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ガウスの法則（積分形）

定理 4.4（「静電場とガウスの法則」§4）・ ✓公理まで証明済み

$\rho$ を連続でコンパクト台を持つ電荷密度、 $\boldsymbol{E}$ を定義 3.3 の積分で定まる電場とする。 $V$ をなめらかな有界領域、 $S = \partial V$ をその境界（外向き法線）とする（ $S$ 上に電荷があってもよい）。このとき

\oint_S \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{S} = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_V \rho(\boldsymbol{y})\,d^3y = \frac{Q_{\text{in}}}{\varepsilon_0}

が成り立つ。ここで $Q_{\text{in}}$ は $V$ の内部に含まれる全電荷である。有限個の点電荷 $q_1,\dots,q_N$ の場合も同様で、 $S$ 上に電荷がなければ $Q_{\text{in}}$ は $V$ の内部にある電荷の総和である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 90 件、定義なども含めて 110 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

電場定義 3.3・静電場とガウスの法則
立体角の補題✓補題 4.2・静電場とガウスの法則
- 発散定理（ガウス・オストログラツキーの定理）✓定理 5.3・静電場とガウスの法則
  - n 次元の発散定理✓補題 2.1・ラプラス方程式と調和関数
    ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理この先をたどる →
    滑らかな切り落としと 1 の分割✓補題 2.3・Schwartz 空間と緩増加超関数この先をたどる →
    滑らかな山型関数と軟化子✓補題 2.1・Schwartz 空間と緩増加超関数
  - 発散の直交座標表示✓命題 5.2・静電場とガウスの法則
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    一様連続性定義 6.1・極限と連続性
フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分
- ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分
  - 長方形上の 2 重積分定義 3.2・重積分と累次積分
- リーマンの可積分条件✓定理 3.4・積分の基本定理と定積分
  - 上積分・下積分とリーマン可積分性定義 3.1・積分の基本定理と定積分
  - 細分による単調性✓補題 2.3・積分の基本定理と定積分

これを使っている定理証明で参照している 3 件

導体表面の境界条件✓補題 4.2・静電場の境界値問題
接地導体球と点電荷✓定理 4.4・静電場の境界値問題
ガウスの法則（微分形）✓定理 5.6・静電場とガウスの法則

関連するノック 6 問