縦線集合上の累次積分

定理 5.6（「重積分と累次積分」§5）・ ✓公理まで証明済み

$\varphi_1,\varphi_2\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ を連続関数で $\varphi_1\le\varphi_2$ を満たすものとし、

D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid a\le x\le b,\ \varphi_1(x)\le y\le \varphi_2(x)\}

とおく（このような $D$ を縦線集合という）。 $f\colon D\to\mathbb{R}$ が連続ならば、 $f$ は $D$ 上可積分で

\iint_D f(x,y)\,dx\,dy = \int_a^b\!\left(\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)\,dy\right)dx

が成り立つ。同様に、 $\psi_1\le\psi_2$ を連続関数として $E=\{(x,y)\mid c\le y\le d,\ \psi_1(y)\le x\le\psi_2(y)\}$ （横線集合）と $E$ 上連続な $f$ に対しては

\iint_E f(x,y)\,dx\,dy = \int_c^d\!\left(\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x,y)\,dx\right)dy .

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 10 件、定義なども含めて 14 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

一般の有界領域上の重積分と面積確定定義 5.1・重積分と累次積分
連続関数のグラフは面積 0✓補題 5.2・重積分と累次積分
- ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分
  - 長方形上の 2 重積分定義 3.2・重積分と累次積分
面積 0 の集合の被覆による特徴づけ✓補題 5.3・重積分と累次積分
- ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
リーマンの可積分条件（ジョルダン版）✓命題 5.4・重積分と累次積分
- 面積 0 の集合の被覆による特徴づけ✓補題 5.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
- 有界閉長方形上の連続関数の一様連続性✓補題 3.1・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
  - ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓定理 6.3・実数の完備性とコーシー列
    単調部分列の補題✓補題 6.2・実数の完備性とコーシー列
    完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
- ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分
- ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
- リーマンの可積分条件✓定理 3.4・積分の基本定理と定積分
  - 上積分・下積分とリーマン可積分性定義 3.1・積分の基本定理と定積分
  - 細分による単調性✓補題 2.3・積分の基本定理と定積分

これを使っている定理証明で参照している 9 件

平行四辺形は縦線集合であり、ずらしで面積は変わらない✓補題 6.3・重積分と累次積分
平行四辺形の面積は行列式の絶対値✓補題 6.4・重積分と累次積分
グリーンの定理✓定理 6.1・ベクトル解析と積分定理
ガウスの発散定理✓定理 7.1・ベクトル解析と積分定理
扇形の面積 = θ/2✓命題 8.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
2 曲線の間の面積✓定理 2.2・積分の応用
極座標の面積✓定理 2.6・積分の応用
放物線の切片の面積✓定理 7.2・積分法
ケプラーの第二法則（面積速度一定）✓定理 3.3・惑星の運動と中心力

縦線集合上の累次積分

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

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