微分の線形性・積の法則・商の法則

定理 6.1（「導関数の定義と基本的な微分法」§6）・ ✓公理まで証明済み

$I$ を開区間、 $f, g \colon I \to \mathbb{R}$ 、 $a \in I$ とし、 $f$ と $g$ はともに $a$ で微分可能とします。このとき次が成り立ちます。

(1)（線形性） 任意の実数 $\alpha, \beta$ に対して $\alpha f + \beta g$ は $a$ で微分可能で

(\alpha f + \beta g)'(a) = \alpha f'(a) + \beta g'(a) .

(2)（積の法則） 積 $fg$ は $a$ で微分可能で

(fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a) .

(3)（商の法則） さらに $g(a) \ne 0$ ならば、 $a$ を含むある開区間上で $g$ は $0$ にならず、そこで定義された $f/g$ は $a$ で微分可能で

\left(\frac{f}{g}\right)'(a) = \frac{f'(a)g(a) - f(a)g'(a)}{g(a)^2} .

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 1 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。