媒介変数表示された曲線の下の面積

定理 2.4（「積分の応用」§2）・ ✓公理まで証明済み

$x,y:[\alpha,\beta]\to\mathbb R$ とし、 $x$ は $C^1$ 級で狭義単調増加、 $y$ は連続で $y\ge0$ とする。曲線 $(x(t),y(t))$ は、 $a=x(\alpha)$ 、 $b=x(\beta)$ として $[a,b]$ 上の連続関数 $Y=y\circ x^{-1}$ のグラフであり、その下の図形 $D=\{(x,v):a\le x\le b,\ 0\le v\le Y(x)\}$ の面積は

|D|=\int_\alpha^\beta y(t)\,x'(t)\,dt

である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 36 件、定義なども含めて 47 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

逆関数の微分法✓命題 8.1・導関数の定義と基本的な微分法
- 中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性
  - 実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
2 曲線の間の面積✓定理 2.2・積分の応用
- 縦線集合上の累次積分✓定理 5.6・重積分と累次積分
  - 一般の有界領域上の重積分と面積確定定義 5.1・重積分と累次積分
  - 連続関数のグラフは面積 0✓補題 5.2・重積分と累次積分
    ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分この先をたどる →
  - 面積 0 の集合の被覆による特徴づけ✓補題 5.3・重積分と累次積分
    ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分この先をたどる →
  - リーマンの可積分条件（ジョルダン版）✓命題 5.4・重積分と累次積分
    面積 0 の集合の被覆による特徴づけ✓補題 5.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
    有界閉長方形上の連続関数の一様連続性✓補題 3.1・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
    ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分この先をたどる →
  - フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分
    ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分この先をたどる →
    リーマンの可積分条件✓定理 3.4・積分の基本定理と定積分（上で展開済み）
置換積分✓定理 6.1・積分の基本定理と定積分
- 連続関数は原始関数をもつ✓系 5.3・積分の基本定理と定積分
  - 連続関数の可積分性と区分求積法✓定理 3.5・積分の基本定理と定積分（上で展開済み）
  - 向き付き積分の加法性✓命題 4.2・積分の基本定理と定積分
    定積分の基本性質✓命題 4.1・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
  - 微分積分学の基本定理（第一部）✓定理 5.2・積分の基本定理と定積分
    向き付き積分の加法性✓命題 4.2・積分の基本定理と定積分（上で展開済み）
    定積分の基本性質✓命題 4.1・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
- 連鎖律✓定理 7.2・導関数の定義と基本的な微分法
  - 微分可能ならば連続✓定理 3.4・導関数の定義と基本的な微分法
- 連続関数の可積分性と区分求積法✓定理 3.5・積分の基本定理と定積分
  - ハイネ・カントールの定理✓定理 7.1・連続関数と一様連続性
    一様連続性の基本性質✓命題 6.2・連続関数と一様連続性この先をたどる →
    ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓補題 2.2・連続関数と一様連続性この先をたどる →
    連続性の点列による特徴づけ✓命題 3.2・連続関数と一様連続性この先をたどる →
  - 分割とダルブー和定義 2.1・積分の基本定理と定積分
  - 最大値・最小値の定理✓定理 2.3・平均値の定理とテイラーの定理
    実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
    最大値の原理（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・連続関数と一様連続性この先をたどる →
    極限の四則✓定理 4.2・極限と連続性この先をたどる →
  - リーマンの可積分条件✓定理 3.4・積分の基本定理と定積分
    上積分・下積分とリーマン可積分性定義 3.1・積分の基本定理と定積分
    細分による単調性✓補題 2.3・積分の基本定理と定積分
  - タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分
- 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
    ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

媒介変数表示された曲線の下の面積

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）