等長変換・相似変換は角を保つ

補題 3.2（「合同と相似」§3）・ ✓公理まで証明済み

$k>0$ とし、写像 $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ が任意の 2 点 $P,Q$ について $|f(P)-f(Q)|=k|P-Q|$ を満たすとする（ $k=1$ なら等長変換、一般には定義 4.1 の比 $k$ の相似変換）。このとき、任意の 4 点 $P,Q,X,Y$ について

\bigl(f(P)-f(Q)\bigr)\cdot\bigl(f(X)-f(Y)\bigr)=k^2\,(P-Q)\cdot(X-Y)

である。さらに $P\ne Q$ 、 $X\ne Y$ ならば $f(P)\ne f(Q)$ 、 $f(X)\ne f(Y)$ で、

\angle\bigl(f(P)-f(Q),\,f(X)-f(Y)\bigr)=\angle(P-Q,\,X-Y)

である。とくに $A\ne B$ 、 $A\ne C$ ならば $\angle f(B)f(A)f(C)=\angle BAC$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 56 件、定義なども含めて 70 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

内積の性質✓定理 4.1・平面ベクトルと座標
- 1 次独立と成分表示の一意性✓命題 3.1・平面ベクトルと座標
2 つのベクトルのなす角定義 4.2・平面ベクトルと座標
三角関数の制限は全単射✓補題 9.1・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
- 周期性と基本的な対称性✓定理 7.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  - 加法定理✓定理 6.4・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
    指数法則✓補題 4.1・複素数と複素平面この先をたどる →
    exp(ix) = cos x + i sin x✓補題 6.3・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
  - cos の最小の正の零点✓補題 7.1・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
    ライプニッツの交項級数判定法✓定理 7.3・級数と収束判定この先をたどる →
    中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性（上で展開済み）
    上限の存在（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
    連続関数と数列の極限✓命題 5.5・数列と関数の極限
    cos² + sin² = 1✓定理 6.5・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
  - 導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理（上で展開済み）
- 中間値の定理✓定理 5.7・極限と連続性
  - 実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
- 微分の線形性・積の法則・商の法則✓定理 6.1・導関数の定義と基本的な微分法
  - 微分可能ならば連続✓定理 3.4・導関数の定義と基本的な微分法
- 導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
    ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 4 件

三角形の合同条件（1 辺とその両端の角）✓定理 3.7・合同と相似
二等辺三角形の底角✓命題 3.8・合同と相似
三角形の相似条件✓定理 4.2・合同と相似
Heron の問題（鏡映による最短経路）✓定理 8.1・合同と相似

等長変換・相似変換は角を保つ

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 4 件