置換積分

定理 6.1（「積分の基本定理と定積分」§6）・ ✓公理まで証明済み

$I$ を区間、 $f : I \to \mathbb{R}$ を連続関数とする。 $\varphi : [\alpha, \beta] \to I$ が $C^1$ 級（ $[\alpha,\beta]$ 上微分可能で $\varphi'$ が $[\alpha,\beta]$ 上連続）ならば

\int_\alpha^\beta f\bigl( \varphi(t) \bigr) \varphi'(t)\,dt = \int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(x)\,dx .

ここで $\varphi$ が単調であることも単射であることも仮定していない。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 23 件、定義なども含めて 31 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

連続関数は原始関数をもつ✓系 5.3・積分の基本定理と定積分
- 連続関数の可積分性と区分求積法✓定理 3.5・積分の基本定理と定積分（上で展開済み）
- 向き付き積分の加法性✓命題 4.2・積分の基本定理と定積分
  - 定積分の基本性質✓命題 4.1・積分の基本定理と定積分
    リーマンの可積分条件✓定理 3.4・積分の基本定理と定積分（上で展開済み）
    細分による単調性✓補題 2.3・積分の基本定理と定積分
- 微分積分学の基本定理（第一部）✓定理 5.2・積分の基本定理と定積分
  - 向き付き積分の加法性✓命題 4.2・積分の基本定理と定積分（上で展開済み）
  - 定積分の基本性質✓命題 4.1・積分の基本定理と定積分（上で展開済み）
連鎖律✓定理 7.2・導関数の定義と基本的な微分法
- 微分可能ならば連続✓定理 3.4・導関数の定義と基本的な微分法
連続関数の可積分性と区分求積法✓定理 3.5・積分の基本定理と定積分
- ハイネ・カントールの定理✓定理 7.1・連続関数と一様連続性
  - 一様連続性の基本性質✓命題 6.2・連続関数と一様連続性
    一様連続性定義 6.1・連続関数と一様連続性
    連続性定義 3.1・連続関数と一様連続性
  - ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓補題 2.2・連続関数と一様連続性
    区間縮小法✓補題 2.1・連続関数と一様連続性
  - 連続性の点列による特徴づけ✓命題 3.2・連続関数と一様連続性
    連続性定義 3.1・連続関数と一様連続性
- 分割とダルブー和定義 2.1・積分の基本定理と定積分
- 最大値・最小値の定理✓定理 2.3・平均値の定理とテイラーの定理
  - 実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
  - 最大値の原理（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・連続関数と一様連続性
    有界性定理✓定理 4.1・連続関数と一様連続性この先をたどる →
    ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓補題 2.2・連続関数と一様連続性（上で展開済み）
    連続性の点列による特徴づけ✓命題 3.2・連続関数と一様連続性（上で展開済み）
    連続性定義 3.1・連続関数と一様連続性
  - 極限の四則✓定理 4.2・極限と連続性
    関数の極限定義 3.1・極限と連続性
    収束すれば局所有界✓補題 4.1・極限と連続性この先をたどる →
- リーマンの可積分条件✓定理 3.4・積分の基本定理と定積分
  - 上積分・下積分とリーマン可積分性定義 3.1・積分の基本定理と定積分
  - 細分による単調性✓補題 2.3・積分の基本定理と定積分
- タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分
微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分
- ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
  - ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理
    最大値・最小値の定理✓定理 2.3・平均値の定理とテイラーの定理（上で展開済み）
    極大・極小定義 2.1・平均値の定理とテイラーの定理
    フェルマーの補題✓補題 2.5・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分

これを使っている定理証明で参照している 11 件

ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
線積分のパラメータ不変性✓命題 3.2・ベクトル解析と積分定理
半円の積分✓補題 2.1・積分の応用
媒介変数表示された曲線の下の面積✓定理 2.4・積分の応用
t = tan(x/2) による置換✓命題 4.1・積分法
1/6 公式✓定理 7.1・積分法
正規分布の密度の積分は 1✓命題 4.2・確率分布と統計的な推測
標準化✓命題 4.3・確率分布と統計的な推測
符号付きディリクレ積分✓系 3.3・ボールウェイン積分
複合台形則の漸近展開✓定理 2.1・数値積分 II
区間の変換と誤差✓命題 2.4・数値積分 I

置換積分

閉包の状態

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