放物線の切片の面積

定理 7.2（「積分法」§7）・ ✓公理まで証明済み

$f(x)=ax^2+bx+c$ （ $a\ne0$ ）、 $\alpha<\beta$ とし、放物線上の 2 点 $\mathrm A=(\alpha,f(\alpha))$ 、 $\mathrm B=(\beta,f(\beta))$ を通る直線 $y=\ell(x)$ を考える。放物線と線分 $\mathrm{AB}$ が囲む図形 $D=\{(x,y):\alpha\le x\le\beta,\ y$ は $f(x)$ と $\ell(x)$ の間 $\}$ について、次が成り立つ。

$f(x)-\ell(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)$ 。
$D$ の面積は $\dfrac{|a|(\beta-\alpha)^3}6$ である。
弦の中点の真上（ $x=m=\frac{\alpha+\beta}2$ ）で放物線と弦の間の鉛直方向の距離を $h$ とすると $h=\dfrac{|a|(\beta-\alpha)^2}4$ で、 $D$ の面積は、 $\mathrm{AB}$ と鉛直なベクトル $(0,h)$ が張る平行四辺形の面積の $\dfrac23$ である（Archimedes）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 111 件、定義なども含めて 133 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

剰余の定理・因数定理✓定理 2.3・多項式の割り算と高次方程式
- 多項式の除法の原理✓定理 2.2・多項式の割り算と高次方程式
  - 完全帰納法✓定理 4.3・証明の技術
    数学的帰納法の原理✓定理 3.2・証明の技術この先をたどる →
  - 多項式環の次数・整域性・単元✓定理 6.2・環と体の基礎
- 代入は和と積を保つ✓補題 2.1・多項式の割り算と高次方程式
  - 多項式環定義 6.1・環と体の基礎
縦線集合上の累次積分✓定理 5.6・重積分と累次積分
- 一般の有界領域上の重積分と面積確定定義 5.1・重積分と累次積分
- 連続関数のグラフは面積 0✓補題 5.2・重積分と累次積分
  - ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分
    長方形上の 2 重積分定義 3.2・重積分と累次積分
- 面積 0 の集合の被覆による特徴づけ✓補題 5.3・重積分と累次積分
  - ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
- リーマンの可積分条件（ジョルダン版）✓命題 5.4・重積分と累次積分
  - 面積 0 の集合の被覆による特徴づけ✓補題 5.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
  - 有界閉長方形上の連続関数の一様連続性✓補題 3.1・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
    ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓定理 6.3・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
- フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分
  - ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
  - リーマンの可積分条件✓定理 3.4・積分の基本定理と定積分
    上積分・下積分とリーマン可積分性定義 3.1・積分の基本定理と定積分
    細分による単調性✓補題 2.3・積分の基本定理と定積分
1/6 公式✓定理 7.1・積分法
- 置換積分✓定理 6.1・積分の基本定理と定積分
  - 連続関数は原始関数をもつ✓系 5.3・積分の基本定理と定積分
    連続関数の可積分性と区分求積法✓定理 3.5・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    向き付き積分の加法性✓命題 4.2・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    微分積分学の基本定理（第一部）✓定理 5.2・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
  - 連鎖律✓定理 7.2・導関数の定義と基本的な微分法
    微分可能ならば連続✓定理 3.4・導関数の定義と基本的な微分法
  - 連続関数の可積分性と区分求積法✓定理 3.5・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
  - 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分
- 基本的な関数の原始関数✓命題 2.1・積分法
  - 基本関数の導関数✓命題 2.1・微分法とその応用この先をたどる →
  - cos・sin の収束・対称性・導関数✓定理 6.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
  - 逆三角関数の導関数✓定理 9.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
  - 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分（上で展開済み）
2 次の行列式と平行四辺形の面積✓命題 8.1・行列式とその性質
- 行列式（ライプニッツの公式）定義 3.1・行列式とその性質
- 平行四辺形の面積は行列式の絶対値✓補題 6.4・重積分と累次積分
  - 線分は面積 0✓補題 6.2・重積分と累次積分この先をたどる →
  - 平行四辺形は縦線集合であり、ずらしで面積は変わらない✓補題 6.3・重積分と累次積分
    縦線集合上の累次積分✓定理 5.6・重積分と累次積分（上で展開済み）
    微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分（上で展開済み）
  - 縦線集合上の累次積分✓定理 5.6・重積分と累次積分（上で展開済み）
  - 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分（上で展開済み）

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

放物線の切片の面積

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）