Schwartz 空間と緩増加超関数：Fréchet 空間 𝒮 とその双対で Fourier 変換を完成させる

0. この記事の要点

この記事は、「$\delta$ 関数のように、ふつうの関数ではないけれど物理でよく使うもの」を、数学として正しく扱うための土台を作る章です。そのために、まず「とても速く 0 に近づく滑らかな関数」だけを集めた空間を考え、その空間に数値を対応させる規則として $\delta$ などを捉え直します。読み終えると、$\delta$ や定数関数の Fourier 変換を、計算の約束事ではなく定理として説明できるようになります。

• Schwartz 空間 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ は、すべての導関数が任意の多項式より速く減衰する滑らかな関数の空間です。可算個の半ノルム（ノルムの「0 のときだけ 0」という条件を外した大きさの測り方）で位相が入り、完備な距離空間（Fréchet 空間）になります。
• Fourier 変換は $\mathcal{S}$ から $\mathcal{S}$ への連続な線形全単射で、逆変換も連続です。微分と多項式の掛け算を入れ替えるので、$\mathcal{S}$ はこの入れ替えに閉じた最小限の自然な空間です。
• 緩増加超関数は $\mathcal{S}$ 上の連続線形汎関数です。微分・Fourier 変換は「転置」で定義でき、$\mathcal{S}'$ 上でも全単射になります。$\delta$ 関数、多項式、$\mathrm{p.v.}\,1/x$ はすべて $\mathcal{S}'$ の元です。
• Hermite 関数で展開すると、$\mathcal{S}$ は「係数が多項式より速く減衰する数列」の空間、$\mathcal{S}'$ は「係数が多項式程度に増える数列」の空間と同一視できます。この表示が核定理と次章の核型性の鍵です。
• 台が一点 $\{0\}$ の超関数は $\delta$ の導関数の有限一次結合に限ります。
• Schwartz の核定理: $\mathcal{S}(\mathbb{R}^m)\times\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ 上の分離連続な双線形形式は、ただ一つの $K\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^{m+n})$ で表されます。Wightman 関数（場の量子論で、場の演算子の積の真空期待値として現れる量）が超関数として定まる根拠です。

この記事で使う事前知識

• 距離空間: 点どうしの距離が定まっている集合。→ 距離空間
• 完備性: Cauchy 列がかならず収束する、という性質。→ 完備性
• Fourier 変換: 関数を波の重ね合わせに分解して、波ごとの強さを表す関数に移す操作。→ Fourier 変換
• 一様収束: 関数列が全体で同じ速さで近づく収束。→ 一様収束
• 正規直交基底: 長さ 1 で互いに直交するベクトルの族で、空間のどの元もその一次結合の極限で書けるもの。→ 正規直交基底

1. 動機

$L^2(\mathbb{R}^n)$ 上の Fourier 変換はユニタリ（長さを変えない可逆な変換）ですが、$\delta$ 関数や平面波 $e^{ik\cdot x}$、定数関数 $1$ は $L^2$ に入りません。一方で物理や偏微分方程式では「$\hat\delta=$ 定数」「$\hat 1\propto\delta$」のような計算を日常的に使います。これらを正当化するには、関数の概念を広げる必要があります。

Schwartz の発想は、関数 $u$ を「試験関数 $f$ に数 $\int uf$ を対応させる線形汎関数」として見ることでした。積分が意味を持たない $u$ でも、汎関数 $f\mapsto f(0)$ のように線形汎関数としては意味を持ちます。問題は試験関数の空間をどう選ぶかです。Fourier 変換を超関数にまで延ばすには、試験関数の空間 $X$ が Fourier 変換で閉じている必要があります。

• コンパクト台（0 でない部分が有界な範囲に収まる）の滑らかな関数 $C_c^\infty$ は Fourier 変換で閉じていません（$0$ でないコンパクト台の関数の Fourier 変換は整関数に延び、コンパクト台になりません）。
• 微分は Fourier 側で多項式の掛け算になり、逆に多項式の掛け算は微分になります。したがって $X$ は「微分」と「多項式の掛け算」の両方で閉じているべきです。

この 2 条件を満たす自然な空間が $\mathcal{S}$ です。$\mathcal{S}$ を小さく取るほど双対 $\mathcal{S}'$ は大きくなり、多項式程度に増大する関数まで含みます。指数関数的に増える $e^{x}$ は含みませんが、これは「緩増加」という名前の由来です。

本章は、前章 ℝⁿ 上のフーリエ変換 の $L^1$・$L^2$ 理論を前提にし、$\mathcal{S}$ を位相線形空間として調べるところから始めます。

2. 準備

2.1. 記号

多重指数（各成分が 0 以上の整数の組で、偏微分や単項式の次数をまとめて書くための記号）$\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in\mathbb{N}_0^n$（$\mathbb{N}_0=\{0,1,2,\ldots\}$）について $|\alpha|=\alpha_1+\cdots+\alpha_n$、$\alpha!=\alpha_1!\cdots\alpha_n!$、$x^\alpha=x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}$、$\partial^\alpha=\partial_1^{\alpha_1}\cdots\partial_n^{\alpha_n}$ と書きます。$\beta\le\alpha$ は各成分で $\beta_j\le\alpha_j$ を意味し、Leibniz 則は $\partial^\alpha(fg)=\sum_{\beta\le\alpha}\binom{\alpha}{\beta}\partial^\beta f\,\partial^{\alpha-\beta}g$ です。$\langle x\rangle=(1+|x|^2)^{1/2}$ とおきます。$L^2$ の内積は $\langle f,g\rangle=\int\bar f g\,dx$（第 1 変数について共役線形）です。

Fourier 変換は本章を通して

$$\hat f(\xi)=(\mathcal{F}f)(\xi)=\int_{\mathbb{R}^n}e^{-ix\cdot\xi}f(x)\,dx,\qquad \check g(x)=(\mathcal{F}^{-1}g)(x)=(2\pi)^{-n}\int_{\mathbb{R}^n}e^{ix\cdot\xi}g(\xi)\,d\xi$$

と正規化します。これは前章（定義 2.1［ℝⁿ 上のフーリエ変換］）と同じ正規化で、$L^2$ 上のユニタリ作用素は $U=(2\pi)^{-n/2}\mathcal{F}$ です。前章の結果のうち本章で使うのは、$L^1$ 上の反転公式（定理 3.3［ℝⁿ 上のフーリエ変換］）、Plancherel の定理（定理 4.1［ℝⁿ 上のフーリエ変換］）、Hermite 関数の完全性（定理 7.2［ℝⁿ 上のフーリエ変換］）の 3 つです。

2.2. 滑らかな切り落とし関数

この節の道具は、あとで「滑らかで、有界な範囲の外では 0 になる関数」が十分たくさんあることを使うためのものです。軟化子は、ギザギザの関数を局所的に平均して滑らかにするための山型の関数で、小さな山を使うほど元の関数に近い滑らかな関数が得られます。

補題 2.1（滑らかな山型関数と軟化子）✓

$\psi(t)=e^{-1/t}$（$t\gt0$）、$\psi(t)=0$（$t\le0$）は $\mathbb{R}$ 上 $C^\infty$ 級である。したがって $\rho(x)=c\,\psi(1-|x|^2)$ は $C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$ に属し、$\rho\ge0$、$\operatorname{supp}\rho=\{|x|\le1\}$ で、定数 $c\gt0$ を選べば $\int\rho=1$ となる。$\rho_\varepsilon(x)=\varepsilon^{-n}\rho(x/\varepsilon)$ を軟化子という。

証明（補題 2.1）

$t\gt0$ で帰納的に $\psi^{(k)}(t)=P_k(1/t)e^{-1/t}$（$P_k$ は多項式、$P_{k+1}(s)=s^2(P_k(s)-P_k'(s))$）です。$s=1/t\to\infty$ で $P(s)e^{-s}\to0$ なので、$t\downarrow0$ で $\psi^{(k)}(t)\to0$ です。$k$ についての帰納法で、$\psi^{(k)}(0)=0$ が存在することを示します。$\psi^{(k)}$ が $0$ で $0$ に等しいとき、右側の差分商は $P_k(1/t)e^{-1/t}/t=(sP_k(s))e^{-s}\to0$、左側の差分商は $0$ なので $\psi^{(k+1)}(0)=0$ です。$\rho$ は $C^\infty$ 関数 $1-|x|^2$ と $\psi$ の合成なので $C^\infty$ です。

∎

次の補題は、$L^p$ の関数を滑らかなコンパクト台の関数でいくらでも近似できること（稠密性）を述べます。証明は、まず連続関数での近似（(a)）を測度論の道具で用意し、次に軟化子で滑らかにする（(b)〜(c)）という二段構えです。(a) は長いので、結論だけ受け取って先に進んでもかまいません。

補題 2.2（軟化と稠密性）✓

$1\le p\lt\infty$ とする。

1. $u\in L^p(\mathbb{R}^n)$ ならば $\rho_\varepsilon*u\in C^\infty$ で、$\|\rho_\varepsilon*u\|_p\le\|u\|_p$、かつ $\varepsilon\to0$ で $\|\rho_\varepsilon*u-u\|_p\to0$。
2. $C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$ は $L^p(\mathbb{R}^n)$ で稠密である。
3. 開集合 $U\subset\mathbb{R}^n$ と $u\in L^1_{\mathrm{loc}}(U)$ について、すべての $\varphi\in C_c^\infty(U)$ で $\int u\varphi=0$ ならば $U$ 上ほとんどいたるところ $u=0$ である。

証明（補題 2.2）

(a) $C_c(\mathbb{R}^n)$ の稠密性。（$n=1$、$p=1$ の場合は 補題 5.4［直積測度と Fubini–Tonelli の定理］ の (1) で示しました。$\mathbb{R}^n$・$L^p$ の場合は 命題 7.2［L^p 空間と関数解析への導入］ にも Radon 測度の正則性による証明があります。ここでは π-λ 定理による別証明を与えます。）$\mathcal{C}$ を $L^p$ における $C_c(\mathbb{R}^n)$ の閉包とします。$R\gt0$ を固定し、立方体 $Q_R=(-R,R]^n$ のボレル部分集合 $A$ で $\mathbf{1}_A\in\mathcal{C}$ となるもの全体を $\mathcal{L}$ とします。半開直方体 $\prod_j(a_j,b_j]\subset Q_R$ の指示関数は、各辺で台形状に $0$ へ落ちる連続関数で $L^p$ 近似できるので $\mathcal{L}$ に入ります。直方体全体は π-系で、$Q_R$ のボレル集合族を生成します。$\mathcal{L}$ は λ-系です: $Q_R\in\mathcal{L}$、$A\subset B$ がともに $\mathcal{L}$ に入れば $\mathbf{1}_{B\setminus A}=\mathbf{1}_B-\mathbf{1}_A\in\mathcal{C}$、増大列 $A_k\uparrow A$ では優収束定理（定理 7.3［ルベーグ積分の定義と収束定理］、優関数 $\mathbf{1}_{Q_R}$）で $\mathbf{1}_{A_k}\to\mathbf{1}_A$ が $L^p$ で成り立ち、$\mathcal{C}$ は閉です。Dynkin の π-λ 定理（定理 4.4［測度空間と Carathéodory の拡張定理］）から $Q_R$ のボレル集合はすべて $\mathcal{L}$ に入ります。ルベーグ可測集合はボレル集合と零集合の差しかないので、有界な可測集合の指示関数は $\mathcal{C}$ に入ります。$L^p$ 関数は有界な台をもつ可積分単関数で $L^p$ 近似できる（単関数近似 定理 3.7［ルベーグ積分の定義と収束定理］ と優収束定理）ので、$\mathcal{C}=L^p$ です。

(b) 1 の証明。 滑らかさは、$\rho_\varepsilon(x-y)$ の $x$ についての導関数が有界でコンパクト台をもつことから、積分記号下の微分（系 7.4［ルベーグ積分の定義と収束定理］）を各変数に繰り返して得られます。ノルムの評価は、確率測度 $\rho_\varepsilon(y)dy$ についての Hölder の不等式（定理 4.2［L^p 空間と関数解析への導入］）$|\rho_\varepsilon*u(x)|^p\le\int\rho_\varepsilon(y)|u(x-y)|^p\,dy$ を $x$ で積分し Tonelli の定理（定理 3.3［直積測度と Fubini–Tonelli の定理］）を使えば出ます。$g\in C_c$ なら $g$ は一様連続で、$\rho_\varepsilon*g-g$ は $\operatorname{supp}g$ の $1$-近傍に台をもち一様に $0$ に収束するので $L^p$ でも $0$ に収束します。一般の $u$ では $\|u-g\|_p\lt\eta$ なる $g\in C_c$ を (a) で取り、 $\|\rho_\varepsilon*u-u\|_p\le\|\rho_\varepsilon*(u-g)\|_p+\|\rho_\varepsilon*g-g\|_p+\|g-u\|_p\le2\eta+\|\rho_\varepsilon*g-g\|_p$ とすれば十分です。

(c) 2 の証明。 $g\in C_c$ なら $\rho_\varepsilon*g\in C_c^\infty$ なので、(a) と (b) を合わせます。

(d) 3 の証明。 閉球 $\bar B(a,2r)\subset U$ を取り、$v=u\mathbf{1}_{B(a,2r)}\in L^1$ とします。$|x-a|\lt r$、$\varepsilon\lt r$ なら $y\mapsto\rho_\varepsilon(x-y)$ は $C_c^\infty(B(a,2r))$ に入るので $\rho_\varepsilon*v(x)=\int u(y)\rho_\varepsilon(x-y)\,dy=0$ です。1 から $\rho_\varepsilon*v\to v$（$L^1$）なので $v=0$ が $B(a,r)$ 上 a.e. で成り立ちます。$U$ は可算個のこのような球で覆えます。

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補題 2.3（滑らかな切り落としと 1 の分割）✓

1. $K\subset U$（$K$ コンパクト、$U$ 開）ならば、$\chi\in C_c^\infty(U)$、$0\le\chi\le1$、$K$ 上 $\chi=1$ となるものが存在する。
2. $K\subset U_1\cup\cdots\cup U_m$（$U_j$ 開）ならば、$\varphi_j\in C_c^\infty(U_j)$ で $K$ 上 $\sum_j\varphi_j=1$ となるものが存在する。

証明（補題 2.3）

1: $\delta=\frac13\operatorname{dist}(K,\mathbb{R}^n\setminus U)\gt0$（$U=\mathbb{R}^n$ なら $\delta=1$）とし、$K_\delta=\{x\mid\operatorname{dist}(x,K)\lt\delta\}$ に対して $\chi=\rho_\delta*\mathbf{1}_{K_\delta}$ とおきます。補題 2.2 の (b) の議論で $\chi\in C^\infty$、$0\le\chi\le1$ です。台は $K_{2\delta}$ の閉包に含まれコンパクトで $U$ の中にあり、$x\in K$ なら $B(x,\delta)\subset K_\delta$ なので $\chi(x)=\int\rho_\delta=1$ です。

2: 各 $x\in K$ について閉球 $\bar B(x,r_x)$ がある $U_j$ に含まれるように $r_x$ を取り、$K$ を有限個の開球 $B(x_i,r_{x_i})$ で覆います。$U_j$ に含まれる閉球の和を $K_j$（コンパクト）とすると $K\subset\bigcup_jK_j$ です。1 で $\chi_j\in C_c^\infty(U_j)$、$K_j$ 上 $\chi_j=1$ を取り、$\varphi_1=\chi_1$、$\varphi_j=(1-\chi_1)\cdots(1-\chi_{j-1})\chi_j$ とおくと $\sum_j\varphi_j=1-\prod_j(1-\chi_j)$ で、$K$ の各点はある $K_j$ に入るので右辺は $1$ です。

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3. Schwartz 空間

定義 3.1（Schwartz 空間）↗

$f\in C^\infty(\mathbb{R}^n)$ で、すべての $\alpha,\beta\in\mathbb{N}_0^n$ について

$$p_{\alpha,\beta}(f)=\sup_{x\in\mathbb{R}^n}|x^\alpha\partial^\beta f(x)|\lt\infty$$

となるものを急減少関数といい、その全体を $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ と書く。$N\in\mathbb{N}_0$ について $\|f\|_{(N)}=\sum_{|\alpha|\le N,\,|\beta|\le N}p_{\alpha,\beta}(f)$ とおき、

$$d(f,g)=\sum_{N=0}^\infty2^{-N}\min\bigl(1,\|f-g\|_{(N)}\bigr)$$

と定める。

$\|\cdot\|_{(N)}$ は $N$ について単調増加な半ノルムの列で、$\|\cdot\|_{(0)}$ は上限ノルムなのでこの族は点を分離します。$d$ は平行移動不変な距離で、$d(f_k,f)\to0$ はすべての $N$ で $\|f_k-f\|_{(N)}\to0$ となることと同値です（$\Rightarrow$ は $2^{-N}\min(1,\cdot)$ の項から、$\Leftarrow$ は級数の尾が $2^{-N}$ 以下であることから）。例えば $e^{-|x|^2}$ や $C_c^\infty$ の元は $\mathcal{S}$ に入り、$\langle x\rangle^{-k}$ は滑らかでもどの $k$ でも入りません。

e^(-x²) と 1/(1+x²) のグラフの比較。どちらも滑らかで 0 に近づくが、前者は急減少で 𝒮 に入る。後者はべきで減衰するだけなので、x の十分高い冪（3 乗以上）を掛けると有界でなくなり、𝒮 に入らない。

上の距離 $d$ は、可算個の半ノルムを 1 つの距離にまとめ、「$\mathcal{S}$ で収束する」を「すべての $N$ で $\|\cdot\|_{(N)}$ が 0 に近づく」と言い換えるためのものです。$2^{-N}$ の重みは、$N$ が大きい項の寄与を小さくして和を有限にするための工夫です。次の定義は、この形の距離で完備になる空間に名前を付けたものです。

定義 3.2（Fréchet 空間）↗

ベクトル空間 $E$ と、点を分離する単調増加な半ノルムの列 $q_0\le q_1\le\cdots$ が与えられ、$d(f,g)=\sum_N2^{-N}\min(1,q_N(f-g))$ について完備であるとき、$E$ を Fréchet 空間という。

命題 3.3（𝒮 は Fréchet 空間）✓

$(\mathcal{S}(\mathbb{R}^n),d)$ は完備である。

証明（命題 3.3）

$(f_k)$ を $d$ についての Cauchy 列とすると、各 $\alpha,\beta$ について $x^\alpha\partial^\beta f_k$ は一様 Cauchy 列なので、ある有界連続関数 $g_{\alpha,\beta}$ に一様収束します。$f=g_{0,0}$ とおきます。座標方向の微積分の基本定理 $f_k(x+te_j)-f_k(x)=\int_0^t\partial_jf_k(x+se_j)\,ds$ で $k\to\infty$ とすると（一様収束なので積分と極限を交換できる。定理 5.2［関数列と一様収束］）、$f(x+te_j)-f(x)=\int_0^tg_{0,e_j}(x+se_j)\,ds$ となり、$\partial_jf=g_{0,e_j}$ は連続です。これを繰り返して $f\in C^\infty$、$\partial^\beta f=g_{0,\beta}$ を得ます。各点で $x^\alpha\partial^\beta f_k(x)\to x^\alpha g_{0,\beta}(x)$ なので $g_{\alpha,\beta}=x^\alpha\partial^\beta f$ で、とくに $p_{\alpha,\beta}(f)\lt\infty$ です。最後に、$\varepsilon\gt0$ に対し $k,l\ge k_0$ で $p_{\alpha,\beta}(f_k-f_l)\lt\varepsilon$ なら、$l\to\infty$ の各点極限で $p_{\alpha,\beta}(f_k-f)\le\varepsilon$ です。

∎

次の補題は、線形写像の連続性を「ある半ノルムで抑えられる」という不等式に言い換えるものです。以後、連続性の確認はほとんどこの不等式を示すことに帰着します。

補題 3.4（連続性の半ノルムによる判定）✓

$E,F$ を半ノルム列 $(q_N)$、$(r_M)$ をもつ Fréchet 空間とする。線形写像 $L:E\to F$ が連続であるための必要十分条件は、各 $M$ について $N$ と $C$ が存在して $r_M(Lf)\le C\,q_N(f)$（$f\in E$）となることである。とくに線形汎関数 $T:E\to\mathbb{C}$ が連続であることは、ある $N,C$ について $|T(f)|\le C\,q_N(f)$ となることと同値である。

証明（補題 3.4）

十分性: 評価式から $q_N(f_k-f)\to0$（全 $N$）なら $r_M(Lf_k-Lf)\to0$（全 $M$）です。必要性: $f\mapsto r_M(Lf)$ は $0$ で連続なので、$\delta\gt0$ を $d_E(f,0)\lt\delta\Rightarrow r_M(Lf)\lt1$ と取れます。$2^{-N}\lt\delta/2$ となる $N$ を取ると、半ノルムが単調増加なので $d_E(f,0)\le\sum_{k\le N}2^{-k}q_N(f)+2^{-N}\le2q_N(f)+\delta/2$ です。したがって $q_N(f)\lt\delta/4$ なら $r_M(Lf)\lt1$ です。$q_N(f)\neq0$ なら $f$ を $\delta f/(5q_N(f))$ に置き換えて $r_M(Lf)\le(5/\delta)q_N(f)$ を得ます。$q_N(f)=0$ なら任意の $t\gt0$ で $q_N(tf)=0$ なので $t\,r_M(Lf)\lt1$ となり、$r_M(Lf)=0$ です。

∎

命題 3.5（𝒮 上の基本操作）✓

1. $f\mapsto x^\alpha f$ と $f\mapsto\partial^\beta f$ は $\mathcal{S}$ から $\mathcal{S}$ への連続線形写像である。
2. $g\in C^\infty(\mathbb{R}^n)$ のすべての導関数が多項式で抑えられる（$|\partial^\beta g(x)|\le C_\beta\langle x\rangle^{m_\beta}$）とき、$f\mapsto gf$ は $\mathcal{S}$ 上で連続である。このような $g$ の全体を $\mathcal{O}_M$ と書く。
3. $1\le p\le\infty$ について $\mathcal{S}\subset L^p$ であり、$\|f\|_p\le C_{n,p}\|f\|_{(n+2)}$。
4. $C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$ は $\mathcal{S}$ で稠密である。より詳しく、$\chi\in C_c^\infty$ が $|x|\le1$ で $\chi=1$ のとき、$\chi_R(x)=\chi(x/R)$ について $\chi_Rf\to f$（$R\to\infty$、$\mathcal{S}$ の位相）。

証明（命題 3.5）

1, 2: Leibniz 則から $x^\alpha\partial^\beta(gf)$ は $x^\alpha\partial^\gamma g\,\partial^{\beta-\gamma}f$ の有限和で、$|x^\alpha\partial^\gamma g|\le C\langle x\rangle^{|\alpha|+m}$ です。$\langle x\rangle^{2k}=(1+|x|^2)^k$ は単項式の和なので $\sup|\langle x\rangle^{2k}h|\le C\sum_{|\gamma|\le2k}p_{\gamma,0}(h)$ となり、補題 3.4 の評価が得られます。1 は 2 の特別な場合と、$\partial^\beta$ が $\|\cdot\|_{(N)}$ を $\|\cdot\|_{(N+|\beta|)}$ で抑えることから出ます。

3: $2k$ を $n+1$ 以上の最小の偶数とすると $|f(x)|\le\langle x\rangle^{-n-1}\sup|\langle x\rangle^{2k}f|$ です。$\langle x\rangle^{-n-1}$ は $L^1\cap L^\infty$ に入り（極座標（系 6.5［ℝ^d の変数変換公式と極座標］）で $\int\langle x\rangle^{-n-1}dx\le\sigma(S^{n-1})\bigl(\int_0^1r^{n-1}dr+\int_1^\infty r^{-2}dr\bigr)\lt\infty$）、$\langle x\rangle^{2k}=(1+|x|^2)^k$ は次数 $2k\le n+2$ 以下の単項式の和なので、$\|f\|_p\le C\|f\|_{(n+2)}$ を得ます。

4: Leibniz 則で $x^\alpha\partial^\beta(f-\chi_Rf)=x^\alpha(1-\chi_R)\partial^\beta f-\sum_{0\ne\gamma\le\beta}\binom{\beta}{\gamma}R^{-|\gamma|}(\partial^\gamma\chi)(x/R)\,x^\alpha\partial^{\beta-\gamma}f$ です。第 1 項は $|x|\ge R$ でしか $0$ でなく、そこで $|x^\alpha\partial^\beta f|\le R^{-1}\sup|\,|x|\,x^\alpha\partial^\beta f|$ です。第 2 項は $R^{-1}$ 以下の係数をもちます。いずれも $R\to\infty$ で一様に $0$ に収束します。

∎

4. 𝒮 上の Fourier 変換

補題 4.1（微分と掛け算の交換）✓

$f\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ ならば $\hat f\in C^\infty$ で、すべての $\alpha,\beta$ について

$$\partial^\alpha\hat f=\mathcal{F}\bigl((-ix)^\alpha f\bigr),\qquad(i\xi)^\beta\hat f=\mathcal{F}(\partial^\beta f).$$

証明（補題 4.1）

第 1 式: $\xi_j$ についての微分は、被積分関数の $\xi_j$ 微分 $-ix_je^{-ix\cdot\xi}f(x)$ が可積分関数 $|x_jf(x)|$ で抑えられるので、積分記号下で実行できます（系 7.4［ルベーグ積分の定義と収束定理］）。$x^\alpha f\in\mathcal{S}$ なので繰り返せます。第 2 式: Fubini の定理（定理 3.4［直積測度と Fubini–Tonelli の定理］）で $x_j$ 積分を最後に回し、1 変数の部分積分 $\int_{-R}^R\partial_jf\,e^{-ix_j\xi_j}dx_j=[f e^{-ix_j\xi_j}]_{-R}^R+i\xi_j\int_{-R}^Rf e^{-ix_j\xi_j}dx_j$ で $R\to\infty$ とします（境界項は $f$ の減衰で $0$）。

∎

定理 4.2（𝒮 上の Fourier 変換）✓

1. $\mathcal{F}$ は $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ から $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ への連続線形写像である。
2. （反転公式）$f\in\mathcal{S}$ について $\mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}f=\mathcal{F}\mathcal{F}^{-1}f=f$。したがって $\mathcal{F}$ は $\mathcal{S}$ の線形同相写像である。
3. （乗法公式）$u\in L^1$、$g\in\mathcal{S}$ について $\int\hat u\,g\,dx=\int u\,\hat g\,dx$。また $f,g\in\mathcal{S}$ について $\langle\hat f,\hat g\rangle=(2\pi)^n\langle f,g\rangle$。
4. （畳み込み）$f,g\in\mathcal{S}$ について $f*g\in\mathcal{S}$ で、$\widehat{f*g}=\hat f\,\hat g$、$\widehat{fg}=(2\pi)^{-n}\hat f*\hat g$。

証明（定理 4.2）

1. 補題 4.1 から $\xi^\beta\partial^\alpha\hat f=(-i)^{|\beta|}\mathcal{F}\bigl(\partial^\beta((-ix)^\alpha f)\bigr)$ です。$|\hat h(\xi)|\le\|h\|_1$ と 命題 3.5 の 1, 3 から $p_{\beta,\alpha}(\hat f)\le C\|f\|_{(N)}$ となる $N$ が取れ、補題 3.4 により連続です。

2. $f\in\mathcal{S}$ なら $f\in L^1$、かつ 1 と 命題 3.5 の 3 から $\hat f\in L^1$ です。反転公式（定理 3.3［ℝⁿ 上のフーリエ変換］）により a.e. で $f=\mathcal{F}^{-1}\hat f$ で、両辺は連続（右辺は可積分関数の Fourier 積分なので優収束定理で連続）なので、すべての点で等しくなります。反転を $Rf(x)=f(-x)$ と書くと、定義から $\mathcal{F}^{-1}=(2\pi)^{-n}R\mathcal{F}=(2\pi)^{-n}\mathcal{F}R$ です。すると $\mathcal{F}\mathcal{F}^{-1}=(2\pi)^{-n}\mathcal{F}R\mathcal{F}=\mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}=\mathrm{id}$ となり、$\mathcal{F}^{-1}$ は 1 により連続です。

3. $(x,\xi)\mapsto u(x)g(\xi)e^{-ix\cdot\xi}$ は $\mathbb{R}^{2n}$ で可積分なので、Fubini の定理（定理 3.4［直積測度と Fubini–Tonelli の定理］）で $\int\hat u(\xi)g(\xi)\,d\xi=\int u(x)\hat g(x)\,dx$ です。後半: $v=\overline{\hat f}\in\mathcal{S}$ について $\hat v(x)=\int e^{-ix\cdot\xi}\overline{\hat f(\xi)}\,d\xi=(2\pi)^n\overline{\mathcal{F}^{-1}\hat f(x)}=(2\pi)^n\overline{f(x)}$ なので、前半から $\langle\hat f,\hat g\rangle=\int v\,\hat g=\int\hat v\,g=(2\pi)^n\langle f,g\rangle$ です。

4. Fubini の定理で

$$(2\pi)^{-n}\int e^{ix\cdot\xi}\hat f(\xi)\hat g(\xi)\,d\xi=\int g(y)\Bigl((2\pi)^{-n}\int\hat f(\xi)e^{i(x-y)\cdot\xi}d\xi\Bigr)dy=(f*g)(x)$$

となり（内側は 2 により $f(x-y)$）、$f*g=\mathcal{F}^{-1}(\hat f\hat g)\in\mathcal{S}$ です。両辺に $\mathcal{F}$ を作用させて第 1 式を得ます。第 2 式: $R(u*v)=Ru*Rv$ と $\mathcal{F}^{-1}=(2\pi)^{-n}\mathcal{F}R$ から、第 1 式は $\mathcal{F}^{-1}(u*v)=(2\pi)^{n}\mathcal{F}^{-1}u\,\mathcal{F}^{-1}v$ とも書けます。$u=\hat f$、$v=\hat g$ とおくと $\mathcal{F}^{-1}(\hat f*\hat g)=(2\pi)^{n}fg$ で、両辺に $\mathcal{F}$ を作用させれば出ます。

∎

3 の後半を $L^2$ に延ばしたものが Plancherel の定理（定理 4.1［ℝⁿ 上のフーリエ変換］）で、$\mathcal{S}$ は $L^2$ で稠密（補題 2.2）なので、$L^2$ 上の Fourier 変換は $\mathcal{S}$ 上の $\mathcal{F}$ の連続延長と一致します。

5. Hermite 関数による 𝒮 の数列表示

5.1. 1 次元の Hermite 関数

量子力学を知らなくても読めます。ここで使う $a,a^\dagger$ は、微分と「$x$ を掛ける」操作を組み合わせた 2 つの作用素にすぎません。$a^\dagger$ を $e^{-x^2/2}$ に繰り返し作用させて関数の列 $h_k$ を作り、それが $L^2$ の正規直交基底になることを使います。調和振動子の名前は、この作用素の組が量子力学の調和振動子と同じ形をしていることに由来します。

$\mathcal{S}(\mathbb{R})$ 上の作用素

$$a=\tfrac{1}{\sqrt2}\Bigl(x+\frac{d}{dx}\Bigr),\qquad a^\dagger=\tfrac{1}{\sqrt2}\Bigl(x-\frac{d}{dx}\Bigr)$$

を消滅・生成作用素といいます。部分積分から $\langle af,g\rangle=\langle f,a^\dagger g\rangle$（$f,g\in\mathcal{S}$）で、直接の計算から

$$[a,a^\dagger]=aa^\dagger-a^\dagger a=1,\qquad H_1:=-\frac{d^2}{dx^2}+x^2=2a^\dagger a+1$$

です。$h_0(x)=\pi^{-1/4}e^{-x^2/2}$ は $ah_0=0$、$\|h_0\|_2=1$ を満たします。$h_k=(k!)^{-1/2}(a^\dagger)^kh_0$ を（正規化した）Hermite 関数といいます。前章の記号では $\sqrt2\,a^\dagger$ が $T=x-\frac{d}{dx}$ なので、ここでの $h_k$ は前章の正規化した $e_k$（定理 7.2［ℝⁿ 上のフーリエ変換］）と一致します。本章では多重指数の記法と合わせるため $h_k$ と書きます。

補題 5.1（Hermite 関数の基本性質）✓

1. $h_k(x)=P_k(x)e^{-x^2/2}$ で、$P_k$ は正の最高次係数をもつちょうど $k$ 次の多項式である。
2. $a^\dagger h_k=\sqrt{k+1}\,h_{k+1}$、$ah_k=\sqrt k\,h_{k-1}$（$h_{-1}=0$）、$H_1h_k=(2k+1)h_k$。
3. $(h_k)_{k\ge0}$ は $L^2(\mathbb{R})$ の正規直交基底である。

証明（補題 5.1）

1: $a^\dagger(Pe^{-x^2/2})=2^{-1/2}(2xP-P')e^{-x^2/2}$ で、次数が 1 上がり最高次係数は $\sqrt2$ 倍になります。

2: 第 1 式は定義です。$[a,a^\dagger]=1$ から帰納的に $a(a^\dagger)^k=(a^\dagger)^ka+k(a^\dagger)^{k-1}$ で、$ah_0=0$ と合わせて $ah_k=(k!)^{-1/2}k(a^\dagger)^{k-1}h_0=\sqrt k\,h_{k-1}$ です。すると $H_1h_k=(2a^\dagger a+1)h_k=(2k+1)h_k$。

3: 正規直交性: $H_1$ は $\mathcal{S}$ 上で対称なので、異なる固有値の固有ベクトル $h_j,h_k$ は直交します。ノルムは $\|h_{k+1}\|^2=(k+1)^{-1}\langle a^\dagger h_k,a^\dagger h_k\rangle=(k+1)^{-1}\langle h_k,(a^\dagger a+1)h_k\rangle=\|h_k\|^2$ から帰納的に $1$ です。

完全性は前章の 定理 7.2［ℝⁿ 上のフーリエ変換］ です（$h_k$ と直交する $f$ は $x^ke^{-x^2/2}$ とすべて直交し、$fe^{-x^2/2}$ の Fourier 変換が $0$ になる、という議論）。

∎

5.2. 多次元と N 表示

$\alpha\in\mathbb{N}_0^n$ に対して $h_\alpha(x)=h_{\alpha_1}(x_1)\cdots h_{\alpha_n}(x_n)$ とおきます。定理 3.5［Hilbert 空間のテンソル積と直積分］ と 命題 3.3［Hilbert 空間のテンソル積と直積分］ により $(h_\alpha)$ は $L^2(\mathbb{R}^n)$ の正規直交基底です。$a_j,a_j^\dagger$ を $x_j$ 変数の消滅・生成作用素とすると、調和振動子 $H=-\Delta+|x|^2=\sum_j(2a_j^\dagger a_j+1)$ について $Hh_\alpha=(2|\alpha|+n)h_\alpha$ です。$f\in L^2$ の Hermite 係数を $c_\alpha(f)=\langle h_\alpha,f\rangle$ とし、

$$\|f\|_{H,m}=\Bigl(\sum_\alpha(2|\alpha|+n)^{2m}|c_\alpha(f)|^2\Bigr)^{1/2}\in[0,\infty]$$

とおきます。$2|\alpha|+n\ge1$ なので $\|f\|_{H,m}$ は $m$ について単調増加です。

次の定理は、$\mathcal{S}$ の関数を Hermite 係数の列として扱えること、つまり「関数の空間」を「数列の空間」に置き換えられることを述べます。そのために、微分と多項式の掛け算で測った大きさ（$\|\cdot\|_{(N)}$）と、係数の増え方で測った大きさ（$\|\cdot\|_{H,m}$）が互いに抑え合うことを示します。1 は易しく、2 の証明は $a_j,a_j^\dagger$ が係数の添字を 1 つずらすだけであることを使って、細かい不等式を積み上げます。

定理 5.2（𝒮 の Hermite 表示（N 表示））✓

1. $f\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ ならば $\|f\|_{H,m}=\|H^mf\|_2\lt\infty$ であり、各 $m$ について $\|f\|_{H,m}\le C\|f\|_{(N)}$ となる $N,C$ がある。
2. 各 $N$ について、$\|f\|_{(N)}\le C\|f\|_{H,m}$（$f\in\mathcal{S}$）となる $m,C$ がある。
3. 写像 $f\mapsto(c_\alpha(f))_\alpha$ は、$\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ から数列空間

$$s=\Bigl\{(c_\alpha)_{\alpha\in\mathbb{N}_0^n}\ \Big|\ \text{すべての }m\text{ で }\sum_\alpha(2|\alpha|+n)^{2m}|c_\alpha|^2\lt\infty\Bigr\}$$

への線形全単射である。$f\in\mathcal{S}$ の Hermite 展開 $\sum_\alpha c_\alpha(f)h_\alpha$ は（任意の順序の有限部分和の増大列について）$\mathcal{S}$ の位相で $f$ に収束する。

1 と 2 から、半ノルム列 $(\|\cdot\|_{H,m})_m$ と $(\|\cdot\|_{(N)})_N$ は $\mathcal{S}$ に同じ位相を定めます。

証明（定理 5.2）

1. $H$ は $\mathcal{S}$ 上で対称（部分積分）で $h_\alpha\in\mathcal{S}$ なので、$c_\alpha(Hf)=\langle Hh_\alpha,f\rangle=(2|\alpha|+n)c_\alpha(f)$ です。繰り返すと $c_\alpha(H^mf)=(2|\alpha|+n)^mc_\alpha(f)$ で、Parseval の等式（定理 6.4［Hilbert 空間の基礎］）から $\|f\|_{H,m}=\|H^mf\|_2$ です。$H^mf$ は「次数 $2m$ 以下の多項式 $\times$ 階数 $2m$ 以下の $f$ の導関数」の有限和なので、命題 3.5 の 1, 3 から $\|H^mf\|_2\le C\|f\|_{(N)}$ です。

2. まず上限ノルムを $L^2$ ノルムで抑えます。$g\in\mathcal{S}$ について、各座標で微積分の基本定理を使うと $g(x)=\int_{-\infty}^{x_1}\!\cdots\int_{-\infty}^{x_n}\partial_1\cdots\partial_ng\,dy$ なので、Cauchy–Schwarz の不等式で

$$\sup|g|\le\|\partial_1\cdots\partial_ng\|_1\le\|\langle x\rangle^{-n}\|_2\,\|\langle x\rangle^{n}\partial_1\cdots\partial_ng\|_2 .$$

$g=x^\alpha\partial^\beta f$ とし、$\langle x\rangle^{2n}=(1+|x|^2)^n$ を展開すると、$p_{\alpha,\beta}(f)^2$ は有限個の $\|x^\gamma\partial^\delta f\|_2^2$（$|\gamma|+|\delta|\le|\alpha|+|\beta|+2n$）の定数倍の和で抑えられます。

次に $\|x^\gamma\partial^\delta f\|_2$ を Hermite ノルムで抑えます。$x_j=(a_j+a_j^\dagger)/\sqrt2$、$\partial_j=(a_j-a_j^\dagger)/\sqrt2$ なので、$x^\gamma\partial^\delta$ は $k=|\gamma|+|\delta|$ 個の $a_j,a_j^\dagger$ の積（語）の $2^k$ 個の一次結合です。$f\in\mathcal{S}$ と $B=a_j$ について、$\langle h_\alpha,a_jf\rangle=\langle a_j^\dagger h_\alpha,f\rangle=\sqrt{\alpha_j+1}\,c_{\alpha+e_j}(f)$、同様に $c_\alpha(a_j^\dagger f)=\sqrt{\alpha_j}\,c_{\alpha-e_j}(f)$ です。添字のずれ $\alpha\leftrightarrow\alpha\pm e_j$ で $2|\alpha|+n$ は高々 $2$ 変わるので、$2|\alpha|+n\le3(2|\alpha\pm e_j|+n)$ かつ $|\alpha|+1\le2(2|\alpha\pm e_j|+n)$ です。したがって実数 $s\ge0$ について $N_s(f)^2=\sum_\alpha(2|\alpha|+n)^{2s}|c_\alpha(f)|^2$ とおくと

$$N_s(Bf)\le\sqrt2\cdot3^{s}\,N_{s+1/2}(f)\qquad(B\in\{a_j,a_j^\dagger\})$$

が成り立ち、$k$ 回繰り返して $\|Wf\|_2=N_0(Wf)\le C\,N_{k/2}(f)\le C\|f\|_{H,\lceil k/2\rceil}$ を得ます（$W$ は長さ $k$ の語）。以上を合わせて 2 が出ます。

3. $f\in\mathcal{S}$ なら 1 から $(c_\alpha(f))\in s$ で、$(h_\alpha)$ が基底なので単射です。全射性: $(c_\alpha)\in s$ に対し、$\mathbb{N}_0^n$ を有限集合の増大列 $F_1\subset F_2\subset\cdots$ で尽くし、$f_K=\sum_{\alpha\in F_K}c_\alpha h_\alpha\in\mathcal{S}$ とします。$\|f_K-f_L\|_{H,m}^2=\sum_{\alpha\in F_L\setminus F_K}(2|\alpha|+n)^{2m}|c_\alpha|^2\to0$ なので、2 により $(f_K)$ は $\mathcal{S}$ の Cauchy 列で、命題 3.3 からある $f\in\mathcal{S}$ に収束します。1（$m=0$）から $L^2$ でも $f_K\to f$ なので $c_\alpha(f)=c_\alpha$ です。$f\in\mathcal{S}$ 自身にこの構成を適用すれば、展開の $\mathcal{S}$ 収束が得られます。

∎

系 5.3（緩増加超関数の数列表示）✓

線形汎関数 $T:\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)\to\mathbb{C}$ が連続であるための必要十分条件は、ある $m$、$C$ について $|T(h_\alpha)|\le C(2|\alpha|+n)^m$（全 $\alpha$）となることである。このとき $T(f)=\sum_\alpha c_\alpha(f)\,T(h_\alpha)$ で、級数は絶対収束する。逆に、多項式増大の数列 $(t_\alpha)$ に対して $T(f)=\sum_\alpha c_\alpha(f)t_\alpha$ は連続線形汎関数を定める。

証明（系 5.3）

$T$ が連続なら、補題 3.4 と 定理 5.2 の 2 から $|T(f)|\le C\|f\|_{H,m}$ となる $m$ があり、$\|h_\alpha\|_{H,m}=(2|\alpha|+n)^m$ です。逆向きと絶対収束: $|\{\alpha\mid|\alpha|=k\}|\le(k+1)^{n-1}$ より $\sum_\alpha(2|\alpha|+n)^{-2n}\le\sum_k(k+1)^{n-1}(k+1)^{-2n}\lt\infty$ で、Cauchy–Schwarz から

$$\sum_\alpha|c_\alpha(f)||t_\alpha|\le C\sum_\alpha(2|\alpha|+n)^{m}|c_\alpha(f)|\le C'\|f\|_{H,m+n}$$

です。これは 1 により $\|f\|_{(N)}$ で抑えられるので連続です。$T$ が連続なとき $T(f)=\sum c_\alpha(f)T(h_\alpha)$ となるのは、Hermite 展開が $\mathcal{S}$ で収束する（定理 5.2 の 3）からです。

∎

試験関数・関数・超関数の包含関係。𝒮 は Fourier 変換で閉じた小さな空間で、その双対 𝒮′ は L² を含む大きな空間になる。Fourier 変換は 3 つの階層すべてで全単射である。

6. 緩増加超関数

定義 6.1（緩増加超関数）↗

$\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ 上の連続線形汎関数を緩増加超関数といい、その全体を $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ と書く。$T\in\mathcal{S}'$ の $f$ での値を $T(f)$ と書く。$T_k\to T$（$\mathcal{S}'$ で）とは、すべての $f\in\mathcal{S}$ で $T_k(f)\to T(f)$ となることをいう（弱 * 収束）。

補題 3.4 により、$T\in\mathcal{S}'$ であることは、ある $N,C$ で $|T(f)|\le C\|f\|_{(N)}$ となることと同値です。この $N$ が「$T$ がどれだけ特異か」の目安になります。

例 6.2（緩増加超関数の例）

1. 関数. 可測関数 $u$ がある $k$ で $\langle x\rangle^{-k}u\in L^1$ を満たすとき、$T_u(f)=\int uf\,dx$ は $|T_u(f)|\le\|\langle x\rangle^{-k}u\|_1\sup|\langle x\rangle^kf|$ を満たすので $\mathcal{S}'$ に入ります。$L^p$（$1\le p\le\infty$）の元や多項式はこの形です。補題 2.2 の 3 により $T_u=0$ なら $u=0$ a.e. なので、$u$ と $T_u$ を同一視できます。
2. δ 関数. $\delta_a(f)=f(a)$ は $|\delta_a(f)|\le\|f\|_{(0)}$ です。$\delta=\delta_0$ と書きます。
3. 主値. $n=1$ で $\mathrm{p.v.}\frac1x(f)=\lim_{\varepsilon\downarrow0}\int_{|x|\gt\varepsilon}\frac{f(x)}{x}dx$ とおきます。$\int_{\varepsilon\lt|x|\le1}\frac{dx}{x}=0$ なので

$$\mathrm{p.v.}\frac1x(f)=\int_{0\lt|x|\le1}\frac{f(x)-f(0)}{x}dx+\int_{|x|\gt1}\frac{f(x)}{x}dx$$

で、平均値の定理から第 1 項は $2\sup|f'|$ 以下、第 2 項は $\int_{|x|\gt1}x^{-2}dx\cdot\sup|xf|=2\sup|xf|$ 以下です。したがって極限は存在し、$\mathcal{S}'$ に入ります。$1/x$ は原点の近くで可積分でないので 1 の形ではありません。 4. 非例. $e^{x}$（$n=1$）は $T_{e^x}$ として $\mathcal{S}'$ に入りません。実際 $f_k(x)=\rho(x-k)$（$\rho$ は 補題 2.1 の軟化子）は $\|f_k\|_{(N)}\le C_N(k+1)^N$ を満たしますが、$\int e^xf_k\ge e^{k-1}$ なので、どの $N,C$ についても $|T(f_k)|\le C\|f_k\|_{(N)}$ が成り立ちません。

定義 6.3（超関数の演算）↗

$T\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$、$\alpha\in\mathbb{N}_0^n$、$g\in\mathcal{O}_M$、$a\in\mathbb{R}^n$ に対し、

$$(\partial^\alpha T)(f)=(-1)^{|\alpha|}T(\partial^\alpha f),\quad(gT)(f)=T(gf),\quad\hat T(f)=T(\hat f),\quad\check T(f)=T(\check f),\quad(\tau_aT)(f)=T(f(\cdot+a))$$

と定める。

命題 3.5 と 定理 4.2 の 1 により、右辺はいずれも $f$ について連続なので、これらは $\mathcal{S}'$ の元です。定義は関数の場合と整合します。$u\in\mathcal{S}$ なら部分積分で $\int\partial^\alpha u\,f=(-1)^{|\alpha|}\int u\,\partial^\alpha f$、乗法公式（定理 4.2 の 3）で $\int\hat uf=\int u\hat f$ なので、$\partial^\alpha T_u=T_{\partial^\alpha u}$、$\widehat{T_u}=T_{\hat u}$ です。乗法公式は $u\in L^1$ でも成り立つので $u\in L^1$ でも $\widehat{T_u}=T_{\hat u}$ で、$L^2$ の場合も乗法公式の連続延長（Plancherel の定理）から同じことが成り立ちます。この意味で、超関数の Fourier 変換は $L^1$・$L^2$ 上の Fourier 変換の拡張です。

定理 6.4（𝒮′ 上の Fourier 変換）✓

$\mathcal{F}:\mathcal{S}'\to\mathcal{S}'$ は線形全単射で、逆写像は $T\mapsto\check T$ である。$\mathcal{F}$ と $\mathcal{F}^{-1}$ は弱 * 収束を保つ。さらに

$$\widehat{\partial^\alpha T}=(i\xi)^\alpha\hat T,\qquad\widehat{x^\alpha T}=(i\partial)^\alpha\hat T,\qquad\widehat{\tau_aT}=e^{-ia\cdot\xi}\hat T .$$

ここで $\tau_a$ は関数の平行移動 $u\mapsto u(\cdot-a)$ の拡張である（$\int u(x-a)f(x)\,dx=\int u(y)f(y+a)\,dy$ による）。

証明（定理 6.4）

$\check{\hat T}(f)=\hat T(\check f)=T(\hat{\check f})=T(f)$（定理 4.2 の 2）で、逆向きも同様です。弱 * 収束の保存は定義から明らかです: $T_k(\hat f)\to T(\hat f)$。微分の公式: 補題 4.1 を使うと $\widehat{\partial^\alpha T}(f)=(-1)^{|\alpha|}T(\partial^\alpha\hat f)=(-1)^{|\alpha|}T(\mathcal{F}((-ix)^\alpha f))=\hat T((ix)^\alpha f)$ で、これは $(i\xi)^\alpha\hat T$ を $f$ に作用させたものです。掛け算の公式: 補題 4.1 の第 2 式から $x^\alpha\hat f=(-i)^{|\alpha|}\mathcal{F}(\partial^\alpha f)$ なので $\widehat{x^\alpha T}(f)=T(x^\alpha\hat f)=(-i)^{|\alpha|}\hat T(\partial^\alpha f)=i^{|\alpha|}(\partial^\alpha\hat T)(f)$ です。平行移動: 定義から $\hat f(x+a)=\int e^{-i(x+a)\cdot\xi}f(\xi)\,d\xi=\mathcal{F}(e^{-ia\cdot\xi}f)(x)$ なので、$\widehat{\tau_aT}(f)=T(\hat f(\cdot+a))=\hat T(e^{-ia\cdot\xi}f)$ です。

∎

例 6.5（δ と定数の Fourier 変換）

$\hat\delta(f)=\hat f(0)=\int f$ なので $\hat\delta=1$ です。逆に $\hat1(f)=\int\hat f=(2\pi)^{n}\mathcal{F}^{-1}\hat f(0)=(2\pi)^{n}f(0)$ なので $\hat1=(2\pi)^{n}\delta$ です。定理 6.4 と合わせると $\widehat{\partial^\alpha\delta}=(i\xi)^\alpha$、$\widehat{x^\alpha}=(2\pi)^{n}(i\partial)^\alpha\delta$、平面波 $e^{ik\cdot x}$ の Fourier 変換は $(2\pi)^{n}\delta_k$ です。「平面波は運動量の固有状態で、その運動量分布は $\delta$」という物理の言い方の数学的内容がこれです。

定理 6.6（𝒮′ の弱 * 列完備性）✓

$T_k\in\mathcal{S}'$ について、すべての $f\in\mathcal{S}$ で極限 $T(f)=\lim_kT_k(f)$ が存在するならば、$T\in\mathcal{S}'$ である。さらに $N,C$ が存在して、すべての $k$ と $f$ で $|T_k(f)|\le C\|f\|_{(N)}$ が成り立つ。

証明（定理 6.6）

$T$ の線形性は明らかなので、一様な評価を示せば十分です（極限で $|T(f)|\le C\|f\|_{(N)}$ となる）。$F_M=\{f\in\mathcal{S}\mid\sup_k|T_k(f)|\le M\}$ は連続関数の族による閉集合の共通部分なので閉で、収束列は有界なので $\bigcup_{M\in\mathbb{N}}F_M=\mathcal{S}$ です。$\mathcal{S}$ は完備距離空間（命題 3.3）なので、Baire のカテゴリー定理（系 5.2［距離空間］）からある $F_M$ は内点 $f_0$ をもちます。$d(g,0)\lt r$ なら $f_0+g\in F_M$（$d$ は平行移動不変）なので $|T_k(g)|\le|T_k(f_0+g)|+|T_k(f_0)|\le2M$ です。あとは 補題 3.4 の必要性の証明と同じく、$2^{-N}\lt r/2$ なる $N$ を取ってスケーリングすれば $|T_k(g)|\le(10M/r)\|g\|_{(N)}$ を得ます。

∎

この定理により、「$\mathcal{S}'$ で各点収束する列の極限は自動的に超関数」です。例えば $\phi\in L^1$、$\int\phi=1$、$\phi_\varepsilon(x)=\varepsilon^{-n}\phi(x/\varepsilon)$ なら、優収束定理から $T_{\phi_\varepsilon}(f)=\int\phi(z)f(\varepsilon z)dz\to f(0)$、すなわち $\phi_\varepsilon\to\delta$ です。また $n=1$ で $e^{ikx}\to0$（$k\to\infty$）は、$\int e^{ikx}f\,dx=\hat f(-k)$ と $\hat f\in\mathcal{S}$ から出ます（$\mathcal{S}$ 上の Riemann–Lebesgue の補題）。

7. 超関数の台と一点に台をもつ超関数

定義 7.1（超関数の台）↗

$T\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ が開集合 $U$ 上で消えるとは、すべての $\varphi\in C_c^\infty(U)$ で $T(\varphi)=0$ となることをいう。$T$ が消える開集合全体の和集合の補集合を $T$ の台 $\operatorname{supp}T$ という。

命題 7.2（台の基本性質）✓

1. $T$ は $\mathbb{R}^n\setminus\operatorname{supp}T$ 上で消える。
2. $f\in\mathcal{S}$ が $\operatorname{supp}T$ のある近傍で $0$ ならば $T(f)=0$。
3. $u$ が連続関数なら $\operatorname{supp}T_u$ は通常の台 $\overline{\{u\ne0\}}$ に一致する。

証明（命題 7.2）

1: $T$ が消える開集合の族を $\{U_i\}$、$\varphi\in C_c^\infty(\bigcup U_i)$ とします。$\operatorname{supp}\varphi$ はコンパクトなので有限個の $U_1,\ldots,U_m$ で覆われ、補題 2.3 の 2 で $\varphi_j\in C_c^\infty(U_j)$、$\operatorname{supp}\varphi$ 上 $\sum\varphi_j=1$ を取ります。$\varphi=\sum_j\varphi\varphi_j$ かつ $\varphi\varphi_j\in C_c^\infty(U_j)$ なので $T(\varphi)=0$ です。

2: $f$ は開集合 $V\supset\operatorname{supp}T$ 上で $0$ とします。命題 3.5 の 4 の $\chi_Rf$ は $\mathcal{S}$ で $f$ に収束し、その台は $\overline{B(0,R')}\cap\operatorname{supp}f$（コンパクト）に含まれます。$\operatorname{supp}f\subset\mathbb{R}^n\setminus V$ なので、$\chi_Rf\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n\setminus\operatorname{supp}T)$ で、1 から $T(\chi_Rf)=0$、極限で $T(f)=0$ です。

3: $u$ が $U$ 上で $0$ なら明らかに $T_u$ は $U$ 上で消えます。逆に $T_u$ が $U$ 上で消えれば、補題 2.2 の 3 から $U$ 上 a.e. で $u=0$、連続性から $U$ 上で $u=0$ です。

∎

次の定理の証明の方針は、「$f$ の原点での Taylor 展開の部分を引き去ると、残りは原点の近くで十分小さい」ことを使うことです。第 1 段では、原点を中心とする半径 $\varepsilon$ の範囲に $f$ を切り詰めると、その大きさが $\varepsilon$ の冪で小さくなることを評価します。第 2 段で、Taylor 多項式の分だけが $T$ に効くことを読み取ります。

定理 7.3（一点に台をもつ超関数）✓

$T\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ が $\operatorname{supp}T\subset\{0\}$ を満たすならば、$N\in\mathbb{N}_0$ と定数 $c_\alpha$ が存在して

$$T=\sum_{|\alpha|\le N}c_\alpha\,\partial^\alpha\delta .$$

証明（定理 7.3）

$|T(f)|\le C\|f\|_{(N)}$ となる $N,C$ を取ります。

第 1 段: $\partial^\beta f(0)=0$（$|\beta|\le N$）なら $T(f)=0$。 $\chi\in C_c^\infty$ を $|x|\le1$ で $1$、$|x|\ge2$ で $0$ に取り（補題 2.3 の 1）、$\chi_\varepsilon(x)=\chi(x/\varepsilon)$ とします。$(1-\chi_\varepsilon)f$ は $\{0\}$ の近傍 $B(0,\varepsilon)$ で $0$ なので、命題 7.2 の 2 から $T(f)=T(\chi_\varepsilon f)$ です。$\varepsilon\le1$ のとき $\|\chi_\varepsilon f\|_{(N)}\to0$ を示します。$|\gamma|\le N$ について、$\partial^\gamma f$ の $0$ での $N-|\gamma|$ 階までの導関数はすべて $0$ なので、線分 $t\mapsto\partial^\gamma f(tx)$ に剰余項つきの Taylor の定理を使うと、$|x|\le2$ で $|\partial^\gamma f(x)|\le C|x|^{N+1-|\gamma|}$ です。Leibniz 則で

$$|x^\alpha\partial^\beta(\chi_\varepsilon f)(x)|\le\sum_{\gamma\le\beta}\binom{\beta}{\gamma}\varepsilon^{-|\gamma|}\,|(\partial^\gamma\chi)(x/\varepsilon)|\,|x|^{|\alpha|}\,|\partial^{\beta-\gamma}f(x)|$$

で、右辺は $|x|\le2\varepsilon$ でしか $0$ でなく、そこで各項は $C\varepsilon^{-|\gamma|}\varepsilon^{N+1-|\beta|+|\gamma|}=C\varepsilon^{N+1-|\beta|}\le C\varepsilon$ 以下です（$|\beta|\le N$）。よって $|T(f)|\le C\|\chi_\varepsilon f\|_{(N)}\le C'\varepsilon\to0$ です。

第 2 段. 一般の $f\in\mathcal{S}$ に対し、$r=f-\sum_{|\alpha|\le N}\frac{\partial^\alpha f(0)}{\alpha!}x^\alpha\chi$ とおくと、$\chi$ は $0$ の近くで $1$ なので $\partial^\beta r(0)=0$（$|\beta|\le N$）です。第 1 段から $T(r)=0$ で、

$$T(f)=\sum_{|\alpha|\le N}\frac{T(x^\alpha\chi)}{\alpha!}\partial^\alpha f(0)=\sum_{|\alpha|\le N}\frac{(-1)^{|\alpha|}T(x^\alpha\chi)}{\alpha!}(\partial^\alpha\delta)(f)$$

となります。

∎

台の条件だけでなく「$N$ 階の連続性」が効いていることに注意してください。第 1 段で、$N$ より高い階数の導関数を $\delta$ が「見る」ことはできません。$\mathcal{S}'$ ではなく、連続性を課さない線形汎関数まで許すと、この結論は成り立ちません。

例 7.4（Liouville 型の応用）

$T\in\mathcal{S}'$ が $\Delta T=0$ を満たすとします。Fourier 変換すると $|\xi|^2\hat T=0$ です。$\varphi\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n\setminus\{0\})$ なら $\varphi/|\xi|^2\in C_c^\infty$ なので $\hat T(\varphi)=(|\xi|^2\hat T)(\varphi/|\xi|^2)=0$、すなわち $\operatorname{supp}\hat T\subset\{0\}$ です。定理 7.3 から $\hat T$ は $\delta$ の導関数の有限和で、例 6.5 から $T$ は多項式です。とくに有界な調和関数は定数です（多項式で有界なものは定数）。

8. Schwartz の核定理

$f\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^m)$、$g\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ に対し $(f\otimes g)(x,y)=f(x)g(y)\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^{m+n})$ とおきます。$K\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^{m+n})$ があれば $B(f,g)=K(f\otimes g)$ は双線形形式で、各変数について連続です。核定理はこの逆を主張します。作用素の言葉では、「$\mathcal{S}$ から $\mathcal{S}'$ への連続線形写像はすべて超関数の積分核をもつ」ということで、行列が成分で決まることの無限次元版です。

定理 8.1（Schwartz の核定理）✓

$B:\mathcal{S}(\mathbb{R}^m)\times\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)\to\mathbb{C}$ が双線形で、各変数について（他方を固定して）連続であるとする。このとき $K\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^{m+n})$ がただ一つ存在して、すべての $f,g$ について $B(f,g)=K(f\otimes g)$ が成り立つ。

証明（定理 8.1）

第 1 段: 同時連続性. 各 $f$ について $g\mapsto B(f,g)$ は連続なので、ある $(C,N)\in\mathbb{N}^2$ で $|B(f,g)|\le C\|g\|_{(N)}$（全 $g$）となります。この条件を満たす $f$ の集合を $E_{C,N}$ とすると、$E_{C,N}=\bigcap_g\{f\mid|B(f,g)|\le C\|g\|_{(N)}\}$ は（$f$ についての連続性から）閉集合で、$\bigcup_{C,N}E_{C,N}=\mathcal{S}(\mathbb{R}^m)$ です。Baire のカテゴリー定理からある $E_{C,N}$ が内点をもち、定理 6.6 の証明と同じ議論で、$|B(f,g)|\le C'\|f\|_{(N')}\|g\|_{(N)}$ となる $C',N'$ が得られます。定理 5.2 の 2 で半ノルムを取り換えると、ある $M$ で

$$|B(f,g)|\le C\|f\|_{H,M}\|g\|_{H,M} .$$

第 2 段: 核の構成. $\mathbb{R}^{m+n}$ の Hermite 関数は $h_{(\alpha,\beta)}=h_\alpha\otimes h_\beta$（$\alpha\in\mathbb{N}_0^m$、$\beta\in\mathbb{N}_0^n$）です。$t_{\alpha\beta}=B(h_\alpha,h_\beta)$ とおくと、第 1 段から $|t_{\alpha\beta}|\le C(2|\alpha|+m)^M(2|\beta|+n)^M\le C(2|\alpha|+2|\beta|+m+n)^{2M}$ なので、系 5.3 から

$$K(F)=\sum_{\alpha,\beta}c_{(\alpha,\beta)}(F)\,t_{\alpha\beta}\qquad(F\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^{m+n}))$$

は $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^{m+n})$ の元で、級数は絶対収束します。

第 3 段: $K(f\otimes g)=B(f,g)$. Fubini の定理から $c_{(\alpha,\beta)}(f\otimes g)=c_\alpha(f)c_\beta(g)$ なので、$K(f\otimes g)=\sum_{\alpha,\beta}c_\alpha(f)c_\beta(g)t_{\alpha\beta}$（絶対収束）です。一方、有限部分和 $f_K=\sum_{|\alpha|\le K}c_\alpha(f)h_\alpha$、$g_K$ について双線形性から $B(f_K,g_K)=\sum_{|\alpha|,|\beta|\le K}c_\alpha(f)c_\beta(g)t_{\alpha\beta}$ です。$K\to\infty$ で左辺は第 1 段の評価と 定理 5.2 の 3 から $B(f,g)$ に、右辺は絶対収束級数の和に収束します。

第 4 段: 一意性. $K(h_\alpha\otimes h_\beta)$ は $B$ で決まり、$\{h_\alpha\otimes h_\beta\}$ の一次結合は 定理 5.2 の 3 により $\mathcal{S}(\mathbb{R}^{m+n})$ で稠密なので、連続な $K$ は一意です。

∎

注意 8.2（核定理と核型性）

証明の要は、Hermite 係数の空間 $s$ の上で「多項式の重みを少し増やすと級数が絶対収束する」ことでした（系 5.3 の $\sum(2|\alpha|+n)^{-2n}\lt\infty$）。$L^2$ のような Hilbert 空間ではこれが成り立たず、核定理も成り立ちません（恒等作用素 $L^2\to L^2$ は $L^2(\mathbb{R}^{2n})$ の核をもたない）。この性質を抽象化したものが次章の核型空間で、Minlos の定理もまったく同じ仕組みで証明されます。場の量子論では、Wightman 関数 $\langle\Omega,\phi(f_1)\cdots\phi(f_k)\Omega\rangle$ は各 $f_j$ について連続な多重線形形式で、核定理（の多変数版。第 1 段から第 4 段は帰納的に繰り返せる）により $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^{4k})$ の元になります（Wightman の公理系）。

9. 演習

演習 9.1標準

$n=1$ とする。(a) $T\in\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ が $T'=0$ を満たせば $T$ は定数関数であることを示せ。(b) $T=\mathrm{p.v.}\frac1x$ について $xT=1$ を示し、$\hat T=-\pi i\,\mathrm{sgn}\,\xi$ を導け。

解答

(a) $\phi_0\in\mathcal{S}$ を $\int\phi_0=1$ と取ります。$f\in\mathcal{S}$ に対し $g=f-(\int f)\phi_0$ は $\int g=0$ なので、$G(x)=\int_{-\infty}^xg$ は $\mathcal{S}$ に入ります（$x\to+\infty$ では $G(x)=-\int_x^\infty g$ と書けば急減少がわかる）。$T(g)=T(G')=-T'(G)=0$ なので $T(f)=c\int f$、$c=T(\phi_0)$ です。

(b) $(xT)(f)=T(xf)=\lim_{\varepsilon\downarrow0}\int_{|x|\gt\varepsilon}f=\int f$ なので $xT=1$ です。定理 6.4 と 例 6.5 から $i\frac{d}{d\xi}\hat T=\hat1=2\pi\,\delta$ です。$S=\hat T+2\pi i\,\theta$（$\theta$ は Heaviside 関数で $\theta'=\delta$）とおくと $S'=0$ なので (a) から $\hat T=-2\pi i\,\theta+c$ です。$T$ は奇（$T(f(-\cdot))=-T(f)$）で、$\mathcal{F}$ は反転 $R$ と可換なので $\hat T$ も奇です。$-2\pi i\theta+c$ が奇になるのは $c=\pi i$ のときに限り、$\hat T=-2\pi i(\theta-\tfrac12)=-\pi i\,\mathrm{sgn}\,\xi$ です。

演習 9.2易

$T\in\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ が $xT=0$ を満たすならば $T=c\,\delta$ であることを示せ。

解答

$\varphi\in C_c^\infty(\mathbb{R}\setminus\{0\})$ なら $\varphi/x\in C_c^\infty$ なので $T(\varphi)=(xT)(\varphi/x)=0$、すなわち $\operatorname{supp}T\subset\{0\}$ です。定理 7.3 から $T=\sum_{k\le N}c_k\delta^{(k)}$ です。$(x\delta^{(k)})(f)=\delta^{(k)}(xf)=(-1)^k(xf)^{(k)}(0)=(-1)^kkf^{(k-1)}(0)$ なので $x\delta^{(k)}=-k\delta^{(k-1)}$ です。$0=xT=-\sum_{k\ge1}kc_k\delta^{(k-1)}$ で、$\delta^{(j)}$ は一次独立（$x^j\chi$ に作用させれば分かる）なので $c_k=0$（$k\ge1$）です。

演習 9.3標準

$n=1$ とし、$\theta=\mathbf{1}_{[0,\infty)}$ を Heaviside 関数とする。(a) $T\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ について $\hat{\hat T}=(2\pi)^nRT$（$(RT)(f)=T(f(-\cdot))$）を示せ。(b) 前問の結果を使って $\hat\theta=\pi\delta-i\,\mathrm{p.v.}\frac1\xi$ を導け。

解答

(a) $f\in\mathcal{S}$ について $\mathcal{F}^{-1}=(2\pi)^{-n}\mathcal{F}R$ から $\mathcal{F}=(2\pi)^n\mathcal{F}^{-1}R$、よって $\mathcal{F}\mathcal{F}f=(2\pi)^nRf$ です（定理 4.2 の 2）。したがって $\hat{\hat T}(f)=T(\mathcal{F}\mathcal{F}f)=(2\pi)^nT(Rf)$。

(b) $\mathrm{p.v.}\frac1x$ は奇なので $R(\mathrm{p.v.}\frac1x)=-\mathrm{p.v.}\frac1x$ です。前問 $\mathcal{F}(\mathrm{p.v.}\frac1x)=-\pi i\,\mathrm{sgn}$ に $\mathcal{F}$ を作用させると、(a) から $-\pi i\,\widehat{\mathrm{sgn}}=2\pi R(\mathrm{p.v.}\frac1x)=-2\pi\,\mathrm{p.v.}\frac1\xi$、すなわち $\widehat{\mathrm{sgn}}=-2i\,\mathrm{p.v.}\frac1\xi$ です。$\theta=\frac12(1+\mathrm{sgn})$（a.e.）と $\hat1=2\pi\delta$ から $\hat\theta=\pi\delta-i\,\mathrm{p.v.}\frac1\xi$ です。$\delta$ の項は $\theta$ の「平均値 $1/2$」を、主値の項は跳びを表しています。

演習 9.4標準

$n=1$ とする。$u(x)=e^{x}\cos(e^{x})$ は $\langle x\rangle^{-k}u\notin L^1$（どの $k$ でも）だが、$T(f)=\int uf\,dx$ は $\mathcal{S}'$ の元を定めることを示せ。

解答

$|u(x)|$ は $x\to\infty$ で可積分でない（$e^x|\cos e^x|$ を $e^x$ の周期ごとに積分すると、各区間で $\int|\cos t|\,dt$ が一定）ので、どんな多項式の重みでも可積分になりません。一方 $u=(\sin e^{x})'$ で $v=\sin e^{x}$ は有界なので、部分積分で $\int uf=-\int vf'$ です。右辺は $\|v\|_\infty\|f'\|_1\le C\|f\|_{(3)}$ で抑えられるので $T=T_v'\in\mathcal{S}'$ です。「各点で大きくても激しく振動していれば超関数としては穏やか」という例です。

参考文献

• M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I: Functional Analysis, revised ed., Academic Press, 1980 — 第 V 章 §3（𝒮 と 𝒮′、N 表示、核定理）。
• L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, 2nd ed., Springer, 1990 — 第 2 章（台と一点に台をもつ超関数）、第 5 章（核定理）、第 7 章（𝒮′ 上の Fourier 変換）。
• G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed., Wiley, 1999 — 第 8 章・第 9 章。
• L. Schwartz, Théorie des distributions, nouvelle éd., Hermann, 1966.
• F. Trèves, Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Academic Press, 1967 — 第 III 部（核定理と核型空間）。