり、その「十分大きい」を正確に述べるのが核型性です。

2. 正定値関数と Bochner の定理

定義 2.1（正定値関数）↗

集合 $G$ が加法群（$\mathbb{R}^n$ や実ベクトル空間）のとき、関数 $\varphi:G\to\mathbb{C}$ が正定値であるとは、任意の $N$、$x_1,\ldots,x_N\in G$、$c_1,\ldots,c_N\in\mathbb{C}$ について

$$\sum_{j,k=1}^N\bar c_jc_k\,\varphi(x_k-x_j)\ge0$$

となることをいう。$\mathbb{R}^n$ 上の確率測度 $\mu$ の特性関数を $\hat\mu(x)=\int e^{ix\cdot\xi}\,d\mu(\xi)$ と書く。

命題 2.2（正定値関数の基本性質）✓

$\varphi$ を正定値とする。

1. $\varphi(0)\ge0$、$\varphi(-x)=\overline{\varphi(x)}$、$|\varphi(x)|\le\varphi(0)$。
2. 確率測度の特性関数は正定値で連続である。
3. 正定値関数の積、非負係数の一次結合、各点極限は正定値である。

証明（命題 2.2）

1: $N=1$ から $\varphi(0)\ge0$。$N=2$、$x_1=0$、$x_2=x$ とすると、行列 $\begin{pmatrix}\varphi(0)&\varphi(x)\\\varphi(-x)&\varphi(0)\end{pmatrix}$ が半正定値 Hermite 行列なので、$\varphi(-x)=\overline{\varphi(x)}$ かつ行列式から $|\varphi(x)|^2\le\varphi(0)^2$ です。

2: $\sum_{j,k}\bar c_jc_k\hat\mu(x_k-x_j)=\int\bigl|\sum_kc_ke^{ix_k\cdot\xi}\bigr|^2d\mu(\xi)\ge0$ です。連続性は優収束定理（優関数 $1$）から出ます。

3: 積については、半正定値行列の成分ごとの積が半正定値である（Schur の積定理: $A=\sum_pu_pu_p^*$、$B=\sum_qv_qv_q^*$ と分解すると $A\circ B=\sum_{p,q}(u_p\circ v_q)(u_p\circ v_q)^*$）ことから出ます。残りは定義から明らかです。

∎

例えば $e^{-|x|^2/2}$ は標準正規分布の特性関数なので正定値です（命題 3.1［ℝⁿ 上のフーリエ変換］）。$\cos x=\frac12(e^{ix}+e^{-ix})$ は $\frac12(\delta_1+\delta_{-1})$ の特性関数です。一方 $e^{-x^4}$ は正定値ではありません（演習 7.2）。

補題 2.3（特性関数による一意性）✓

$\mathbb{R}^n$ 上のボレル確率測度 $\mu,\nu$ が $\hat\mu=\hat\nu$ を満たすならば $\mu=\nu$ である。

証明（補題 2.3）

$f\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ について、Fubini の定理で $\int\hat f\,d\mu=\int\!\!\int f(x)e^{-ix\cdot\xi}dx\,d\mu(\xi)=\int f(x)\hat\mu(-x)\,dx$ なので、$\int\hat f\,d\mu=\int\hat f\,d\nu$ です。$\mathcal{F}$ は $\mathcal{S}$ 上で全射（定理 4.2［Schwartz 空間と緩増加超関数］）なので、すべての $g\in\mathcal{S}$、とくに $g\in C_c^\infty$ で $\int g\,d\mu=\int g\,d\nu$ です。開直方体 $Q$ を、コンパクト集合の増大列 $K_k$（$Q$ を各辺で $1/k$ ずつ縮めた閉直方体）で尽くし、補題 2.3［Schwartz 空間と緩増加超関数］ の 1 で $g_k\in C_c^\infty(Q)$、$0\le g_k\le1$、$K_k$ 上 $g_k=1$ を取ります。$g_k\to\mathbf{1}_Q$ が各点で成り立つので、優収束定理（優関数 $1$）で $\mu(Q)=\nu(Q)$ です。開直方体全体と空集合は π-系でボレル集合族を生成するので、定理 4.5［測度空間と Carathéodory の拡張定理］ から $\mu=\nu$ です。

∎

定理 2.4（Bochner の定理）✓

$\varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{C}$ を連続な正定値関数で $\varphi(0)=1$ とする。このとき $\mathbb{R}^n$ 上のボレル確率測度 $\mu$ がただ一つ存在して、すべての $x$ で

$$\varphi(x)=\int_{\mathbb{R}^n}e^{ix\cdot\xi}\,d\mu(\xi).$$

逆に、確率測度の特性関数は連続な正定値関数で値 $\varphi(0)=1$ をとる。

次の証明のねらいは、与えられた関数 $\varphi$ から、確率測度を「取り出せる場所」まで運ぶことです。第 1 段では $\varphi$ を内積の形に読み替えて Hilbert 空間を作ります（正定値性は、その内積が負にならないことの言い換えです）。第 2〜3 段では、その空間で平行移動がユニタリ作用素の群として働くことを使い、スペクトル定理でそれを積分の形に書き直します。第 4 段で、その積分から確率測度が現れます。

Bochner の定理の証明の流れ。

証明（定理 2.4）

逆と一意性は 命題 2.2 の 2 と 補題 2.3 です。存在を示します。

第 1 段: Hilbert 空間の構成（GNS 構成）. 有限個の点でだけ $0$ でない関数 $u:\mathbb{R}^n\to\mathbb{C}$ の全体を $V$ とし、

$$(u,v)_\varphi=\sum_{x,y\in\mathbb{R}^n}\overline{u(x)}\,v(y)\,\varphi(y-x)$$

とおきます。正定値性から $(u,u)_\varphi\ge0$、命題 2.2 の 1 から $(v,u)_\varphi=\overline{(u,v)_\varphi}$ です。半正定値な Hermite 形式でも Cauchy–Schwarz の不等式 $|(u,v)_\varphi|^2\le(u,u)_\varphi(v,v)_\varphi$ が成り立つ（$t\in\mathbb{R}$ と $|\theta|=1$ について $(u+t\theta v,u+t\theta v)_\varphi\ge0$ を $t$ の 2 次式と見て判別式を取る。命題 2.2［Hilbert 空間の基礎］ と同じ計算）ので、$\mathcal{N}=\{u\mid(u,u)_\varphi=0\}=\{u\mid(v,u)_\varphi=0\ \forall v\}$ は部分空間です。$V/\mathcal{N}$ は内積空間になり、その完備化（定理 3.2［距離空間］）を $\mathcal{H}$ とします。$\delta_y$（$y$ で $1$、他で $0$）の類を $[\delta_y]$ と書くと $\langle[\delta_x],[\delta_y]\rangle=\varphi(y-x)$ です。

第 2 段: 平行移動のユニタリ群. $a\in\mathbb{R}^n$ について $(\tau_au)(x)=u(x-a)$ とおくと、$\varphi((y+a)-(x+a))=\varphi(y-x)$ なので $(\tau_au,\tau_av)_\varphi=(u,v)_\varphi$ です。したがって $\tau_a$ は $\mathcal{N}$ を保ち、$V/\mathcal{N}$ 上の等長写像を経て $\mathcal{H}$ 上の等長作用素 $U(a)$ に延びます。$U(a)U(b)=U(a+b)$、$U(0)=1$ なので $U(a)$ は逆 $U(-a)$ をもち、ユニタリです。強連続性: $\|U(a)[\delta_y]-[\delta_y]\|^2=2\varphi(0)-2\,\mathrm{Re}\,\varphi(a)\to0$（$a\to0$）で、これは有限一次結合に延び、$\|U(a)\|=1$ と稠密性から $\varepsilon/3$ 論法ですべてのベクトルに延びます。

第 3 段: スペクトル分解. 標準基底 $e_j$ について $t\mapsto U(te_j)$ は強連続 1 径数ユニタリ群なので、Stone の定理（定理 3.1［1 径数ユニタリ群と強連続半群］）から自己共役作用素 $P_j$ で $U(te_j)=e^{itP_j}$ となるものがあります。$U(se_j)$ と $U(te_k)$ は可換なので、命題 7.2［スペクトル定理と関数計算］ から $P_1,\ldots,P_n$ は互いに可換で、結合スペクトル測度 $E$（定理 7.3［スペクトル定理と関数計算］）が存在します。$E(\mathbb{R}\times\cdots\times S\times\cdots\times\mathbb{R})=E_{P_j}(S)$（$S$ は第 $j$ 成分）なので、単関数近似から有界ボレル関数 $g$ について $g(P_j)=\int g(\lambda_j)\,dE(\lambda)$ です。命題 4.1［スペクトル定理と関数計算］ の 1（積の保存）を使うと

$$U(x)=\prod_jU(x_je_j)=\prod_j\int e^{ix_j\lambda_j}\,dE(\lambda)=\int_{\mathbb{R}^n}e^{ix\cdot\lambda}\,dE(\lambda).$$

第 4 段: 測度. $\Omega=[\delta_0]$ とおくと $\|\Omega\|^2=\varphi(0)=1$ で、$\mu(B)=\langle\Omega,E(B)\Omega\rangle$ は確率測度です（命題 3.2［スペクトル定理と関数計算］ の 2）。命題 4.1［スペクトル定理と関数計算］ の 2 から

$$\varphi(x)=\langle[\delta_0],[\delta_x]\rangle=\langle\Omega,U(x)\Omega\rangle=\int e^{ix\cdot\lambda}\,d\mu(\lambda).$$∎

この証明は、「正定値関数 = 平行移動の群の表現の行列要素」「確率測度 = その表現のスペクトル」という対応を示しています。場の量子論でいえば、$\varphi$ は 2 点関数、$\mathcal{H}$ は再構成された状態空間、$\mu$ はエネルギー運動量スペクトル測度に当たります。古典的には、$\varphi$ に Gauss 因子 $e^{-\varepsilon|x|^2}$ を掛けて Fourier 変換した非負関数の極限として $\mu$ を得る証明もありますが、極限の測度の存在に測度の弱収束の理論が要ります。

命題 2.5（有限次元の Gauss 測度）✓

$A$ を $n\times n$ の実対称半正定値行列とし、$A=MM^{\mathsf{T}}$（$M$ は実行列）と書く。標準正規分布の $n$ 重直積 $\gamma_n$ の $y\mapsto My$ による像測度 $N(0,A)$ は、特性関数 $\int e^{ix\cdot\xi}\,dN(0,A)(\xi)=e^{-\langle x,Ax\rangle/2}$ をもち、$M$ の選び方によらない。$\xi\sim N(0,A)$ なら $\int\xi_j\xi_k\,dN(0,A)=A_{jk}$ である。

証明（命題 2.5）

命題 3.1［ℝⁿ 上のフーリエ変換］ と Fubini の定理から

$$\int e^{ix\cdot\xi}\,dN(0,A)(\xi)=\int e^{i(M^{\mathsf{T}}x)\cdot y}\,d\gamma_n(y)=e^{-|M^{\mathsf{T}}x|^2/2}=e^{-\langle x,Ax\rangle/2}$$

です。右辺は $A$ だけで決まるので、補題 2.3 から $N(0,A)$ は $M$ の選び方によりません（$A$ が退化していてもよい。$A=0$ なら $\delta_0$）。$\xi=My$ とすると $\int\xi_j\xi_k\,dN(0,A)=\sum_{p,q}M_{jp}M_{kq}\int y_py_q\,d\gamma_n=\sum_pM_{jp}M_{kp}=A_{jk}$ です。

∎

例 2.6（有限次元の Gauss 測度）

$A$ を $n\times n$ の実対称半正定値行列とします。$A=MM^{\mathsf{T}}$（$M$ は実行列）と書き、標準正規分布の $n$ 重直積 $\gamma_n$ の $y\mapsto My$ による像測度を $N(0,A)$ とします。命題 3.1［ℝⁿ 上のフーリエ変換］ と Fubini の定理から

$$\int e^{ix\cdot\xi}\,dN(0,A)(\xi)=\int e^{i(M^{\mathsf{T}}x)\cdot y}\,d\gamma_n(y)=e^{-|M^{\mathsf{T}}x|^2/2}=e^{-\langle x,Ax\rangle/2}$$

です。とくに $e^{-\langle x,Ax\rangle/2}$ は正定値で、補題 2.3 から $N(0,A)$ は $M$ の選び方によりません。$A$ が退化していてもよいことに注意してください（$A=0$ なら $\delta_0$）。$\xi\sim N(0,A)$ なら $\int\xi_j\xi_k\,dN(0,A)=A_{jk}$ です。

3. 核型空間と 𝒮 の Hermite 表示

次の定義は、ノルムを少しずつ強めていくと、弱いノルムから見た強いノルムの単位球がどんどん細くなる、という性質を述べています。たとえば Hermite 係数の列で考えると、第 $\alpha$ 成分に重み $(2|\alpha|+n)^{m}$ を掛けたものが $m$ 番目のノルムです。$m$ を増やすと、次数の高い成分ほど強く押さえられます。その押さえ方が十分に速い（成分ごとの縮み方の 2 乗和が有限になる）ことが、核型の意味です。

定義 3.1（可算ヒルベルト空間と核型空間）↗

ベクトル空間 $E$ 上に内積から来るノルムの増大列 $\|\cdot\|_0\le\|\cdot\|_1\le\cdots$ が与えられ、$E$ がこれらの定める距離（定義 3.2［Schwartz 空間と緩増加超関数］）で完備なとき、$E$ を可算ヒルベルト空間という。$E$ の $\|\cdot\|_m$ による完備化を $\mathcal{H}_m$ とし、$m\lt m'$ について恒等写像 $E\to E$ が延びて得られる縮小写像を $\iota_{m',m}:\mathcal{H}_{m'}\to\mathcal{H}_m$ とする。各 $m$ についてある $m'\gt m$ が存在して $\iota_{m',m}$ が Hilbert–Schmidt 作用素となるとき、$E$ を核型であるという。

Hilbert–Schmidt 作用素の定義と基本性質は コンパクト作用素 にあります（ある正規直交基底 $(u_k)$ について $\sum_k\|\iota u_k\|^2\lt\infty$ で、この和は基底によらない。命題 6.1［コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス］）。

定理 3.2（𝒮 は核型）✓

$\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ に Hermite ノルム $\|f\|_{H,m}=\bigl(\sum_\alpha(2|\alpha|+n)^{2m}|c_\alpha(f)|^2\bigr)^{1/2}$（定理 5.2［Schwartz 空間と緩増加超関数］）を入れると、核型の可算ヒルベルト空間になる。より詳しく、$\iota_{m+n,m}$ は Hilbert–Schmidt で

$$\|\iota_{m+n,m}\|_{\mathrm{HS}}^2=\sum_{\alpha\in\mathbb{N}_0^n}(2|\alpha|+n)^{-2n}\lt\infty .$$

証明（定理 3.2）

$\|\cdot\|_{H,m}$ は内積 $\sum_\alpha(2|\alpha|+n)^{2m}\overline{c_\alpha(f)}c_\alpha(g)$ から来るノルムで、定理 5.2［Schwartz 空間と緩増加超関数］ により $\mathcal{S}$ の位相を定め、$\mathcal{S}$ はこれで完備です。$\mathcal{H}_m$ は重み付き数列空間 $\ell^2((2|\alpha|+n)^{2m})$ と同一視され、$u_\alpha=(2|\alpha|+n)^{-m-n}h_\alpha$ は $\mathcal{H}_{m+n}$ の正規直交基底です。$\|\iota u_\alpha\|_{H,m}=(2|\alpha|+n)^{m}(2|\alpha|+n)^{-m-n}=(2|\alpha|+n)^{-n}$ なので、HS ノルムは主張の和です。$|\alpha|=k$ となる $\alpha$ の個数は $\binom{k+n-1}{n-1}\le(k+1)^{n-1}$ なので、和は $\sum_k(k+1)^{n-1}(k+1)^{-2n}\lt\infty$ で抑えられます。

∎

注意 3.3（核型性の意味）

$L^2$ 自身（すべてのノルムが同じ空間）は核型ではありません。無限次元 Hilbert 空間の恒等写像は Hilbert–Schmidt でないからです。核型性は「ノルムを少し強めると単位球が非常に小さくなる」という性質で、有限次元空間に最も近い無限次元の振る舞いです。双対側では、系 5.3［Schwartz 空間と緩増加超関数］ から $\mathcal{S}'=\bigcup_m\mathcal{H}_{-m}$（$\mathcal{H}_{-m}$ は重み $(2|\alpha|+n)^{-2m}$ の $\ell^2$）となり、$\mathcal{H}_{-m}\subset\mathcal{H}_{-m-n}$ の埋め込みも Hilbert–Schmidt です。Minlos の定理の証明では、「$\mathcal{H}_{-m}$ には乗らない測度も、$\mathcal{H}_{-m-n}$ には乗る」という形でこれを使います。

4. 数列空間上の測度の構成

Minlos の定理では、まず Hermite 係数の数列空間 $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ 上に測度を作ります。$\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ には座標射影 $\pi_N(t)=(t_1,\ldots,t_N)$ を可測にする最小の σ-加法族（直積 σ-加法族）を入れます。必要な事実は次の 2 つです。

補題 4.1（有限ボレル測度の内部正則性）✓

$\nu$ を $\mathbb{R}^N$ 上の有限ボレル測度とする。任意のボレル集合 $B$ と $\varepsilon\gt0$ に対し、コンパクト集合 $K\subset B$ で $\nu(B\setminus K)\lt\varepsilon$ となるものが存在する。

証明（補題 4.1）

$\mathbb{R}^N$ は Polish 空間なので、Ulam の定理（定理 3.3［Kolmogorov の拡張定理と連続性定理］ の 2）そのものです。

∎

補題 4.2（数列空間上の測度の拡張）✓

各 $N$ について $\mathbb{R}^N$ 上のボレル確率測度 $\nu_N$ が与えられ、整合条件 $\nu_{N+1}(B\times\mathbb{R})=\nu_N(B)$（$B\subset\mathbb{R}^N$ ボレル）を満たすとする。このとき $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ 上の確率測度 $\nu$ がただ一つ存在して、すべての $N$ と $B$ で $\nu(\pi_N^{-1}(B))=\nu_N(B)$ となる。

証明（補題 4.2）

Kolmogorov の拡張定理（定理 4.1［Kolmogorov の拡張定理と連続性定理］）を $T=\{1,2,\ldots\}$、$E=\mathbb{R}$（Polish 空間）に使います。有限集合 $J\subset T$ について、$N\ge\max J$ を取り $\mu_J=\nu_N\circ(\pi^N_J)^{-1}$（$\pi^N_J:\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}^J$ は $J$ 成分への射影）とおきます。整合条件を繰り返し使うと $\nu_{N'}\circ(\pi^{N'}_N)^{-1}=\nu_N$（$N'\ge N$）で、$\pi^{N'}_J=\pi^N_J\circ\pi^{N'}_N$ なので、$\mu_J$ は $N$ の選び方によりません。$J\subset K$ なら $N\ge\max K$ を共通に取って $\pi^N_J=\pi^K_J\circ\pi^N_K$ から $\mu_K\circ(\pi^K_J)^{-1}=\mu_J$、すなわち族 $(\mu_J)$ は整合的です（定義 2.3［Kolmogorov の拡張定理と連続性定理］）。$\mathbb{R}^J$ のボレル集合族は直積 σ-加法族に等しい（補題 2.2［Kolmogorov の拡張定理と連続性定理］）ので、定理から直積 σ-加法族上の確率測度 $\nu$ で $\nu\circ\pi_J^{-1}=\mu_J$ となるものがただ一つ存在します。$J=\{1,\ldots,N\}$ とすれば $\nu(\pi_N^{-1}(B))=\nu_N(B)$ です。一意性: この条件を満たす測度は $\nu\circ\pi_J^{-1}=\nu_N\circ(\pi^N_J)^{-1}=\mu_J$ を満たすので、定理の一意性に帰着します。

∎

これは Kolmogorov の拡張定理の、可算個の実座標の場合です。その証明の要は内部正則性（補題 4.1、コンパクト集合で近似できること）で、有限次元の位相が使われています。

5. Minlos の定理

この節の目標は、Bochner の定理を無限次元に持ち上げることです。有限次元では連続な正定値関数があれば測度が得られましたが、無限次元では、測度をどの空間に乗せるかが問題になります。答えは、$\mathcal{S}$ が核型空間であれば $\mathcal{S}'$ に乗せられる、というものです。

以下 $\mathcal{S}_{\mathbb{R}}=\mathcal{S}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}^d)$ を実数値の急減少関数、$\mathcal{S}'_{\mathbb{R}}$ を $\mathcal{S}_{\mathbb{R}}$ 上の実数値連続線形汎関数の空間とし、$\mathcal{S}'_{\mathbb{R}}$ には写像 $T\mapsto T(f)$（$f\in\mathcal{S}_{\mathbb{R}}$）をすべて可測にする最小の σ-加法族 $\mathfrak{B}$（円筒 σ-加法族）を入れます。確率測度 $\mu$ の特性汎関数を $\hat\mu(f)=\int e^{iT(f)}\,d\mu(T)$ とします。

定理 5.1（Minlos の定理（𝒮′ の場合））✓

$C:\mathcal{S}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}^d)\to\mathbb{C}$ が (i) $\mathcal{S}_{\mathbb{R}}$ の位相で連続、(ii) 正定値（定義 2.1）、(iii) $C(0)=1$ を満たすとする。このとき $(\mathcal{S}'_{\mathbb{R}},\mathfrak{B})$ 上の確率測度 $\mu$ がただ一つ存在して、すべての $f\in\mathcal{S}_{\mathbb{R}}$ で

$$\int_{\mathcal{S}'_{\mathbb{R}}}e^{iT(f)}\,d\mu(T)=C(f).$$

証明のねらいは、「有限個の座標の測度は Bochner の定理で作れる」ことと、「それを貼り合わせた無限個の座標の測度が、実際に $\mathcal{S}'$ の元の係数列の上に乗る」ことを分けて示すことです。前者は第 2 段までで済みます。難しいのは後者で、第 3 段で核型性が使われます。第 3 段は、$\sigma$ を小さくしたときに Gauss 測度の積分が $1$ に近づくことを使って、「係数が速く増えすぎる列」の測度が小さいことを引き出す、という方針です。

証明（定理 5.1）

Hermite 関数は実数値なので、実数値 $f$ の Hermite 係数 $c_\alpha(f)$ は実数です。多重指数を $|\alpha|$ の小さい順に $\alpha^{(1)},\alpha^{(2)},\ldots$ と並べ、$h_k=h_{\alpha^{(k)}}$、$\lambda_k=2|\alpha^{(k)}|+d$、$c_k(f)=c_{\alpha^{(k)}}(f)$ と書きます。定理 3.2 の和から $\Lambda=\sum_k\lambda_k^{-2d}\lt\infty$ です。

第 1 段: 座標. $J(T)=(T(h_k))_{k\ge1}\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ とおきます。系 5.3［Schwartz 空間と緩増加超関数］ から $J$ は $\mathcal{S}'_{\mathbb{R}}$ から

$$s'=\Bigl\{t\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\ \Big|\ \text{ある }p\text{ で }\sum_k\lambda_k^{-2p}t_k^2\lt\infty\Bigr\}$$

への全単射で、$T(f)=\sum_kc_k(f)T(h_k)$（絶対収束）です。（実際、$|t_k|\le C\lambda_k^m$ なら $p=m+d$ で和は有限、逆に和が有限なら $|t_k|\le C\lambda_k^p$。）$s'$ は可測関数 $t\mapsto\sum_k\lambda_k^{-2p}t_k^2\in[0,\infty]$ の有限値集合の可算和なので可測です。また $T(f)$ は座標の可測関数の各点極限なので、$\mathfrak{B}=\{J^{-1}(A)\mid A\text{ は }\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\text{ の可測集合}\}$ です。したがって、$\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ 上の確率測度 $\nu$ で $\nu(s')=1$ かつ $\int e^{i\sum_kc_k(f)t_k}d\nu(t)=C(f)$ となるものを作れば、$\mu(J^{-1}(A))=\nu(A\cap s')$ が求める測度です（右辺の和は $s'$ 上で絶対収束）。

第 2 段: 有限次元分布. $\varphi_N(\xi)=C(\sum_{k\le N}\xi_kh_k)$（$\xi\in\mathbb{R}^N$）は、(i) と $\xi\mapsto\sum\xi_kh_k$ の連続性から連続、(ii) から正定値（$\xi^{(k)}-\xi^{(j)}$ が $f_k-f_j$ に対応する）、$\varphi_N(0)=1$ です。Bochner の定理（定理 2.4）から $\varphi_N=\hat\nu_N$ となる $\mathbb{R}^N$ 上の確率測度 $\nu_N$ があります。$\nu_{N+1}$ の最初の $N$ 座標への像の特性関数は $\varphi_{N+1}(\xi,0)=\varphi_N(\xi)$ なので、補題 2.3 から整合条件が成り立ちます。補題 4.2 で $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ 上の $\nu$ を得ます。

第 3 段: 核型性による評価 $\nu(s')=1$. $\varepsilon\gt0$ を取ります。$C$ は $0$ で連続なので、補題 3.4［Schwartz 空間と緩増加超関数］ の議論と Hermite ノルムの同値性から、$m$ と $\delta\gt0$ があって $\|f\|_{H,m}\le\delta\Rightarrow|1-C(f)|\le\varepsilon$ です。命題 2.2 の 1 から $|C|\le1$ なので、すべての $f$ で

$$1-\mathrm{Re}\,C(f)\le\varepsilon+\frac{2}{\delta^2}\|f\|_{H,m}^2$$

が成り立ちます（$\|f\|_{H,m}\gt\delta$ のときは左辺 $\le2$）。$p=m+d$ とし、$\sigma\gt0$ について $\gamma_{\sigma,N}$ を各座標が独立に分散 $\sigma^2\lambda_k^{-2p}$ をもつ $\mathbb{R}^N$ 上の Gauss 測度とします（命題 2.5）。Fubini の定理と 命題 2.5 から

$$\int\exp\Bigl(-\frac{\sigma^2}2\sum_{k\le N}\lambda_k^{-2p}t_k^2\Bigr)d\nu(t)=\int\!\!\int e^{i\xi\cdot(t_1,\ldots,t_N)}\,d\nu_N(t)\,d\gamma_{\sigma,N}(\xi)=\int\varphi_N\,d\gamma_{\sigma,N}$$

で、左辺は実数なので右辺の実部を取り、上の不等式を $f=\sum_{k\le N}\xi_kh_k$ に使うと

$$1-\int\exp\Bigl(-\frac{\sigma^2}2\sum_{k\le N}\lambda_k^{-2p}t_k^2\Bigr)d\nu\le\varepsilon+\frac2{\delta^2}\int\sum_{k\le N}\lambda_k^{2m}\xi_k^2\,d\gamma_{\sigma,N}=\varepsilon+\frac{2\sigma^2}{\delta^2}\sum_{k\le N}\lambda_k^{2m-2p}\le\varepsilon+\frac{2\sigma^2\Lambda}{\delta^2}.$$

$N\to\infty$ とすると被積分関数は $\exp(-\frac{\sigma^2}2S_p(t))$（$S_p(t)=\sum_k\lambda_k^{-2p}t_k^2\in[0,\infty]$、$e^{-\infty}=0$）に単調に減少するので、優収束定理で同じ評価が極限でも成り立ちます。さらに $\sigma\downarrow0$ とすると $\exp(-\frac{\sigma^2}2S_p)\to\mathbf{1}_{\{S_p\lt\infty\}}$ なので、$1-\nu(S_p\lt\infty)\le\varepsilon$ です。$\{S_p\lt\infty\}\subset s'$ なので $\nu(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\setminus s')\le\varepsilon$、$\varepsilon$ は任意なので $\nu(s')=1$ です。

第 4 段: 特性汎関数. $f\in\mathcal{S}_{\mathbb{R}}$、$f_N=\sum_{k\le N}c_k(f)h_k$ とします。$s'$ 上で $\sum_{k\le N}c_k(f)t_k\to\sum_kc_k(f)t_k$ なので、優収束定理で

$$\int e^{i\sum_kc_k(f)t_k}d\nu=\lim_N\int e^{i\sum_{k\le N}c_k(f)t_k}d\nu=\lim_N\varphi_N(c_1(f),\ldots,c_N(f))=\lim_NC(f_N)=C(f)$$

です。最後は Hermite 展開の $\mathcal{S}$ 収束（定理 5.2［Schwartz 空間と緩増加超関数］ の 3）と (i) によります。

第 5 段: 一意性. $\mu,\mu'$ が同じ特性汎関数をもつとします。$f_1,\ldots,f_k$ を固定すると、$(T(f_1),\ldots,T(f_k))$ の分布の特性関数は $\xi\mapsto C(\sum_j\xi_jf_j)$ で共通なので、補題 2.3 から $\mu$ と $\mu'$ は柱集合 $\{T\mid(T(f_1),\ldots,T(f_k))\in B\}$ 上で一致します。柱集合は π-系で $\mathfrak{B}$ を生成するので、定理 4.5［測度空間と Carathéodory の拡張定理］ から $\mu=\mu'$ です。

∎

Minlos の定理の証明の流れ。有限次元の Bochner の定理で作った測度を貼り合わせ、核型性（重みを ${\lambda }_k^d$ だけ上げると和が収束すること）で測度が 𝒮′ に集中することを示す。

注意 5.2（一般の核型空間）

証明で $\mathcal{S}$ 特有の性質を使ったのは、(a) Hermite 基底による数列表示と、(b) $\sum_k\lambda_k^{-2d}\lt\infty$ だけです。一般の可算ヒルベルト核型空間 $E$ でも、$\iota_{m',m}$ の特異値分解（定理 7.2［コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス］）で (a)(b) の代わりが得られ、同じ証明で「$E$ 上の連続正定値汎関数は $E'$ 上の確率測度の特性汎関数」が示されます（Gelfand–Vilenkin 第 4 巻 第 IV 章）。逆に、無限次元 Hilbert 空間 $\mathcal{H}$ 上では連続性だけでは足りず、Sazonov の定理により「$C$ がある Hilbert–Schmidt 作用素から定まる位相で連続」という条件が必要十分になります（演習 7.1 はその典型的な反例です）。

6. 𝒮′ 上の Gauss 測度

定理 6.1（𝒮′ 上の Gauss 測度）✓

$B:\mathcal{S}_{\mathbb{R}}\times\mathcal{S}_{\mathbb{R}}\to\mathbb{R}$ を対称な双線形形式で、$B(f,f)\ge0$ かつ $f\mapsto B(f,f)$ が連続であるとする。このとき $\mathcal{S}'_{\mathbb{R}}$ 上の確率測度 $\mu_B$ がただ一つ存在して $\int e^{iT(f)}d\mu_B(T)=e^{-B(f,f)/2}$ となる。$\mu_B$ のもとで、$(T(f_1),\ldots,T(f_k))$ は共分散行列 $(B(f_i,f_j))_{i,j}$ の Gauss 分布 $N(0,(B(f_i,f_j)))$ に従い、とくに $\int T(f)T(g)\,d\mu_B=B(f,g)$。

証明（定理 6.1）

$C(f)=e^{-B(f,f)/2}$ は連続で $C(0)=1$ です。正定値性: $f_1,\ldots,f_N$ に対し $A=(B(f_i,f_j))$ は対称半正定値なので（$\sum c_ic_jB(f_i,f_j)=B(\sum c_if_i,\sum c_if_i)\ge0$）、命題 2.5 の $X\sim N(0,A)$ を取ると $X_k-X_j$ の分散は $B(f_k-f_j,f_k-f_j)$ で

$$\sum_{j,k}\bar c_jc_kC(f_k-f_j)=\sum_{j,k}\bar c_jc_k\int e^{i(X_k-X_j)}=\int\Bigl|\sum_kc_ke^{iX_k}\Bigr|^2\ge0$$

です（$\int e^{i(X_k-X_j)}=e^{-\langle e_k-e_j,A(e_k-e_j)\rangle/2}$）。定理 5.1 から $\mu_B$ が存在し一意です。$(T(f_1),\ldots,T(f_k))$ の特性関数は $\xi\mapsto C(\sum\xi_jf_j)=e^{-\langle\xi,A\xi\rangle/2}$ なので、補題 2.3 と 命題 2.5 から分布は $N(0,A)$ です。

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例 6.2（ホワイトノイズと Euclid 自由場）

1. ホワイトノイズ: $B(f,g)=\int fg\,dx$。$f\mapsto T(f)$ は $\mathcal{S}_{\mathbb{R}}$ から $L^2(\mu_B)$ への等長写像なので、$L^2_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}^d)$ 全体に延びます。$d=1$ で $W_t=T(\mathbf{1}_{[0,t]})$ とおくと、$(W_t)$ は独立増分をもち $W_t-W_s\sim N(0,t-s)$ となる Gauss 過程で、連続な修正を取れば Brown 運動です（マルチンゲールとブラウン運動）。「ホワイトノイズは Brown 運動の導関数」の正確な意味がこれです。
2. Euclid 自由場: $m\gt0$ について $B(f,g)=(2\pi)^{-d}\int\overline{\hat f(k)}\hat g(k)\,(|k|^2+m^2)^{-1}dk=\langle f,(-\Delta+m^2)^{-1}g\rangle$。Plancherel の定理（定理 4.1［ℝⁿ 上のフーリエ変換］）から $B(f,f)\le m^{-2}\|f\|_2^2$ なので連続です。得られる $\mu_B$ が質量 $m$ の Euclid 自由場で、構成的場の量子論の出発点です（Gauss 自由場）。時刻 $0$ の場は $B(f,g)=\frac12\langle f,(-\Delta+m^2)^{-1/2}g\rangle$ に対応し、Q 空間の章の 定理 3.4［ガウス測度と Q 空間表示］ はここで証明が完了します。

命題 6.3（ホワイトノイズは関数ではない）✓

$\mu$ を $\mathcal{S}'_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}^d)$ 上のホワイトノイズ測度とすると、$\mu(L^2)=0$。ここで $L^2$ は、$T=T_u$（$u\in L^2$）と書ける $T$ の集合とする。

証明（命題 6.3）

系 5.3［Schwartz 空間と緩増加超関数］ と Parseval の等式から、$T=T_u$（$u\in L^2$）であることは $\sum_kT(h_k)^2\lt\infty$ と同値です（$\Leftarrow$: $u=\sum_kT(h_k)h_k\in L^2$ とおけば $T$ と $T_u$ は $h_k$ 上で一致し、ともに連続なので等しい）。とくにこの集合は可測です。定理 6.1 から $T(h_k)$ は共分散 $\langle h_k,h_j\rangle=\delta_{kj}$ の Gauss 変数、すなわち独立な標準正規変数です（共分散が対角な Gauss ベクトルの特性関数は積に分解する）。大数の強法則（定理 4.5［大数の法則と中心極限定理］）から $\frac1N\sum_{k\le N}T(h_k)^2\to1$ がほとんど確実に成り立つので、$\sum_kT(h_k)^2=\infty$ a.s. です。

∎

7. 演習

演習 7.1標準

$\mathcal{H}$ を無限次元の可分な実 Hilbert 空間とする。$\mathcal{H}$ 上のボレル確率測度 $\mu$ で $\int e^{i\langle x,f\rangle}d\mu(x)=e^{-\|f\|^2/2}$（全 $f\in\mathcal{H}$）となるものは存在しないことを示せ。

解答

存在したとし、正規直交基底 $(u_k)$ を取ります。補題 2.3 から $(\langle x,u_1\rangle,\ldots,\langle x,u_N\rangle)$ の分布は特性関数 $e^{-|\xi|^2/2}$ をもつので、$\langle x,u_k\rangle$ は独立な標準正規変数です。大数の強法則から $\sum_k\langle x,u_k\rangle^2=\infty$ が $\mu$-a.s. ですが、Parseval の等式から左辺は $\|x\|^2\lt\infty$ で、矛盾です。$C(f)=e^{-\|f\|^2/2}$ は $\mathcal{H}$ 上連続で正定値なので、連続性だけでは測度は $\mathcal{H}$ に乗りません。$\mathcal{H}$ を大きな空間（例えば $\mathcal{S}'$ や Hilbert–Schmidt 拡大）に取り替える必要があります。

演習 7.2標準

(a) $\varphi(x)=e^{-|x|}$（$x\in\mathbb{R}$）が正定値であることを、確率測度の特性関数として表して示せ。(b) $\varphi(x)=e^{-x^4}$ は正定値でないことを示せ。（ヒント: (b) では $\varphi$ が特性関数なら、対応する測度の 2 次モーメントは $-\varphi''(0)$ である。）

解答

(a) $\int_{\mathbb{R}}e^{-|x|}e^{-ix\xi}dx=\frac{2}{1+\xi^2}$ は可積分なので、反転公式（定理 3.3［ℝⁿ 上のフーリエ変換］）から $e^{-|x|}=\int e^{ix\xi}\frac{d\xi}{\pi(1+\xi^2)}$ です（両辺連続なので各点で）。Cauchy 分布 $\frac{d\xi}{\pi(1+\xi^2)}$ の特性関数なので正定値です。

(b) 正定値なら Bochner の定理から $e^{-x^4}=\int e^{ix\xi}d\mu$ となる確率測度 $\mu$ があります。$\frac{2-\varphi(h)-\varphi(-h)}{h^2}=\int\frac{2-2\cos h\xi}{h^2}d\mu(\xi)$ で、左辺は $h\to0$ で $-\varphi''(0)=0$ に収束します。右辺の被積分関数は非負で各点で $\xi^2$ に収束するので、Fatou の補題（補題 6.1［ルベーグ積分の定義と収束定理］）から $\int\xi^2d\mu\le0$、すなわち $\mu=\delta_0$ です。すると $\varphi\equiv1$ となり矛盾です。

演習 7.3易

$n=1$ のとき 定理 3.2 の $\|\iota_{m+1,m}\|_{\mathrm{HS}}^2$ を求めよ。また $\iota_{m+1/2,m}$（重みを $\frac12$ だけ上げたもの）は Hilbert–Schmidt でないことを示せ。

解答

$\sum_{k\ge0}(2k+1)^{-2}=\sum_{j\ge1}j^{-2}-\sum_{j\ge1}(2j)^{-2}=\frac34\cdot\frac{\pi^2}6=\frac{\pi^2}8$ です。重みを $\frac12$ 上げると HS ノルムの 2 乗は $\sum_k(2k+1)^{-1}=\infty$ です。$n$ 次元では $|\alpha|=k$ の個数が $k^{n-1}$ 程度に増えるので、重みを $n$ 程度上げる必要があります。

演習 7.4標準

$d=1$、$m\gt0$ の Euclid 自由場 $\mu_B$（例 6.2 の 2）について、$B(f,g)=\iint f(x)\frac{e^{-m|x-y|}}{2m}g(y)\,dx\,dy$ を示せ。これから、$f_\varepsilon\to\delta_a$（$f_\varepsilon(x)=\varepsilon^{-1}\rho((x-a)/\varepsilon)$、$\rho\ge0$、$\int\rho=1$）のとき $T(f_\varepsilon)$ が $L^2(\mu_B)$ で収束すること、すなわち 1 次元の自由場は各点の値をもつことを示せ。

解答

前問 (a) と同じ計算で $\int e^{-m|x|}e^{-ixk}dx=\frac{2m}{k^2+m^2}$ なので、$G(x)=\frac{e^{-m|x|}}{2m}$ について $\hat G(k)=(k^2+m^2)^{-1}$ です。畳み込みの公式 $\widehat{G*g}=\hat G\hat g$ と Plancherel の等式（$\int\bar f\,h=(2\pi)^{-1}\int\overline{\hat f}\hat h$）から $B(f,g)=\int f\,(G*g)$ です。$\|T(f_\varepsilon)-T(f_\eta)\|_{L^2(\mu_B)}^2=B(f_\varepsilon-f_\eta,f_\varepsilon-f_\eta)$ は、$G$ が有界連続なので $\varepsilon,\eta\to0$ で $G(0)-2G(0)+G(0)=0$ に収束します（$\iint f_\varepsilon(x)G(x-y)f_\eta(y)\to G(0)$）。$d\ge2$ では $G$ が原点で発散するので、この極限は存在しません。

参考文献

• I. M. Gelfand, N. Ya. Vilenkin, Generalized Functions, Vol. 4: Applications of Harmonic Analysis, Academic Press, 1964 — 第 I 章（核型空間）、第 IV 章（Minlos の定理）。
• B. Simon, Functional Integration and Quantum Physics, Academic Press, 1979; 2nd ed., AMS Chelsea, 2005 — 第 1 章・第 2 章（Minlos の定理、Gauss 過程）。
• J. Glimm, A. Jaffe, Quantum Physics: A Functional Integral Point of View, 2nd ed., Springer, 1987 — 第 6 章（Gauss 測度と Minlos の定理）。
• M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics II: Fourier Analysis, Self-Adjointness, Academic Press, 1975 — 第 IX 章 §2（Bochner の定理）。
• V. I. Bogachev, Gaussian Measures, American Mathematical Society, 1998 — 第 2 章・第 3 章。