積分記号下の微分

系 7.4（「ルベーグ積分の定義と収束定理」§7）・ ✓公理まで証明済み

$(X,\mathcal{M},\mu)$ を測度空間、 $I \subset \mathbb{R}$ を開区間、 $f : X \times I \to \mathbb{R}$ が次を満たすとする。

各 $t \in I$ について $x \mapsto f(x,t)$ は可積分。
各 $x\in X$ について $t\mapsto f(x,t)$ は $I$ 上微分可能。その導関数を $\partial_t f(x,t)$ と書く。
ある $g\in L^1(\mu)$ が存在して、すべての $x \in X$ 、 $t\in I$ で $|\partial_t f(x,t)| \le g(x)$ 。

このとき $F(t) = \int_X f(x,t)\,d\mu(x)$ は $I$ 上微分可能で、

F'(t) = \int_X \partial_t f(x,t)\,d\mu(x) \qquad (t \in I)

が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 26 件、定義なども含めて 34 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

$L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列
  - アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列
    完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
    数列の収束・有界性・単調性定義 2.2・実数の完備性とコーシー列
  - 整数部分の存在✓補題 5.1・実数の完備性とコーシー列
    アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列（上で展開済み）
    整列性公理 3.1・証明の技術
ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
- ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理
  - 最大値・最小値の定理✓定理 2.3・平均値の定理とテイラーの定理
    実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
    最大値の原理（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・連続関数と一様連続性この先をたどる →
    極限の四則✓定理 4.2・極限と連続性この先をたどる →
  - 極大・極小定義 2.1・平均値の定理とテイラーの定理
  - フェルマーの補題✓補題 2.5・平均値の定理とテイラーの定理
    極大・極小定義 2.1・平均値の定理とテイラーの定理
ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 28 件

調和振動子の M 分割の分配関数とエネルギー✓命題 4.2・経路積分 Monte Carlo
2 つの推定量の期待値と分散✓命題 6.2・経路積分 Monte Carlo
1 変数の ∂̄ 方程式の解と径数への依存✓定理 6.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
0 階の項をもつ Dirac 型作用素✓補題 3.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解
輸送方程式の解✓命題 3.2・熱核の漸近展開
近似核の作用の評価✓補題 4.1・熱核の漸近展開
Volterra 級数✓補題 4.2・熱核の漸近展開
Friedrichs の補題✓補題 8.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
Dirac 型作用素の楕円型理論✓定理 8.12・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
L¹ での基本性質✓命題 2.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換
上半平面の Poisson 核✓命題 2.2・Paley–Wiener の定理・Hardy 空間・Hilbert 変換
Laplace 変換の正則性✓命題 2.1・Laplace・Mellin 変換と Tauber 型定理
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微分と掛け算の交換✓補題 4.1・Schwartz 空間と緩増加超関数
エネルギー等式✓命題 3.3・Navier–Stokes 方程式 I
自然統計量の平均と分散✓定理 4.5・統計モデルと十分統計量
Cauchy 問題の解✓定理 2.3・熱方程式
Poisson 方程式の解✓定理 6.2・ラプラス方程式と調和関数
特性関数の基本性質✓命題 2.2・特性関数と Gauss ベクトル
$K_ν$ の基本性質✓命題 3.7・Bessel・Airy・Whittaker 関数
Airy 関数の基本性質✓命題 4.2・Bessel・Airy・Whittaker 関数
導関数まで込めた多項式近似✓補題 6.2・Abdesselam–Rivasseau『Trees, forests and jungles』(1994) 部 1
伝播関数の性質と尺度の和（原論文の (11)(12)）✓補題 4.2・Abdesselam–Rivasseau (1997) 部 1
有限次元の Gauss 期待値の共分散についての微分✓補題 4.8・Abdesselam–Rivasseau (1997) 部 1
伝播関数の減衰（原論文 Lemma 15）✓補題 8.3・Abdesselam–Rivasseau (1997) 部 2
ずらした測度の単調性（Ginibre、原論文 (44)）✓補題 3.3・Fröhlich『On the triviality of λφ⁴_d theories』(1982)
滑らかな円筒関数による近似✓補題 8.5・Gauss 解析の道具
熱半群と後ろ向き熱方程式✓補題 8.7・Gauss 解析の道具

積分記号下の微分

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 28 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 28 件