数学 › 特殊関数と漸近解析 › Bessel・Airy・Whittaker 関数

$K_ν$ の基本性質

命題 3.7（「Bessel・Airy・Whittaker 関数」§3）・ ✓公理まで証明済み

$K_\nu$ は変形 Bessel 方程式 $x^2y''+xy'-(x^2+\nu^2)y=0$ をみたす。
$\nu>0$ のとき $x\to+0$ で $K_\nu(x)\sim\frac12\Gamma(\nu)\bigl(\frac2x\bigr)^\nu$ 。
$x\to\infty$ で $K_\nu(x)\sim\sqrt{\dfrac{\pi}{2x}}\,e^{-x}$ 、 $K_\nu'(x)\sim-\sqrt{\dfrac{\pi}{2x}}\,e^{-x}$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 48 件、定義なども含めて 62 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
- $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列
    アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
    整数部分の存在✓補題 5.1・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
- ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
  - ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理
    最大値・最小値の定理✓定理 2.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    極大・極小定義 2.1・平均値の定理とテイラーの定理
    フェルマーの補題✓補題 2.5・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
- 比較判定法と絶対収束✓定理 2.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
  - 単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
  - 広義積分のコーシーの判定法✓定理 2.2・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
    実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
- 置換積分✓定理 6.1・積分の基本定理と定積分
  - 連続関数は原始関数をもつ✓系 5.3・積分の基本定理と定積分
    連続関数の可積分性と区分求積法✓定理 3.5・積分の基本定理と定積分（上で展開済み）
    向き付き積分の加法性✓命題 4.2・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    微分積分学の基本定理（第一部）✓定理 5.2・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
  - 連鎖律✓定理 7.2・導関数の定義と基本的な微分法
    微分可能ならば連続✓定理 3.4・導関数の定義と基本的な微分法
  - 連続関数の可積分性と区分求積法✓定理 3.5・積分の基本定理と定積分
    ハイネ・カントールの定理✓定理 7.1・連続関数と一様連続性この先をたどる →
    分割とダルブー和定義 2.1・積分の基本定理と定積分
    最大値・最小値の定理✓定理 2.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    リーマンの可積分条件✓定理 3.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分
  - 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理（上で展開済み）
    タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分

これを使っている定理証明で参照している 1 件

Airy 関数の基本性質✓命題 4.2・Bessel・Airy・Whittaker 関数

KνK_νKν​ の基本性質

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

関連するノック 2 問

$K_ν$ の基本性質

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件