基本的な関数の原始関数

命題 2.1（「積分法」§2）・ ✓公理まで証明済み

次の各組 $(F,f)$ で、区間 $I$ 上で $F'=f$ が成り立つ。したがって $[a,b]\subseteq I$ ならば $\displaystyle\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$ である。

$f(x)$	$F(x)$	区間 $I$
$x^\alpha$ （ $\alpha\ne-1$ ）	$\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}$	$x>0$ （ $\alpha$ が整数なら $x\ne0$ の各区間）
$\dfrac1x$	$\log\lvert x\rvert$	$x\ne0$ の各区間
$e^x$ 、 $a^x$ （ $a>0$ 、 $a\ne1$ ）	$e^x$ 、 $\dfrac{a^x}{\log a}$	$\mathbb R$
$\sin x$ 、 $\cos x$	$-\cos x$ 、 $\sin x$	$\mathbb R$
$\dfrac1{\cos^2x}$	$\tan x$	$\cos x\ne0$ の各区間
$\dfrac1{1+x^2}$	$\arctan x$	$\mathbb R$
$\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$	$\arcsin x$	$(-1,1)$

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 81 件、定義なども含めて 95 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

基本関数の導関数✓命題 2.1・微分法とその応用
- 単項式の導関数✓補題 3.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - 微分係数定義 3.1・導関数の定義と基本的な微分法
  - 微分の線形性・積の法則・商の法則✓定理 6.1・導関数の定義と基本的な微分法（上で展開済み）
- 微分の線形性・積の法則・商の法則✓定理 6.1・導関数の定義と基本的な微分法
  - 微分可能ならば連続✓定理 3.4・導関数の定義と基本的な微分法
- $a^x =$ exp(x log a)✓定理 4.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - 指数関数の基本性質✓定理 3.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
  - 累乗根の存在と一意性✓定理 2.2・指数関数と対数関数この先をたどる →
  - 実数の指数は矛盾なく定まり、有理数の近似の極限になる✓定理 3.4・指数関数と対数関数この先をたどる →
  - 連続関数と数列の極限✓命題 5.5・数列と関数の極限
  - 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
- 連鎖律✓定理 7.2・導関数の定義と基本的な微分法
  - 微分可能ならば連続✓定理 3.4・導関数の定義と基本的な微分法
- 実数の指数に関する指数法則（和と積）✓定理 4.2・指数関数と対数関数
  - 有理数の指数の定義と指数法則✓定理 2.3・指数関数と対数関数この先をたどる →
  - 実数の指数は矛盾なく定まり、有理数の近似の極限になる✓定理 3.4・指数関数と対数関数この先をたどる →
  - 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
- 自然対数の性質✓定理 4.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - exp 1 = e✓系 3.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
  - 指数関数の基本性質✓定理 3.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
  - 逆関数の微分法✓命題 8.1・導関数の定義と基本的な微分法（上で展開済み）
- 底の変換公式✓定理 5.4・指数関数と対数関数
  - 対数の性質✓定理 5.3・指数関数と対数関数この先をたどる →
- 三角関数の制限は全単射✓補題 9.1・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - 周期性と基本的な対称性✓定理 7.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
  - 中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性この先をたどる →
  - 微分の線形性・積の法則・商の法則✓定理 6.1・導関数の定義と基本的な微分法（上で展開済み）
  - 導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
cos・sin の収束・対称性・導関数✓定理 6.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
- 単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
- ワイエルシュトラスの M 判定法✓系 6.4・関数列と一様収束
  - 一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束この先をたどる →
- 単項式の導関数✓補題 3.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
- 項別微分（極限と微分の交換）✓定理 7.3・関数列と一様収束
  - 一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束この先をたどる →
  - 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分（上で展開済み）
  - 一様収束の上限判定法✓命題 3.4・関数列と一様収束この先をたどる →
逆三角関数の導関数✓定理 9.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
- 逆関数の微分法✓命題 8.1・導関数の定義と基本的な微分法
  - 中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性この先をたどる →
- 周期性と基本的な対称性✓定理 7.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - 加法定理✓定理 6.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
  - cos の最小の正の零点✓補題 7.1・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
  - 導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- cos の最小の正の零点✓補題 7.1・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
- 三角関数の制限は全単射✓補題 9.1・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分
- ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分

これを使っている定理証明で参照している 5 件

Gabriel のラッパ：体積は有限、表面積は無限✓定理 4.5・積分の応用
1/6 公式✓定理 7.1・積分法
Euler の定数✓定理 8.2・積分法
記録の更新回数の期待値✓定理 6.1・確率の発展
Buffon の針✓定理 9.3・確率の発展

基本的な関数の原始関数

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

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