数学 › 解析学（実解析） › 連続関数と一様連続性

一様連続性の基本性質

命題 6.2（「連続関数と一様連続性」§6）・ ✓公理まで証明済み

$I \subseteq \mathbb{R}$ 、 $f : I \to \mathbb{R}$ とする。

$f$ が $I$ 上一様連続ならば、 $f$ は $I$ 上連続である。
次の 2 条件は同値である。
- (a) $f$ は $I$ 上一様連続ではない。
- (b) ある $\varepsilon_0 > 0$ と $I$ の点列 $(x_n), (y_n)$ が存在して、 $\lim_{n\to\infty}(x_n - y_n) = 0$ かつすべての $n$ で $|f(x_n) - f(y_n)| \ge \varepsilon_0$ となる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 0 件、定義なども含めて 2 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

一様連続性定義 6.1・連続関数と一様連続性
連続性定義 3.1・連続関数と一様連続性

これを使っている定理証明で参照している 2 件

ハイネ・カントールの定理✓定理 7.1・連続関数と一様連続性
一様連続関数の連続拡張✓系 7.2・連続関数と一様連続性

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