面積 0 の例外集合を許す変数変換公式

系 6.9（「重積分と累次積分」§6）・ ✓公理まで証明済み

$W\subset\mathbb{R}^2$ を開集合、 $\Phi\colon W\to\mathbb{R}^2$ を $C^1$ 級写像、 $E\subset W$ を有界閉かつ面積確定な集合、 $Z\subset E$ を面積 $0$ の有界閉集合とする。 $\Phi$ が $\mathrm{int}\,E\setminus Z$ の上で単射で、そこで $\det J_\Phi\ne0$ ならば、 $\Phi(E)$ は有界閉かつ面積確定であり、 $\Phi(E)$ 上の任意の連続関数 $f$ に対して

\iint_{\Phi(E)} f(x,y)\,dx\,dy = \iint_{E} f\bigl(\Phi(u,v)\bigr)\,\bigl\lvert\det J_\Phi(u,v)\bigr\rvert\,du\,dv

が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 42 件、定義なども含めて 54 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

重積分の変数変換公式✓定理 6.7・重積分と累次積分
- 重積分の基本性質✓命題 3.6・重積分と累次積分
  - 長方形上の 2 重積分定義 3.2・重積分と累次積分
  - ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
- 平行移動と拡大による面積の変化✓補題 6.1・重積分と累次積分
  - ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
- 一般の有界領域上の重積分と面積確定定義 5.1・重積分と累次積分
- ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分
  - 長方形上の 2 重積分定義 3.2・重積分と累次積分
- 面積 0 の集合の被覆による特徴づけ✓補題 5.3・重積分と累次積分
  - ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
- リーマンの可積分条件（ジョルダン版）✓命題 5.4・重積分と累次積分
  - 面積 0 の集合の被覆による特徴づけ✓補題 5.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
  - 有界閉長方形上の連続関数の一様連続性✓補題 3.1・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
    ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓定理 6.3・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
- 逆関数定理✓定理 4.1・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
  - ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - 縮小写像の原理（バナッハの不動点定理）✓定理 3.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
    実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質
    余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質この先をたどる →
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質この先をたどる →
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
- 一次変換による面積の拡大率✓命題 6.5・重積分と累次積分
  - 平行四辺形の面積は行列式の絶対値✓補題 6.4・重積分と累次積分
    線分は面積 0✓補題 6.2・重積分と累次積分（上で展開済み）
    平行四辺形は縦線集合であり、ずらしで面積は変わらない✓補題 6.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
    縦線集合上の累次積分✓定理 5.6・重積分と累次積分この先をたどる →
    微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
  - ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
  - 平行移動と拡大による面積の変化✓補題 6.1・重積分と累次積分（上で展開済み）
  - 線分は面積 0✓補題 6.2・重積分と累次積分
    多項式関数と有理関数の連続性✓系 5.2・極限と連続性この先をたどる →
    連続関数のグラフは面積 0✓補題 5.2・重積分と累次積分この先をたどる →
    面積 0 の集合の被覆による特徴づけ✓補題 5.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
  - 面積 0 の集合の被覆による特徴づけ✓補題 5.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
  - 平行四辺形は縦線集合であり、ずらしで面積は変わらない✓補題 6.3・重積分と累次積分
    縦線集合上の累次積分✓定理 5.6・重積分と累次積分この先をたどる →
    微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
  - 重積分の基本性質✓命題 3.6・重積分と累次積分（上で展開済み）
  - 一般の有界領域上の重積分と面積確定定義 5.1・重積分と累次積分
  - 長方形上の 2 重積分定義 3.2・重積分と累次積分
- 長方形上の 2 重積分定義 3.2・重積分と累次積分

これを使っている定理証明で参照している 3 件

扇形の面積 = θ/2✓命題 8.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
極座標の面積✓定理 2.6・積分の応用
ケプラーの第二法則（面積速度一定）✓定理 3.3・惑星の運動と中心力

面積 0 の例外集合を許す変数変換公式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理証明で参照している 3 件