Gabriel のラッパ：体積は有限、表面積は無限

定理 4.5（「積分の応用」§4）・ ✓公理まで証明済み

$x\ge1$ で $f(x)=\dfrac1x$ とし、 $S=\{(x,y,z):x\ge1,\ y^2+z^2\le f(x)^2\}$ とする。

$S$ の体積は $m_3(S)=\pi$ （有限）である。
$S$ の表面積 $2\pi\displaystyle\int_1^Rf\sqrt{1+f'^2}\,dx$ は $R\to\infty$ で $\infty$ に発散する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 119 件、定義なども含めて 139 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

回転体の体積✓定理 3.3・積分の応用
- 円板のルベーグ測度✓補題 3.2・積分の応用
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
  - リーマン積分はルベーグ積分の特別な場合✓定理 8.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 半円の積分✓補題 2.1・積分の応用この先をたどる →
- 断面積による体積✓定理 3.1・積分の応用
  - $ℝ^d$ のルベーグ測度定義 2.1・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
  - リーマン積分はルベーグ積分の特別な場合✓定理 8.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理
- 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
基本的な関数の原始関数✓命題 2.1・積分法
- 基本関数の導関数✓命題 2.1・微分法とその応用
  - 単項式の導関数✓補題 3.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
  - 微分の線形性・積の法則・商の法則✓定理 6.1・導関数の定義と基本的な微分法この先をたどる →
  - $a^x =$ exp(x log a)✓定理 4.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
  - 連鎖律✓定理 7.2・導関数の定義と基本的な微分法この先をたどる →
  - 実数の指数に関する指数法則（和と積）✓定理 4.2・指数関数と対数関数この先をたどる →
  - 自然対数の性質✓定理 4.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
  - 底の変換公式✓定理 5.4・指数関数と対数関数この先をたどる →
  - 三角関数の制限は全単射✓補題 9.1・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
- cos・sin の収束・対称性・導関数✓定理 6.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - 単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
  - ワイエルシュトラスの M 判定法✓系 6.4・関数列と一様収束（上で展開済み）
  - 単項式の導関数✓補題 3.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
  - 項別微分（極限と微分の交換）✓定理 7.3・関数列と一様収束この先をたどる →
- 逆三角関数の導関数✓定理 9.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - 逆関数の微分法✓命題 8.1・導関数の定義と基本的な微分法この先をたどる →
  - 周期性と基本的な対称性✓定理 7.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
  - cos の最小の正の零点✓補題 7.1・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
  - 三角関数の制限は全単射✓補題 9.1・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
- 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分
指数関数の基本性質✓定理 3.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
- ダランベールの比判定法✓定理 6.2・級数と収束判定
  - 上極限・下極限の基本性質✓補題 2.3・級数と収束判定
  - 等比級数の収束と発散✓命題 3.6・級数と収束判定この先をたどる →
  - 有限個の項の変更・定数倍・和✓命題 3.2・級数と収束判定
  - 比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定この先をたどる →
  - 一般項の必要条件✓命題 3.5・級数と収束判定この先をたどる →
- ワイエルシュトラスの M 判定法✓系 6.4・関数列と一様収束
  - 一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束この先をたどる →
- 指数法則✓補題 4.1・複素数と複素平面この先をたどる →
- 単項式の導関数✓補題 3.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
- 項別微分（極限と微分の交換）✓定理 7.3・関数列と一様収束この先をたどる →
- 微分可能ならば連続✓定理 3.4・導関数の定義と基本的な微分法
- 導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- 中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性この先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

Gabriel のラッパ：体積は有限、表面積は無限

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理

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