重積分の変数変換公式

定理 6.7（「重積分と累次積分」§6）・ ✓公理まで証明済み

$U,V\subset\mathbb{R}^2$ を開集合、 $\Phi\colon U\to V$ を全単射な $C^1$ 級写像で、すべての $(u,v)\in U$ において $\det J_\Phi(u,v)\ne0$ を満たすものとする。 $E$ を有界閉かつ面積確定な集合で $E\subset U$ を満たすものとすると、 $\Phi(E)$ も有界閉かつ面積確定であり、 $\Phi(E)$ 上の任意の連続関数 $f$ に対して

\iint_{\Phi(E)} f(x,y)\,dx\,dy = \iint_{E} f\bigl(\Phi(u,v)\bigr)\,\bigl\lvert\det J_\Phi(u,v)\bigr\rvert\,du\,dv

が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 41 件、定義なども含めて 53 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 9 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

重積分の基本性質✓命題 3.6・重積分と累次積分
- 長方形上の 2 重積分定義 3.2・重積分と累次積分
- ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
平行移動と拡大による面積の変化✓補題 6.1・重積分と累次積分
- ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
一般の有界領域上の重積分と面積確定定義 5.1・重積分と累次積分
ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分
- 長方形上の 2 重積分定義 3.2・重積分と累次積分
面積 0 の集合の被覆による特徴づけ✓補題 5.3・重積分と累次積分
- ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
リーマンの可積分条件（ジョルダン版）✓命題 5.4・重積分と累次積分
- 面積 0 の集合の被覆による特徴づけ✓補題 5.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
- 有界閉長方形上の連続関数の一様連続性✓補題 3.1・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
  - ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓定理 6.3・実数の完備性とコーシー列
    単調部分列の補題✓補題 6.2・実数の完備性とコーシー列
    完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
- ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
逆関数定理✓定理 4.1・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
- ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
    ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- 縮小写像の原理（バナッハの不動点定理）✓定理 3.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
  - 実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
- 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質
  - 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質この先をたどる →
    基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質この先をたどる →
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
  - 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質この先をたどる →
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
一次変換による面積の拡大率✓命題 6.5・重積分と累次積分
- 平行四辺形の面積は行列式の絶対値✓補題 6.4・重積分と累次積分
  - 線分は面積 0✓補題 6.2・重積分と累次積分（上で展開済み）
  - 平行四辺形は縦線集合であり、ずらしで面積は変わらない✓補題 6.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
  - 縦線集合上の累次積分✓定理 5.6・重積分と累次積分この先をたどる →
  - 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
- ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
- 平行移動と拡大による面積の変化✓補題 6.1・重積分と累次積分（上で展開済み）
- 線分は面積 0✓補題 6.2・重積分と累次積分
  - 多項式関数と有理関数の連続性✓系 5.2・極限と連続性この先をたどる →
  - 連続関数のグラフは面積 0✓補題 5.2・重積分と累次積分この先をたどる →
  - 面積 0 の集合の被覆による特徴づけ✓補題 5.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
- 面積 0 の集合の被覆による特徴づけ✓補題 5.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
- 平行四辺形は縦線集合であり、ずらしで面積は変わらない✓補題 6.3・重積分と累次積分
  - 縦線集合上の累次積分✓定理 5.6・重積分と累次積分この先をたどる →
  - 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
- 重積分の基本性質✓命題 3.6・重積分と累次積分（上で展開済み）
- 一般の有界領域上の重積分と面積確定定義 5.1・重積分と累次積分
- 長方形上の 2 重積分定義 3.2・重積分と累次積分
長方形上の 2 重積分定義 3.2・重積分と累次積分

これを使っている定理証明で参照している 10 件

ベータ関数とガンマ関数の関係✓定理 6.2・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
面積 0 の例外集合を許す変数変換公式✓系 6.9・重積分と累次積分
面積分のパラメータ不変性✓命題 4.2・ベクトル解析と積分定理
等積変形と面積比✓命題 7.6・合同と相似
チャートの取り方によらない✓補題 5.2・ストークスの定理
Lemma 6（平行移動の性質）✓補題 7.5・Dimock『Ultraviolet stability for QED₃』(2022) 第 1 部
超局所ゆらぎ測度（原論文 (132)〜(147)）✓命題 8.4・Dimock『Ultraviolet stability for QED₃』(2022) 第 1 部
局所化は対称性を保つ（大域版）✓命題 7.9・Dimock『Ultraviolet stability for QED₃』(2022) 第 2 部
相空間の体積の保存（リウヴィルの定理）✓系 7.5・正準変換とポアソン括弧
リウヴィルの定理（位相体積の保存）✓定理 7.2・ハミルトン形式の力学

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閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 9 件）

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