数学 › 高校数学：関数と微分積分 › 指数・対数・三角関数をきちんと定義する

三角関数の制限は全単射

補題 9.1（「指数・対数・三角関数をきちんと定義する」§9） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 53 件、定義なども含めて 66 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 周期性と基本的な対称性✓定理 7.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する

  • 加法定理✓定理 6.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義する

    • 指数法則✓補題 4.1・複素数と複素平面

      • ダランベールの比判定法✓定理 6.2・級数と収束判定 この先をたどる →
      • 絶対収束する級数のコーシー積✓定理 7.9・級数と収束判定 この先をたどる →
      • 複素数体の基本性質✓定理 2.2・複素数と複素平面
    • exp(ix) = cos x + i sin x✓補題 6.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する

      • cos・sin の収束・対称性・導関数✓定理 6.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する この先をたどる →
      • 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
  • cos の最小の正の零点✓補題 7.1・指数・対数・三角関数をきちんと定義する

    • ライプニッツの交項級数判定法✓定理 7.3・級数と収束判定

      • 単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
    • 中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性（上で展開済み）
    • 上限の存在（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・実数の完備性とコーシー列

      • 数列の収束・有界性・単調性定義 2.2・実数の完備性とコーシー列
      • 完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
      • アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
    • 連続関数と数列の極限✓命題 5.5・数列と関数の極限
    • cos² + sin² = 1✓定理 6.5・指数・対数・三角関数をきちんと定義する

      • 加法定理✓定理 6.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義する（上で展開済み）
      • cos・sin の収束・対称性・導関数✓定理 6.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する この先をたどる →
  • 導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理（上で展開済み）
• 中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性

  • 実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
• 微分の線形性・積の法則・商の法則✓定理 6.1・導関数の定義と基本的な微分法

  • 微分可能ならば連続✓定理 3.4・導関数の定義と基本的な微分法
• 導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理

  • ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理

    • ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理

      • 最大値・最小値の定理✓定理 2.3・平均値の定理とテイラーの定理 この先をたどる →
      • 極大・極小定義 2.1・平均値の定理とテイラーの定理
      • フェルマーの補題✓補題 2.5・平均値の定理とテイラーの定理 この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 7 件

• 極形式の存在と偏角の一意性✓補題 4.4・複素数と複素平面
• 基本関数の導関数✓命題 2.1・微分法とその応用
• 逆三角関数の導関数✓定理 9.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
• t = tan(x/2) による置換✓命題 4.1・積分法
• 等長変換・相似変換は角を保つ✓補題 3.2・合同と相似
• 三角形の内角の和✓定理 5.4・合同と相似
• 辺と角の大小関係✓定理 6.3・合同と相似