数学 › フーリエ解析と超関数 › Schwartz 空間と緩増加超関数

𝒮 上の基本操作

命題 3.5（「Schwartz 空間と緩増加超関数」§3） ・ ✓公理まで証明済み

  1. f↦xαff\mapsto x^\alpha f と f↦∂βff\mapsto\partial^\beta f は S\mathcal{S} から S\mathcal{S} への連続線形写像である。
  2. g∈C∞(Rn)g\in C^\infty(\mathbb{R}^n) のすべての導関数が多項式で抑えられる（∣∂βg(x)∣≤Cβ⟨x⟩mβ|\partial^\beta g(x)|\le C_\beta\langle x\rangle^{m_\beta}）とき、f↦gff\mapsto gf は S\mathcal{S} 上で連続である。このような gg の全体を OM\mathcal{O}_M と書く。
  3. 1≤p≤∞1\le p\le\infty について S⊂Lp\mathcal{S}\subset L^p であり、∥f∥p≤Cn,p∥f∥(n+2)\|f\|_p\le C_{n,p}\|f\|_{(n+2)}。
  4. Cc∞(Rn)C_c^\infty(\mathbb{R}^n) は S\mathcal{S} で稠密である。より詳しく、χ∈Cc∞\chi\in C_c^\infty が ∣x∣≤1|x|\le1 で χ=1\chi=1 のとき、χR(x)=χ(x/R)\chi_R(x)=\chi(x/R) について χRf→f\chi_Rf\to f（R→∞R\to\infty、S\mathcal{S} の位相）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 29 件、定義なども含めて 33 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

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