一次変換による面積の拡大率

命題 6.5（「重積分と累次積分」§6）・ ✓公理まで証明済み

$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}$ を実 2 次正方行列とし、 $T(\boldsymbol u)=A\boldsymbol u$ とする。

単位正方形 $[0,1]\times[0,1]$ の像 $T([0,1]^2)$ は $A$ の 2 つの列ベクトル $\boldsymbol a_1=(a_{11},a_{21})$ 、 $\boldsymbol a_2=(a_{12},a_{22})$ の張る平行四辺形であり、その面積は $\lvert\det A\rvert$ に等しい。
さらに $\det A\ne0$ とすると、面積確定な有界集合 $E\subset\mathbb{R}^2$ に対し $T(E)$ も面積確定で $\lvert T(E)\rvert = \lvert\det A\rvert\cdot\lvert E\rvert$ が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 29 件、定義なども含めて 38 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 9 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

平行四辺形の面積は行列式の絶対値✓補題 6.4・重積分と累次積分
- 線分は面積 0✓補題 6.2・重積分と累次積分（上で展開済み）
- 平行四辺形は縦線集合であり、ずらしで面積は変わらない✓補題 6.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
- 縦線集合上の累次積分✓定理 5.6・重積分と累次積分
  - 一般の有界領域上の重積分と面積確定定義 5.1・重積分と累次積分
  - 連続関数のグラフは面積 0✓補題 5.2・重積分と累次積分（上で展開済み）
  - 面積 0 の集合の被覆による特徴づけ✓補題 5.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
  - リーマンの可積分条件（ジョルダン版）✓命題 5.4・重積分と累次積分
    面積 0 の集合の被覆による特徴づけ✓補題 5.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
    有界閉長方形上の連続関数の一様連続性✓補題 3.1・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
    ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
  - フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分
    ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
    リーマンの可積分条件✓定理 3.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
- 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
    ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分
ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分
- 長方形上の 2 重積分定義 3.2・重積分と累次積分
平行移動と拡大による面積の変化✓補題 6.1・重積分と累次積分
- ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
線分は面積 0✓補題 6.2・重積分と累次積分
- 多項式関数と有理関数の連続性✓系 5.2・極限と連続性
  - 極限の四則✓定理 4.2・極限と連続性
    関数の極限定義 3.1・極限と連続性
    収束すれば局所有界✓補題 4.1・極限と連続性この先をたどる →
- 連続関数のグラフは面積 0✓補題 5.2・重積分と累次積分
  - ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
- 面積 0 の集合の被覆による特徴づけ✓補題 5.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
面積 0 の集合の被覆による特徴づけ✓補題 5.3・重積分と累次積分
- ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
平行四辺形は縦線集合であり、ずらしで面積は変わらない✓補題 6.3・重積分と累次積分
- 縦線集合上の累次積分✓定理 5.6・重積分と累次積分（上で展開済み）
- 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分（上で展開済み）
重積分の基本性質✓命題 3.6・重積分と累次積分
- 長方形上の 2 重積分定義 3.2・重積分と累次積分
- ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
一般の有界領域上の重積分と面積確定定義 5.1・重積分と累次積分
長方形上の 2 重積分定義 3.2・重積分と累次積分

これを使っている定理証明で参照している 3 件

重積分の変数変換公式✓定理 6.7・重積分と累次積分
符号付き面積の性質と三角形の面積✓命題 6.2・平面ベクトルと座標
正射影の面積✓定理 6.1・空間座標と空間ベクトル

一次変換による面積の拡大率

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 9 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 9 件）

これを使っている定理証明で参照している 3 件