数学 › 微分積分学 › 重積分と累次積分

長方形上の 2 重積分

定義 3.2（「重積分と累次積分」§3）

f ⁣:R→Rf\colon R\to\mathbb{R} を有界関数とする。分割 Δ\Delta と各小長方形から選んだ代表点 ξij∈Rij\xi_{ij}\in R_{ij} に対し

Σ(f,Δ,ξ)=∑i=1m∑j=1nf(ξij) Δxi Δyj\Sigma(f,\Delta,\xi) = \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} f(\xi_{ij})\,\Delta x_i\,\Delta y_j

をリーマン和という。ある実数 II が存在して、任意の ε>0\varepsilon > 0 に対しある δ>0\delta > 0 があり、∣Δ∣<δ\lvert\Delta\rvert < \delta を満たすすべての分割 Δ\Delta とすべての代表点の選び方 ξ\xi について

∣Σ(f,Δ,ξ)−I∣<ε\lvert \Sigma(f,\Delta,\xi) - I\rvert < \varepsilon

が成り立つとき、ff は RR 上**（リーマン）可積分**であるといい、II を ff の RR 上の 2 重積分と呼んで

∬Rf(x,y) dx dy=I\iint_R f(x,y)\,dx\,dy = I

と書く。

本文で読む（前後の説明と例）→

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

これを使っている定理 証明で参照している 4 件