重積分の基本性質

$f,g$ が $R$ 上可積分、$\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ とする。

(1)（線形性） $\alpha f+\beta g$ は可積分で $\iint_R(\alpha f+\beta g)=\alpha\iint_R f+\beta\iint_R g$。

(2)（単調性） $R$ 上つねに $f\le g$ なら $\iint_R f\le\iint_R g$。とくに $f\ge0$ なら $\iint_R f\ge0$。

(3)（領域についての加法性） $\Delta_0$ を $R$ の分割とし、その小長方形を $R_1,\dots,R_N$ とする。有界関数 $f$ が $R$ 上可積分であることと、各 $R_k$ 上可積分であることは同値で、そのとき $\iint_R f=\sum_k\iint_{R_k}f$ である。