Toeplitz 作用素と Szegő の極限定理：Hankel・Wiener–Hopf・Fejér–Riesz・Bergman 空間

0. この記事の要点

周期的な関数を「波の重ね合わせ」に分け、その波の大きさを並べて作った無限の表（行列）を調べるのがこの記事の話です。表を左上の角だけ切り取ると、切り取った大きな表の行列式（数を 1 つ決める量）は、表のサイズを増やすとどう振る舞うのか、という素朴な疑問に答えます。読み終えると、その増え方が元の関数の対数の平均（幾何平均）だけで決まること、そして切り取りの影響が補正項として残ることが分かります。

• 円周 $\mathbb{T}$ 上の関数 $a$（シンボル）の Fourier 係数 $a_k$ を並べた無限行列 $(a_{j-k})_{j,k\ge0}$ が Toeplitz 作用素 $T(a)$、$(a_{j+k+1})_{j,k\ge0}$ が Hankel 作用素 $H(a)$ です。前者は Hardy 空間 $H^2$ 上の「掛け算して射影する」作用素で、$\|T(a)\|=\|a\|_\infty$ です。
• 積の公式 $T(ab)=T(a)T(b)+H(a)H(\tilde b)$ が理論の中心で、Hankel 部分がシンボルの積と作用素の積のずれを表します。$a$ が連続なら $H(a)$ はコンパクトです。
• 半直線上の畳み込み作用素（Wiener–Hopf 作用素）は、Cayley 変換（実直線を円周に写す分数変換）で円周上の Toeplitz 作用素とユニタリ同値です。
• Fejér–Riesz の定理: 非負の三角多項式は、同じ次数の多項式の絶対値の 2 乗 $|q(e^{i\theta})|^2$ です。
• Szegő の第一極限定理: 正の連続シンボルの Toeplitz 行列式 $D_n(a)=\det(a_{j-k})_{0\le j,k\lt n}$ について $D_n(a)^{1/n}\to\exp\frac1{2\pi}\int\log a$。証明は「$D_{n+1}/D_n$ は 1 次の係数を固定した多項式の重み付き $L^2$ ノルムの最小値」という変分表示です。
• 強極限定理: 滑らかなシンボルでは $D_n(a)/G(a)^n$ 自身が正の極限 $E(a)=\exp\sum_{k\ge1}kb_kb_{-k}$（$b=\log a$）に収束します。本章では極限の存在と、極限が Fredholm 行列式 $\det T(a)T(a^{-1})$ に等しいことを証明し、Helton–Howe–Pincus の公式 $\det(e^Xe^Ye^{-X}e^{-Y})=e^{\mathrm{tr}[X,Y]}$ を Fredholm 行列式の微分公式から導いて値 $E(a)$ を求めます。
• Bergman 空間 $A^2(\mathbb{D})$ は円板上の 2 乗可積分な正則関数の空間で、再生核（関数の値を内積で取り出す核）$\frac{1}{\pi(1-z\bar w)^2}$ をもちます。

この記事で使う事前知識

• Hardy 空間 $H^2$: $L^2$ 関数のうち負の番号の Fourier 係数が $0$ のものの空間。→ Hardy 空間
• 直交射影: Hilbert 空間の元を閉部分空間の中でいちばん近い元に写す作用素。→ 直交射影
• 正規直交基底: 長さ 1 で互いに直交し、全体を張るベクトルの族。→ 正規直交基底
• 特異値: コンパクト作用素の大きさを測る数の列。→ 特異値
• トレースクラス: 特異値の和が有限な作用素で、トレース（対角和）が定義できる。→ コンパクト作用素・トレースクラス
• 行列式: 正方行列に決まる 1 つの数で、積について乗法的。→ 行列式

1. 動機

Toeplitz 行列は「平行移動不変な系を半分に切った」ときに現れます。格子上の 1 次元系の相関行列、定常時系列の共分散行列、ランダム行列のユニタリ群上の平均（Heine の公式 $\int_{U(n)}\det a(U)\,dU=D_n(a)$）、2 次元 Ising 模型の自発磁化（Onsager–Kaufman–Yang の公式）は、すべて Toeplitz 行列式の $n\to\infty$ の漸近形に帰着します。

全空間の畳み込みは Fourier 変換で掛け算になり、行列式は「固有値 $a(\theta)$ の積」なので、$\log\det$ の主要項は $\frac n{2\pi}\int\log a$ になると予想できます。これが Szegő の第一極限定理です。「半分に切った」ことによる補正が定数項 $E(a)$ で、これを与えるのが強極限定理です。補正の源は Hankel 作用素、すなわち $\mathbb{Z}$ を $\mathbb{N}_0$ に切ったときの境界の効果です。

本章では $\mathbb{T}=\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$ 上で正規化測度 $\frac{d\theta}{2\pi}$ を使い、$a_k=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi a(\theta)e^{-ik\theta}d\theta$、$e_k(\theta)=e^{ik\theta}$ とします（フーリエ級数 と同じ）。$\langle f,g\rangle=\frac1{2\pi}\int\bar fg\,d\theta$ で、Parseval の等式（定理 5.1［フーリエ級数］）から $(e_k)_{k\in\mathbb{Z}}$ は $L^2(\mathbb{T})$ の正規直交基底です。

2. Toeplitz 作用素と Hankel 作用素

次の定義のねらいは、両側無限の行列を「$j,k\ge0$ の部分」と「$j\ge0>k$ の部分」に切り分けることです。後者は列の番号が負の側にあるので、$k\mapsto-k-1$ と番号を折り返して非負の側に写す必要があり、その折り返しが $J$ です。折り返したおかげで成分が $a_{j+k+1}$ という反対角線に沿って一定の形になり、Hankel 作用素になります。

定義 2.1（Hardy 空間・Toeplitz 作用素・Hankel 作用素）↗

$H^2=H^2(\mathbb{T})=\{f\in L^2(\mathbb{T})\mid f_k=0\ (k\lt0)\}$ とし、$P$ を $L^2(\mathbb{T})$ から $H^2$ への直交射影とする。$a\in L^\infty(\mathbb{T})$ について、$M_a$ を $a$ の掛け算作用素、$J$ を $Je_k=e_{-k-1}$（$k\ge0$）で定まる $H^2$ から $(H^2)^\perp$ への等長全射とし、

$$T(a)=PM_a|_{H^2},\qquad H(a)=PM_aJ$$

と定める。$\tilde a(\theta)=a(-\theta)$ と書く。$H^\infty=H^2\cap L^\infty$、$\overline{H^\infty}=\{\bar f\mid f\in H^\infty\}$ とする。

$\langle e_j,T(a)e_k\rangle=\langle e_j,ae_k\rangle=a_{j-k}$、$\langle e_j,H(a)e_k\rangle=\langle e_j,ae_{-k-1}\rangle=a_{j+k+1}$ なので、基底 $(e_k)_{k\ge0}$ に関する行列はそれぞれ $(a_{j-k})_{j,k\ge0}$（対角線に沿って一定）、$(a_{j+k+1})_{j,k\ge0}$（反対角線に沿って一定）です。$\|T(a)\|,\|H(a)\|\le\|a\|_\infty$ です。$a\in H^\infty$ なら $T(a)$ は下三角、$a\in\overline{H^\infty}$ なら上三角です。

Toeplitz 行列（左）は対角線に沿って一定、Hankel 行列（右）は反対角線に沿って一定。両側無限の Laurent 行列 $(a_{j-k}{)}_{j,k\in \mathbb{Z}}$ を第 4 象限（$j,k\ge 0$）に切ったものが $T(a)$、第 3 象限（$j\ge 0>k$）を折り返したものが $H(a)$ で、積の公式の補正項は切り捨てた部分から来る。

定理 2.2（積の公式）✓

$a,b\in L^\infty(\mathbb{T})$ について

$$T(ab)=T(a)T(b)+H(a)H(\tilde b).$$

とくに $a\in\overline{H^\infty}$ または $b\in H^\infty$ ならば $T(ab)=T(a)T(b)$。

証明（定理 2.2）

$H^2$ 上で $T(ab)=PM_aM_bP=PM_aPM_bP+PM_a(1-P)M_bP$ です。$J$ は $(H^2)^\perp$ への等長全射なので $1-P=JJ^*$ で、第 2 項は $(PM_aJ)(J^*M_bP)$ です。$\langle e_j,J^*M_be_k\rangle=\langle e_{-j-1},be_k\rangle=b_{-j-k-1}=\tilde b_{j+k+1}$ なので $J^*M_bP=H(\tilde b)$ です。$a\in\overline{H^\infty}$ なら $a_m=0$（$m\gt0$）で $H(a)=0$、$b\in H^\infty$ なら $\tilde b_m=b_{-m}=0$（$m\gt0$）で $H(\tilde b)=0$ です。

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命題 2.3（Toeplitz 作用素のノルムと Hankel 作用素のコンパクト性）✓

1. $a\in L^\infty(\mathbb{T})$ について $\|T(a)\|=\|a\|_\infty$。
2. $a$ が連続なら $H(a)$ はコンパクトである。したがって連続な $a,b$ について $T(ab)-T(a)T(b)$ はコンパクトである。

証明（命題 2.3）

1: $\ge$ を示します。$f$ を三角多項式とすると、十分大きな $n$ で $e_nf\in H^2$ です。$\|T(a)(e_nf)\|=\|P(ae_nf)\|$ で、$g=af\in L^2$ について $\|(1-P)(e_ng)\|^2=\sum_{k\lt-n}|g_k|^2\to0$ なので、$\|T(a)(e_nf)\|\to\|af\|$、$\|e_nf\|=\|f\|$ です。よって $\|T(a)\|\ge\|af\|/\|f\|$ で、三角多項式は $L^2$ で稠密なので、掛け算作用素のノルム $\|M_a\|=\|a\|_\infty$ 以上です（$|a|\gt\|a\|_\infty-\varepsilon$ となる正測度集合の指示関数を三角多項式で近似する）。

2: Fejér の定理（定理 4.2［フーリエ級数］）から三角多項式 $p_N$ が $a$ に一様収束します。$H(p_N)$ の行列は有限個の反対角線にしか $0$ でない成分をもたないので有限階数で、$\|H(a)-H(p_N)\|\le\|a-p_N\|_\infty\to0$ です。コンパクト作用素はノルム閉なので（命題 3.2［コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス］）$H(a)$ はコンパクトです。

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3. Wiener–Hopf 作用素

実直線上では、定理 3.2［Paley–Wiener の定理・Hardy 空間・Hilbert 変換］ により $H^2(\mathbb{R})=\{f\in L^2(\mathbb{R})\mid\hat f=0\text{ on }(-\infty,0)\}$ が上半平面の Hardy 空間の境界値の空間です。$P_+$ をその直交射影とし、$b\in L^\infty(\mathbb{R})$ について $W(b)=P_+M_b|_{H^2(\mathbb{R})}$ を Wiener–Hopf 作用素といいます。Fourier 変換すると $H^2(\mathbb{R})$ は $L^2(0,\infty)$ に移り、$\widehat{bf}=\frac1{2\pi}\hat b*\hat f$ なので、$W(b)$ は半直線上の畳み込み $g\mapsto\mathbf{1}_{(0,\infty)}\cdot\frac1{2\pi}(\hat b*g)$ です（$\hat b$ が関数の場合）。これが Wiener と Hopf が輻射輸送の方程式で調べた積分作用素の形です。

命題 3.1（Wiener–Hopf 作用素と Toeplitz 作用素）✓

Cayley 変換 $c(x)=\frac{x-i}{x+i}$（$\mathbb{R}\to\mathbb{T}\setminus\{1\}$）について、$(Vf)(x)=\frac{1}{\sqrt\pi}\frac{1}{x+i}f(c(x))$ は $L^2(\mathbb{T},\frac{d\theta}{2\pi})$ から $L^2(\mathbb{R})$ へのユニタリ作用素で、$V(H^2(\mathbb{T}))=H^2(\mathbb{R})$、$VM_aV^{-1}=M_{a\circ c}$ を満たす。とくに $W(a\circ c)=VT(a)V^{-1}$。

証明（命題 3.1）

$e^{i\theta}=c(x)$ と置換すると $d\theta=\frac{2\,dx}{1+x^2}$ なので、$\frac1{2\pi}\int|f|^2d\theta=\frac1\pi\int|f(c(x))|^2\frac{dx}{1+x^2}=\|Vf\|_2^2$ で、$V$ は等長です。逆写像も同じ形で書けるので全射です。$V(af)=(a\circ c)Vf$ は定義から明らかです。$Ve_n=\frac1{\sqrt\pi}\frac{(x-i)^n}{(x+i)^{n+1}}$ は、$n\ge0$ なら $\mathbb{C}_+$ で正則で $\sup_y\int|\cdot|^2dx\lt\infty$ を満たす $\frac1{\sqrt\pi}\frac{(z-i)^n}{(z+i)^{n+1}}$ の境界値なので $H^2(\mathbb{R})$ に入り（定理 3.2［Paley–Wiener の定理・Hardy 空間・Hilbert 変換］）、$n\lt0$ なら $\frac{1}{\sqrt\pi}\frac{(x+i)^{|n|-1}}{(x-i)^{|n|}}$ は下半平面の対応する関数の境界値で $H^2(\mathbb{R})^\perp$ に入ります（$\bar z$ に関して同じ定理）。$V$ はユニタリなので $V(H^2(\mathbb{T}))=H^2(\mathbb{R})$ で、$VPV^{-1}=P_+$ です。

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4. Fejér–Riesz の定理

定理 4.1（Fejér–Riesz の定理）✓

$p(\theta)=\sum_{k=-n}^nc_ke^{ik\theta}$ がすべての $\theta$ で $p(\theta)\ge0$ を満たすならば、次数 $n$ 以下の多項式 $q(z)=\sum_{k=0}^nq_kz^k$ で $p(\theta)=|q(e^{i\theta})|^2$ となるものが存在する。$q$ は開円板 $\mathbb{D}$ に零点をもたないように選べる。

証明（定理 4.1）

$p$ は実数値なので $c_{-k}=\bar c_k$ です。$c_n=0$ なら $n$ を下げられるので $c_n\ne0$ とします。$P(z)=\sum_{j=0}^{2n}c_{j-n}z^j$ は $2n$ 次の多項式で、$P(0)=c_{-n}\ne0$、$P(e^{i\theta})=e^{in\theta}p(\theta)$ です。直接の計算で $z^{2n}\overline{P(1/\bar z)}=P(z)$ なので、$\zeta$ が $P$ の根なら $1/\bar\zeta$ も同じ重複度の根です。単位円上の根 $\zeta=e^{i\theta_0}$ は偶数重複度をもちます。実際、重複度を $m$ とすると $p(\theta)=e^{-in\theta}P(e^{i\theta})$ は $\theta_0$ の近くで $(\theta-\theta_0)^m$ の 0 でない実数倍に漸近し、$m$ が奇数なら符号を変えてしまいます。

したがって根を、各組 $(\zeta,1/\bar\zeta)$（$0\lt|\zeta|\lt1$）から $\zeta$ を、単位円上の根からは重複度の半分を選んで $\zeta_1,\ldots,\zeta_n$（$|\zeta_j|\le1$）と並べられ、$P(z)=c_n\prod_{j=1}^n(z-\zeta_j)(z-1/\bar\zeta_j)$ です。$|z|=1$ では $|z-1/\bar\zeta|=|\zeta|^{-1}|\bar\zeta z-1|=|\zeta|^{-1}|z-\zeta|$ なので

$$p(\theta)=|P(e^{i\theta})|=\frac{|c_n|}{\prod_j|\zeta_j|}\prod_j|e^{i\theta}-\zeta_j|^2 ,$$

$q(z)=\bigl(|c_n|/\prod_j|\zeta_j|\bigr)^{1/2}\prod_j(z-\zeta_j)$ とすればよい。零点を $\mathbb{D}$ の外に置くには、$q^*(z)=z^n\overline{q(1/\bar z)}$（根は $1/\bar\zeta_j$、単位円上で $|q^*|=|q|$）に取り替えます。

∎

Fejér–Riesz の定理は「非負の三角多項式」と「多項式の 2 乗」を結ぶ、正値性の代数的な特徴づけです。Toeplitz 行列 $T_n(p)$ が半正定値であることと $p\ge0$ の関係（Carathéodory–Toeplitz）、フィルタ設計のスペクトル分解、自己相関関数から移動平均過程を作る問題（スペクトル分解定理）はすべてこの定理の変種です。

5. Szegő の極限定理

この節の道筋は次のとおりです。まず行列式の比 $D_{n+1}/D_n$ を「最小値を求める問題」に言い換え（補題）、その最小値の極限を外部関数 $g$ を使って計算し（第一極限定理）、さらに収束の速さを調べて極限の存在（強極限定理）と値を求めます。

$n\ge1$ について $T_n(a)=(a_{j-k})_{0\le j,k\lt n}$ を $n$ 次の Toeplitz 行列、$D_n(a)=\det T_n(a)$ を Toeplitz 行列式とします。$a\ge0$ ならば $T_n(a)$ は重み $a$ の内積 $\langle f,g\rangle_a=\frac1{2\pi}\int\bar fga\,d\theta$ に関する $1,z,\ldots,z^{n-1}$（$z=e^{i\theta}$）の Gram 行列です: $\langle z^j,z^k\rangle_a=a_{j-k}$。

次の補題の証明の方針は、Gram 行列の行列式が、Gram–Schmidt 直交化で得られるベクトルの長さの 2 乗の積になることを使い、$1$ だけを最後に直交化して、その長さが「$1$ から他のベクトルの張る空間までの距離」になることを見る、というものです。

補題 5.1（行列式の比の変分表示）✓

$a\ge0$ が可積分で、$\{\theta\mid a(\theta)\gt0\}$ が正測度なら、$D_n(a)\gt0$ で

$$\frac{D_{n+1}(a)}{D_n(a)}=\mu_n(a):=\min\Bigl\{\frac1{2\pi}\int|p(e^{i\theta})|^2a(\theta)\,d\theta\ \Big|\ p(z)=1+\sum_{k=1}^nc_kz^k\Bigr\}.$$

$\mu_n(a)$ は $n$ について減少し、$a$ について単調（$a\le a'$ なら $\mu_n(a)\le\mu_n(a')$）である。

証明（補題 5.1）

多項式は有限個の点でしか $0$ にならないので、$1,z,\ldots,z^n$ は $\langle\cdot,\cdot\rangle_a$ について一次独立で、Gram 行列 $T_{n+1}(a)$ は正定値、$D_{n+1}(a)\gt0$ です。Gram–Schmidt 直交化で $u_0,\ldots,u_n$ を作ると（内積空間とグラム・シュミット直交化）、Gram 行列式は直交化したベクトルのノルムの 2 乗の積（基底の変換行列が対角成分 $1$ の三角行列なので行列式が保たれる）です。$z^0=1$ を最後に回して $z,\ldots,z^n,1$ の順に直交化すると、最後のベクトルのノルムの 2 乗は $1$ から $\mathrm{span}\{z,\ldots,z^n\}$ までの距離の 2 乗、すなわち $\mu_n(a)$ で、それより前の部分の Gram 行列式は $\langle z^j,z^k\rangle_a=a_{j-k}$（$1\le j,k\le n$）より $D_n(a)$ です。並べ替えは行と列の同じ置換なので行列式は変わらず、$D_{n+1}=D_n\mu_n$ です。単調性は、許される $p$ の集合が $n$ とともに増えること、被積分関数が $a$ について単調であることから明らかです。

∎

定理 5.2（Szegő の第一極限定理）✓

$a$ を $\mathbb{T}$ 上の正の連続関数とし、$G(a)=\exp\Bigl(\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\log a(\theta)\,d\theta\Bigr)$ とおく。このとき

$$\lim_{n\to\infty}\frac{D_{n+1}(a)}{D_n(a)}=\lim_{n\to\infty}D_n(a)^{1/n}=G(a).$$

証明の直感は次のとおりです。$|g|^2=a$ となる正則な関数 $g$（$a$ の「正則な平方根」）を見つけられれば、$|p|^2a=|pg|^2$ となって、$p(0)=1$ の条件のもとでの最小化が、$pg$ の 0 次の係数を固定したときの $L^2$ ノルムの最小化に変わります。この最小値は $|g(0)|^2=G(a)$ です。

証明（定理 5.2）

第 1 段: $b=\log a$ が三角多項式の場合. $b=\sum_{|k|\le m}b_ke^{ik\theta}$（実数値、$b_{-k}=\bar b_k$）とし、$b_+=\sum_{k=1}^mb_kz^k$、$g=\exp(b_0/2+b_+)$ とおきます。$g$ と $1/g$ は $\mathbb{D}$ の近傍で正則で、その Taylor 級数は単位円上で絶対収束するので $g,1/g\in H^\infty$ です。$\mathrm{Re}\,b_+=\frac12\sum_{k\ne0}b_ke^{ik\theta}$ から $|g|^2=e^{b_0+2\mathrm{Re}\,b_+}=e^b=a$ です。$p(0)=1$ の多項式 $p$ について $pg\in H^2$ で、その $0$ 次の Fourier 係数は $g(0)=e^{b_0/2}$ なので、Parseval の等式から

$$\frac1{2\pi}\int|p|^2a\,d\theta=\|pg\|^2\ge|(pg)_0|^2=e^{b_0}=G(a)$$

です。逆に、$h=g(0)/g\in H^\infty$ の Taylor 級数を $n$ 次で切ったものを $p_n$ とすると $p_n(0)=h(0)=1$ で、$\|p_ng-g(0)\|=\|(p_n-h)g\|\le\|g\|_\infty\|p_n-h\|_2\to0$ です。$p_ng-g(0)$ は定数と直交するので $\|p_ng\|^2=G(a)+\|p_ng-g(0)\|^2\to G(a)$ です。よって $\mu_n(a)\to G(a)$ です。

第 2 段: 一般の正の連続関数. $\log a$ は連続なので、Fejér の定理から実数値三角多項式 $b$ で $|b-\log a|\le\varepsilon$ となるものがあります。$e^{b-\varepsilon}\le a\le e^{b+\varepsilon}$ と 補題 5.1 の単調性、第 1 段から

$$e^{b_0-\varepsilon}\le\liminf_n\mu_n(a)\le\limsup_n\mu_n(a)\le e^{b_0+\varepsilon}$$

で、$|b_0-\frac1{2\pi}\int\log a|\le\varepsilon$ です。$\varepsilon\to0$ として $\mu_n(a)\to G(a)$ です。

第 3 段. $\log D_n(a)=\log a_0+\sum_{m=1}^{n-1}\log\mu_m(a)$ なので、Cesàro 平均の収束から $\frac1n\log D_n(a)\to\log G(a)$ です。

∎

正値性の仮定を弱めても、$a\ge0$ が可積分なら $\lim D_n^{1/n}=\exp\frac1{2\pi}\int\log a$（$\log a\notin L^1$ なら右辺は $0$）が成り立ちます（Szegő–Kolmogorov–Krein の定理）。第 1 段の下からの評価はそのまま使えますが、上からの評価で外部関数 $g$ を作るのに Hardy 空間 $H^2(\mathbb{D})$ の因子分解が要ります。

定理 5.3（Szegő の強極限定理）✓

$b$ を実数値で $\sum_{k\in\mathbb{Z}}(1+|k|)|b_k|\lt\infty$ を満たす関数とし、$a=e^b$ とする。このとき極限 $\lim_{n\to\infty}D_n(a)/G(a)^n$ が存在し、$\frac{a_0}{G(a)}$ 以上の有限値である。

証明（定理 5.3）

重み $(1+|k|)$ をもつ絶対収束 Fourier 級数の空間 $\mathcal{W}_1$ は、$(1+|j+k|)\le(1+|j|)(1+|k|)$ から畳み込みについてノルム環で、指数関数で閉じています。第 1 段と同じく $g=\exp(b_0/2+b_+)$、$h=g(0)/g$ とおくと $g,h\in\mathcal{W}_1\cap H^\infty$ です。定理 5.2 の証明の評価から、$p_n$ を $h$ の $n$ 次の切断として

$$0\le\mu_n(a)-G(a)\le\|g\|_\infty^2\|p_n-h\|_2^2=\|g\|_\infty^2\sum_{k\gt n}|h_k|^2$$

です。$\sum_n\sum_{k\gt n}|h_k|^2=\sum_kk|h_k|^2\le\sup_k|h_k|\cdot\sum_kk|h_k|\lt\infty$ なので $\sum_n(\mu_n(a)/G(a)-1)\lt\infty$、したがって無限積 $\prod_n\frac{\mu_n(a)}{G(a)}$ は $1$ 以上の有限値に収束します。$D_n(a)/G(a)^n=\frac{a_0}{G(a)}\prod_{m=1}^{n-1}\frac{\mu_m(a)}{G(a)}$ なので、極限は存在して $\frac{a_0}{G(a)}$ 以上の有限値です。

∎

極限の値は、Fredholm 行列式（定理 7.3［Fredholm 理論］）で表せます。以下 $\Pi_n$ を $\mathrm{span}\{e_0,\ldots,e_{n-1}\}$ への直交射影とし、$\mathcal{S}_1$ をトレースクラス作用素の空間とします。

次の命題のねらいは、極限を「無限次元の作用素 $1+K$ の行列式」という 1 つの量に書き直すことです。$K$ がトレースクラスであること（Hankel 作用素の特異値の和が有限であること）が、行列式が意味をもつための鍵になります。証明は、トレースクラス性、作用素の等式、有限切断、極限、相似不変性、の 5 つの小段落に分かれています。

命題 5.4（強極限の Fredholm 行列式表示）✓

定理 5.3 の仮定のもとで、その証明の $g=\exp(b_0/2+b_+)$ を使って

$$K=T(g^{-1})\,H(g)\,H(\tilde{\bar g})\,T(\bar g^{-1})$$

とおく。$K$ はトレースクラスで、$T(g^{-1})T(a)T(\bar g^{-1})=1+K$、$T(a)T(a^{-1})=T(g)(1+K)T(g)^{-1}$ であり、

$$\lim_{n\to\infty}\frac{D_n(a)}{G(a)^n}=\det(1+K)=\det T(a)T(a^{-1}).$$

証明（命題 5.4）

トレースクラス性. $m\ge1$ について $H(e_m)$ の行列成分は $j+k+1=m$ のときだけ $1$ なので、$H(e_m)=\sum_{k=0}^{m-1}|e_{m-1-k}\rangle\langle e_k|$ は特異値がすべて $1$ の階数 $m$ の作用素で、$\|H(e_m)\|_1=m$ です（$m\le0$ なら $H(e_m)=0$）。$c\in\mathcal{W}_1$ なら $H(c)=\sum_{m\ge1}c_mH(e_m)$ は $\mathcal{S}_1$ で絶対収束し（定理 7.4［コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス］ の完備性）、$\|H(c)\|_1\le\sum_{m\ge1}m|c_m|$ です（極限が $H(c)$ であることは $\|H(c)-H(c_N)\|\le\|c-c_N\|_\infty\to0$、$c_N$ は Fourier 級数の切断、からわかります）。$g\in\mathcal{W}_1$ なので $H(g)\in\mathcal{S}_1$ で、$\mathcal{S}_1$ はイデアルなので $K\in\mathcal{S}_1$ です。

作用素の等式. $b$ は実数値なので $\bar g=\exp(b_0/2+b_-)$（$b_-=\sum_{k\ge1}b_{-k}z^{-k}$）は $\overline{H^\infty}$ に、$g,g^{-1}$ は $H^\infty$ に属し、$a=g\bar g$ です。定理 2.2 から $T(g\bar g)=T(g)T(\bar g)+H(g)H(\tilde{\bar g})$、$T(g^{-1})T(g)=T(1)=1$（右の因子が $H^\infty$）、$T(\bar g)T(\bar g^{-1})=1$（左の因子が $\overline{H^\infty}$）なので

$$T(g^{-1})T(a)T(\bar g^{-1})=T(g^{-1})T(g)T(\bar g)T(\bar g^{-1})+K=1+K .$$

同様に $T(g)T(g^{-1})=1$、$T(\bar g^{-1})T(\bar g)=1$ から $T(g)$, $T(\bar g)$ は可逆で、$T(a)=T(g)(1+K)T(\bar g)$、$T(a^{-1})=T(\bar g^{-1}g^{-1})=T(\bar g^{-1})T(g^{-1})$ です。よって $T(a)T(a^{-1})=T(g)(1+K)T(g)^{-1}$ です。

有限切断. $T(g)$ は下三角（成分 $g_{j-k}$ は $j\lt k$ で $0$）なので $\Pi_nT(g)=\Pi_nT(g)\Pi_n$、$T(\bar g)$ は上三角なので $T(\bar g)\Pi_n=\Pi_nT(\bar g)\Pi_n$ です。したがって

$$T_n(a)=\Pi_nT(a)\Pi_n=\bigl(\Pi_nT(g)\Pi_n\bigr)\bigl(\Pi_n(1+K)\Pi_n\bigr)\bigl(\Pi_nT(\bar g)\Pi_n\bigr)$$

を $\mathrm{Ran}\,\Pi_n\cong\mathbb{C}^n$ 上の行列の等式として読めます。三角行列 $T_n(g)$, $T_n(\bar g)$ の対角成分は $g_0=g(0)=e^{b_0/2}$ と $\bar g_0=e^{b_0/2}$ なので、行列式を取ると $D_n(a)=e^{nb_0}\det\bigl(\Pi_n(1+K)\Pi_n|_{\mathrm{Ran}\Pi_n}\bigr)$ です。$\frac1{2\pi}\int\log a=b_0$ から $G(a)^n=e^{nb_0}$ で、有限階数作用素 $\Pi_nK\Pi_n$ の Fredholm 行列式の定義（値域を含む有限次元部分空間 $\mathrm{Ran}\,\Pi_n$ に制限した行列式）から

$$\frac{D_n(a)}{G(a)^n}=\det(1+\Pi_nK\Pi_n).$$

極限. $\|\Pi_nK\Pi_n-K\|_1\to0$ を示します。有限階数の $F=\sum_{i\le N}|u_i\rangle\langle v_i|$ では、$\||u\rangle\langle v|\|_1=\|u\|\|v\|$ と $\Pi_nu\to u$ から $\|\Pi_nF\Pi_n-F\|_1\le\sum_i\bigl(\|\Pi_nu_i-u_i\|\|v_i\|+\|u_i\|\|\Pi_nv_i-v_i\|\bigr)\to0$ です。一般の $K$ は有限階数の $F$ で $\|K-F\|_1\lt\varepsilon$ と近似でき（特異値分解の切断）、補題 7.1［Fredholm 理論］ から $\|\Pi_n(K-F)\Pi_n\|_1\le\varepsilon$ なので、$\limsup_n\|\Pi_nK\Pi_n-K\|_1\le2\varepsilon$ です。$\det(1+\cdot)$ は $\mathcal{S}_1$ 上で連続なので（定理 7.3［Fredholm 理論］）、$D_n(a)/G(a)^n\to\det(1+K)$ です。

相似不変性. 可逆な $X$ と $L\in\mathcal{S}_1$ について $\det(1+XLX^{-1})=\det(1+L)$ です。$L$ が有限階数なら、$V\supset\mathrm{Ran}\,L$ について $XV\supset\mathrm{Ran}\,XLX^{-1}$ で、$(1+XLX^{-1})|_{XV}=X\,(1+L)|_V\,X^{-1}$ なので有限次元の行列式として等しく、一般の $L$ には $L\mapsto XLX^{-1}$ の $\mathcal{S}_1$ での連続性と行列式の連続性で移ります。$X=T(g)$ として $\det T(a)T(a^{-1})=\det(1+K)$ です。

∎

注意 5.5（強極限定理の値）

定理 5.3 の極限の値は

$$E(a)=\exp\Bigl(\sum_{k=1}^\infty k\,b_k\,b_{-k}\Bigr)=\exp\Bigl(\sum_{k=1}^\infty k|b_k|^2\Bigr)$$

です（Szegő 1952、Kac・Baxter・Hirschman らによる拡張）。命題 5.4 により、残るのは $\det(1+K)$ の計算です。$1+K$ が二つの作用素の指数関数の「群の交換子」$e^Xe^Ye^{-X}e^{-Y}$ の形に書けることに着目し、その行列式を交換子 $[X,Y]$ のトレースで表す公式（Helton–Howe・Pincus）を次に証明します。この道筋は Widom（1976）によります。

定理 5.6（群の交換子の行列式（Helton–Howe・Pincus））✓

$X,Y\in\mathcal{B}(\mathcal{H})$ で $[X,Y]=XY-YX$ がトレースクラスであるとする。このとき $e^Xe^Ye^{-X}e^{-Y}-1$ はトレースクラスで

$$\det\bigl(e^Xe^Ye^{-X}e^{-Y}\bigr)=e^{\mathrm{tr}[X,Y]} .$$

証明（定理 5.6）

有界作用素の指数関数 $e^{tX}=\sum_nt^nX^n/n!$ は作用素ノルムで $t$ について微分可能で、$\frac{d}{dt}e^{tX}=Xe^{tX}=e^{tX}X$ です。トレースクラスについては 補題 7.1［Fredholm 理論］ の $\|AKB\|_1\le\|A\|\|K\|_1\|B\|$ を断らずに使います。

段階 1：$[X,e^Y]$ はトレースクラス。 $r\mapsto e^{rY}Xe^{-rY}$ の微分は $e^{rY}[Y,X]e^{-rY}$ なので、$0$ から $1$ まで積分して右から $e^Y$ を掛けると

$$[X,e^Y]=\int_0^1e^{rY}[X,Y]e^{(1-r)Y}\,dr .$$

被積分関数は $\|\cdot\|_1$ について $r$ の連続関数（$\|e^{rY}Ce^{(1-r)Y}-e^{r'Y}Ce^{(1-r')Y}\|_1\le\|e^{rY}-e^{r'Y}\|\|C\|_1\|e^{(1-r)Y}\|+\cdots$）なので、補題 7.10［Fredholm 理論］ から $[X,e^Y]\in\mathcal{S}_1$ で、トレースの巡回性（定理 7.7［コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス］ の 4）から

$$\mathrm{tr}\bigl(e^{-Y}[X,e^Y]\bigr)=\int_0^1\mathrm{tr}\bigl(e^{-Y}e^{rY}[X,Y]e^{(1-r)Y}\bigr)dr=\int_0^1\mathrm{tr}[X,Y]\,dr=\mathrm{tr}[X,Y] .$$

段階 2：微分可能性。 $\Phi(t)=e^{tX}e^Ye^{-tX}e^{-Y}$ と置くと、$\frac{d}{dt}(e^{tX}e^Ye^{-tX})=e^{tX}(Xe^Y-e^YX)e^{-tX}$ から

$$\Phi'(t)=e^{tX}[X,e^Y]e^{-tX}e^{-Y}$$

で、これは $\|\cdot\|_1$ について $t$ の連続関数です（段階 1 と同じ評価）。$\Phi(0)=1$ なので、補題 7.10［Fredholm 理論］ から $K(t):=\Phi(t)-1=\int_0^t\Phi'(s)\,ds\in\mathcal{S}_1$ で、

$$\Bigl\|\frac{K(t+h)-K(t)}h-\Phi'(t)\Bigr\|_1\le\frac1{|h|}\Bigl|\int_t^{t+h}\|\Phi'(s)-\Phi'(t)\|_1\,ds\Bigr|\to0 ,$$

すなわち $K$ は $\|\cdot\|_1$ について微分可能です。$t=1$ で前半の主張が従います。

段階 3：微分方程式。 $\Phi(t)$ は可逆で $\Phi(t)^{-1}=e^Ye^{tX}e^{-Y}e^{-tX}$ です。命題 7.12［Fredholm 理論］ とトレースの巡回性から

$$\frac{d}{dt}\det\Phi(t)=\det\Phi(t)\,\mathrm{tr}\bigl(e^Ye^{tX}e^{-Y}[X,e^Y]e^{-tX}e^{-Y}\bigr)=\det\Phi(t)\,\mathrm{tr}\bigl(e^{-Y}[X,e^Y]\bigr)=\det\Phi(t)\,\mathrm{tr}[X,Y]$$

（2 つめの等号では、トレースクラスの因子 $[X,e^Y]$ の右側にある $e^{-tX}e^{-Y}$ と左側にある $e^Ye^{tX}$ を巡回させて打ち消した）。$c=\mathrm{tr}[X,Y]$ と置くと $\frac{d}{dt}\bigl(e^{-ct}\det\Phi(t)\bigr)=0$ で、$\det\Phi(0)=\det1=1$ なので $\det\Phi(t)=e^{ct}$。$t=1$ として主張を得ます。

∎

行列（有限次元）なら $\mathrm{tr}[X,Y]=0$ で $\det(e^Xe^Ye^{-X}e^{-Y})=1$ は当たり前ですが、無限次元では $[X,Y]$ がトレースクラスでも $XY$ と $YX$ は個別にはトレースクラスでないので、$\mathrm{tr}[X,Y]$ は $0$ とは限りません。たとえば片側シフト $S$ について $[S^*,S]=S^*S-SS^*$ は $e_0$ への射影で、トレースは $1$ です。Toeplitz 作用素の場合、この「消えない交換子のトレース」が強極限定理の定数 $E(a)$ になります。

定理 5.7（強極限定理の値）✓

定理 5.3 の仮定のもとで

$$\lim_{n\to\infty}\frac{D_n(a)}{G(a)^n}=E(a)=\exp\Bigl(\sum_{k=1}^\infty k\,b_kb_{-k}\Bigr)=\exp\Bigl(\sum_{k=1}^\infty k|b_k|^2\Bigr).$$

証明（定理 5.7）

命題 5.4 の記号を使います。$b_+=\sum_{k\ge1}b_ke^{ik\theta}$、$b_-=\sum_{k\ge1}b_{-k}e^{-ik\theta}$ と置くと $b=b_0+b_++b_-$、$g=e^{b_0/2}e^{b_+}$、$\bar g=e^{b_0/2}e^{b_-}$ です。

指数関数の Toeplitz 作用素。 $b_+\in\mathcal{W}_1\cap H^\infty$ で、定理 2.2 から右の因子が $H^\infty$ に属する積について $T$ は乗法的なので $T(b_+^n)=T(b_+)^n$。$\mathcal{W}_1$ はノルム環なので $e^{b_+}=\sum_nb_+^n/n!$ は $\mathcal{W}_1$ で、したがって一様に収束し、$\|T(f)\|\le\|f\|_\infty$ から $T(e^{b_+})=\sum_nT(b_+)^n/n!=e^{T(b_+)}$ です。同様に $T(e^{\pm b_\pm})=e^{\pm T(b_\pm)}$（$b_-$ では左の因子が $\overline{H^\infty}$ に属することを使う）。よって $T(g^{-1})=e^{-b_0/2}e^{-T(b_+)}$、$T(\bar g^{-1})=e^{-b_0/2}e^{-T(b_-)}$ です。また $a=\bar g\,g$ で $\bar g\in\overline{H^\infty}$ なので $T(a)=T(\bar g)T(g)=e^{b_0}e^{T(b_-)}e^{T(b_+)}$。命題 5.4 の等式に代入して

$$1+K=T(g^{-1})T(a)T(\bar g^{-1})=e^{X}e^{Y}e^{-X}e^{-Y},\qquad X=-T(b_+),\ Y=T(b_-) .$$

交換子のトレース。 定理 2.2 から $T(b_-b_+)=T(b_-)T(b_+)$（$H(b_-)=0$）、$T(b_+b_-)=T(b_+)T(b_-)+H(b_+)H(\tilde b_-)$ なので

$$[X,Y]=T(b_-)T(b_+)-T(b_+)T(b_-)=H(b_+)H(\tilde b_-).$$

$b_+\in\mathcal{W}_1$ なので 命題 5.4 の証明から $H(b_+)\in\mathcal{S}_1$、したがって $[X,Y]\in\mathcal{S}_1$ です。行列成分 $\langle e_j,H(c)e_k\rangle=c_{j+k+1}$ と $(\tilde b_-)_m=b_{-m}$ から

$$\mathrm{tr}[X,Y]=\sum_{j\ge0}\sum_{k\ge0}(b_+)_{j+k+1}(\tilde b_-)_{k+j+1}=\sum_{j,k\ge0}b_{j+k+1}b_{-(j+k+1)}=\sum_{m\ge1}m\,b_mb_{-m}$$

（$j+k+1=m$ となる組 $(j,k)$ はちょうど $m$ 個。$\sum_mm|b_m||b_{-m}|\le\sup|b_k|\sum_mm|b_m|<\infty$ なので、定理 7.11［級数と収束判定］ により和を $m=j+k+1$ ごとにまとめてよい）。$b$ は実数値なので $b_{-m}=\bar b_m$ です。

結論。 定理 5.6 から $\det(1+K)=e^{\mathrm{tr}[X,Y]}=E(a)$ で、命題 5.4 から $D_n(a)/G(a)^n\to E(a)$ です。

∎

例 5.8（1 つのモードだけのシンボル）

$b(\theta)=2r\cos\theta$（$r$ は実数）、$a=e^{2r\cos\theta}$ とすると $b_{\pm1}=r$ で他は $0$ なので、$G(a)=1$、$E(a)=e^{r^2}$ です。$a_k$ は変形 Bessel 関数 $I_k(2r)$ なので、定理 5.7 は $\det\bigl(I_{j-k}(2r)\bigr)_{0\le j,k<n}\to e^{r^2}$ を意味します。Heine の公式を通すと、これは $\int_{U(n)}e^{r\,\mathrm{tr}(U+U^*)}dU\to e^{r^2}$、すなわち Haar 測度に従うユニタリ行列のトレースの実部 $\mathrm{Re}\,\mathrm{tr}\,U$ が分散 $1/2$ の正規分布に近づくことの、モーメント母関数による表現です。

$\sum_{k\ge1}k|b_k|^2$ は 定理 8.1［Sobolev 空間］ の量 $2\pi\sum_{k\in\mathbb{Z}}|k||b_k|^2$（$H^{1/2}(\mathbb{T})$ 半ノルムの 2 乗）の $\frac1{4\pi}$ 倍で、強極限定理の自然な仮定は $b\in H^{1/2}$ です（Ibragimov の定理）。確率論的には、$U(n)$ の Haar 測度に従うランダム行列の固有値 $e^{i\theta_j}$ について $\sum_jb(\theta_j)-\frac n{2\pi}\int b$ が平均 $0$、分散 $2\sum_{k\ge1}k|b_k|^2$ の正規分布に収束する（Johansson）ことと同値な内容で、$H^{1/2}$ が Gauss 自由場の空間として現れます。

例 5.9（零点をもつシンボル）

$a(\theta)=2+2\cos\theta=|1+e^{i\theta}|^2$ では $T_n(a)$ は対角成分 $2$、隣接成分 $1$ の三重対角行列で、余因子展開から $D_n=2D_{n-1}-D_{n-2}$、$D_1=2$、$D_2=3$ なので $D_n=n+1$ です。$\frac1{2\pi}\int\log|1+e^{i\theta}|^2d\theta=0$（Jensen の公式、または $\log|1+z|^2=2\mathrm{Re}\log(1+z)$ の平均値）から $G(a)=1$ で、第一極限定理 $D_n^{1/n}\to1$ は成り立ちますが、$D_n/G^n=n+1\to\infty$ で強極限定理は成り立ちません。$a$ が $\theta=\pi$ で $0$ になるからで、このような特異なシンボルの漸近形 $D_n\sim CG^nn^{\gamma}$ は Fisher–Hartwig 予想（Deift–Its–Krasovsky による証明）の対象です。

6. Bergman 空間

定義 6.1（Bergman 空間）↗

単位円板 $\mathbb{D}$ 上の正則関数 $f$ で $\|f\|_{A^2}^2=\int_{\mathbb{D}}|f(z)|^2\,dA(z)\lt\infty$（$dA$ は面積測度）となるものの全体を Bergman 空間 $A^2(\mathbb{D})$ という。

定理 6.2（Bergman 空間の基本性質）✓

1. $f\in A^2$、$z\in\mathbb{D}$ について $|f(z)|\le\frac{\|f\|_{A^2}}{\sqrt\pi(1-|z|)}$。$A^2$ は $L^2(\mathbb{D})$ の閉部分空間で、Hilbert 空間である。
2. $e_n(z)=\sqrt{\frac{n+1}\pi}z^n$（$n\ge0$）は $A^2$ の正規直交基底である。
3. （再生核）$K(z,w)=\frac{1}{\pi(1-z\bar w)^2}$ について、$f\in A^2$ なら $f(z)=\int_{\mathbb{D}}K(z,w)f(w)\,dA(w)$。$L^2(\mathbb{D})$ から $A^2$ への直交射影（Bergman 射影）は核 $K$ の積分作用素である。

証明（定理 6.2）

1: 円板 $D(z,r)\subset\mathbb{D}$（$r=1-|z|$）上で、正則関数の平均値の性質（極座標で Cauchy の積分公式 定理 6.1［コーシーの積分定理と積分公式］ を半径について積分する）から $f(z)=\frac1{\pi r^2}\int_{D(z,r)}f\,dA$ で、Cauchy–Schwarz の不等式から $|f(z)|\le\frac{1}{\sqrt\pi r}\|f\|_{A^2}$ です。したがって $A^2$ の Cauchy 列はコンパクト集合上で一様収束し、極限は Morera の定理（定理 3.6［正則関数の強力な性質］、三角形上の積分が一様収束で $0$ のまま保たれる）から正則で、$L^2$ 極限と a.e. で一致します。よって $A^2$ は閉です。

2: 極座標で $\langle z^m,z^n\rangle=\int_0^1\int_0^{2\pi}r^{m+n}e^{i(n-m)\theta}\,d\theta\,r\,dr=\delta_{mn}\frac{2\pi}{2n+2}=\delta_{mn}\frac{\pi}{n+1}$ なので正規直交です。完全性: $f=\sum_nf_nz^n\in A^2$ について、$|z|\lt\rho\lt1$ 上では Taylor 級数が一様収束するので $\int_{|z|\lt\rho}|f|^2dA=\sum_n|f_n|^2\frac{\pi\rho^{2n+2}}{n+1}$ です。$\rho\uparrow1$（単調収束定理）で $\|f\|_{A^2}^2=\sum_n|f_n|^2\frac\pi{n+1}=\sum_n|\langle e_n,f\rangle|^2$ となり、Parseval の等式が成り立つので基底です（定理 6.4［Hilbert 空間の基礎］）。

3: 1 から $f\mapsto f(z)$ は $A^2$ 上の連続線形汎関数なので、Riesz の表現定理から $f(z)=\langle K_z,f\rangle$ となる $K_z\in A^2$ があり、$K_z=\sum_n\overline{e_n(z)}e_n$ です。$K(w,z)=K_z(w)=\sum_n\frac{n+1}\pi(\bar zw)^n=\frac{1}{\pi(1-w\bar z)^2}$ なので、$f(z)=\int\overline{K_z(w)}f(w)dA(w)=\int K(z,w)f(w)dA(w)$ です。$g\in L^2$ についても $(Pg)(z)=\langle K_z,Pg\rangle=\langle K_z,g\rangle$ なので、射影は同じ積分で与えられます。

∎

Bergman 空間は Hardy 空間 $H^2(\mathbb{D})$（$\sum|f_n|^2\lt\infty$）より大きく、境界値をもつとは限りません（$\sum|f_n|^2/(n+1)\lt\infty$ だけが条件）。$H^2(\mathbb{T})$ 上の Toeplitz 作用素と同様に、$\varphi\in L^\infty(\mathbb{D})$ について Bergman 空間上の Toeplitz 作用素 $T_\varphi f=P(\varphi f)$ が定義でき、$\varphi$ が $|z|$ だけによる（回転対称な）場合は基底 $e_n$ で対角化されます: $T_\varphi e_n=\bigl(2(n+1)\int_0^1\varphi(r)r^{2n+1}dr\bigr)e_n$。Bergman 核 $\frac{1}{\pi(1-z\bar w)^2}$ は円板の双曲幾何（Poincaré 計量 $\frac{4|dz|^2}{(1-|z|^2)^2}$ は $\log K(z,z)$ の Laplacian の定数倍）や、正則表現・コヒーレント状態の量子化（Berezin–Toeplitz 量子化）の出発点です。

7. 演習

演習 7.1標準

$a=e^b$（$b$ は実数値三角多項式）について、定理 5.2 の証明の $g$ を使い、$T(a)=T(\bar g)T(g)$ を示せ。これから $T(a)$ が可逆で $T(a)^{-1}=T(g^{-1})T(\bar g^{-1})$ であることを導け。

解答

$|g|^2=a$ なので $a=\bar g\,g$ で、$\bar g\in\overline{H^\infty}$ だから 定理 2.2 より $T(a)=T(\bar g)T(g)$ です。$g^{-1}\in H^\infty$ なので $T(g)T(g^{-1})=T(1)=1$（右因子が $H^\infty$）、$T(g^{-1})T(g)=T(1)=1$（右因子 $g\in H^\infty$）で、$T(g)$ は可逆、逆は $T(g^{-1})$ です。同様に $T(\bar g)$ の逆は $T(\bar g^{-1})$（左因子が $\overline{H^\infty}$）です。よって $T(a)^{-1}=T(g)^{-1}T(\bar g)^{-1}=T(g^{-1})T(\bar g^{-1})$ です。

演習 7.2易

$p(\theta)=3+2\cos\theta$ を $|q(e^{i\theta})|^2$（$q$ は 1 次多項式で $\mathbb{D}$ に零点をもたない）と書け。

解答

$|\alpha+\beta e^{i\theta}|^2=\alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta\cos\theta$（$\alpha,\beta$ 実）なので $\alpha^2+\beta^2=3$、$\alpha\beta=1$ を解きます。$\alpha^2=\frac{3+\sqrt5}2$、$\beta^2=\frac{3-\sqrt5}2$ で、$\alpha=\frac{1+\sqrt5}2$、$\beta=\frac{\sqrt5-1}2$ と取れます。$q(z)=\alpha+\beta z$ の零点は $-\alpha/\beta$ で $|\alpha/\beta|=\frac{3+\sqrt5}2\gt1$ なので $\mathbb{D}$ の外にあります。

演習 7.3標準

$f\in A^2$ について $|f(z)|\le\frac{\|f\|_{A^2}}{\sqrt\pi(1-|z|^2)}$ を示し、等号を実現する $f$ を求めよ（定理 6.2 の 1 の改良）。

解答

$f(z)=\langle K_z,f\rangle$ と Cauchy–Schwarz の不等式から $|f(z)|\le\|K_z\|\|f\|$ で、$\|K_z\|^2=\langle K_z,K_z\rangle=K_z(z)=K(z,z)=\frac{1}{\pi(1-|z|^2)^2}$ です。等号は $f$ が $K_z$ の定数倍、すなわち $f(w)=\frac{c}{(1-w\bar z)^2}$ のときです。

参考文献

• A. Böttcher, B. Silbermann, Introduction to Large Truncated Toeplitz Matrices, Springer, 1999.
• B. Simon, Orthogonal Polynomials on the Unit Circle, Part 1: Classical Theory, American Mathematical Society, 2005.
• U. Grenander, G. Szegő, Toeplitz Forms and Their Applications, University of California Press, 1958.
• H. Widom, “Asymptotic behavior of block Toeplitz matrices and determinants II”, Advances in Math. 21 (1976), 1–29.
• H. Hedenmalm, B. Korenblum, K. Zhu, Theory of Bergman Spaces, Springer, 2000 — 第 1 章。
• N. K. Nikolski, Operators, Functions, and Systems: An Easy Reading, Vol. 1, American Mathematical Society, 2002 — Toeplitz・Hankel 作用素。