数学 › 微分積分学 › 重積分と累次積分

フビニの定理（長方形上）

定理 4.2（「重積分と累次積分」§4） ・ ✓公理まで証明済み

R=[a,b]×[c,d]R=[a,b]\times[c,d] とし、f ⁣:R→Rf\colon R\to\mathbb{R} が次の 2 条件を満たすとする。

  1. ff は RR 上有界かつ可積分である。
  2. 各 x∈[a,b]x\in[a,b] に対し、1 変数関数 y↦f(x,y)y\mapsto f(x,y) は [c,d][c,d] 上可積分である。

このとき F(x)=∫cdf(x,y) dyF(x)=\displaystyle\int_c^d f(x,y)\,dy は [a,b][a,b] 上可積分で、

∫ab ⁣(∫cdf(x,y) dy)dx=∬Rf(x,y) dx dy\int_a^b\!\left(\int_c^d f(x,y)\,dy\right)dx = \iint_R f(x,y)\,dx\,dy

が成り立つ。xx と yy の役割を入れ替えた主張（各 yy について x↦f(x,y)x\mapsto f(x,y) が可積分なら ∫cd ⁣(∫abf dx)dy=∬Rf\int_c^d\!\left(\int_a^b f\,dx\right)dy = \iint_R f）も同様に成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 3 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 5 件