数学 › 解析学（実解析） › ルベーグ積分の定義と収束定理

可測関数の閉包性

命題 3.4（「ルベーグ積分の定義と収束定理」§3）・ ✓公理まで証明済み

$(X,\mathcal{M})$ を可測空間とする。

$f_1, f_2, \ldots : X \to \overline{\mathbb{R}}$ が可測ならば、 $\sup_n f_n$ 、 $\inf_n f_n$ 、 $\limsup_n f_n$ 、 $\liminf_n f_n$ はいずれも可測である。とくに各点極限 $\lim_n f_n$ が存在すればそれも可測である。
$f$ が可測ならば $f^{+} = \max(f, 0)$ 、 $f^{-} = \max(-f, 0)$ 、 $|f| = f^{+} + f^{-}$ 、および $c \in \mathbb{R}$ に対する $cf$ は可測である。
$f, g : X \to \mathbb{R}$ （実数値、 $\pm\infty$ を取らない）が可測ならば $f + g$ 、 $fg$ 、 $\max(f,g)$ 、 $\min(f,g)$ は可測である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 7 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列
- アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列
  - 完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
  - 数列の収束・有界性・単調性定義 2.2・実数の完備性とコーシー列
- 整数部分の存在✓補題 5.1・実数の完備性とコーシー列
  - アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列（上で展開済み）
  - 整列性公理 3.1・証明の技術

これを使っている定理証明で参照している 7 件

単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
リーマン積分はルベーグ積分の特別な場合✓定理 8.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
有界変動関数の微分可能性✓系 6.8・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理

関連するノック 2 問