一般の有界領域上の重積分と面積確定

定義 5.1（「重積分と累次積分」§5）

$D\subset\mathbb{R}^2$ を有界集合、 $f\colon D\to\mathbb{R}$ を有界関数とする。 $D\subset R$ となる閉長方形 $R$ を 1 つ取り、

\tilde f(x,y) = \begin{cases} f(x,y) & ((x,y)\in D)\\ 0 & ((x,y)\in R\setminus D)\end{cases}

とおく。 $\tilde f$ が $R$ 上可積分であるとき、 $f$ は $D$ 上可積分であるといい

\iint_D f(x,y)\,dx\,dy := \iint_R \tilde f(x,y)\,dx\,dy

と定める。とくに $f\equiv 1$ が $D$ 上可積分であるとき $D$ は面積確定であるといい、 $\lvert D\rvert = \iint_D 1\,dx\,dy$ を $D$ の面積という。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。