合同と相似：座標平面から合同条件・平行線・内角の和を証明する

0. この記事の要点

中学では、2 つの三角形が「ぴったり重なる」ことを合同と呼び、図を見て三角形の合同条件や内角の和が $180^\circ$ になることを覚えました。この記事では「重ねる」という操作を座標の計算で言い直し、それらの事実がなぜ成り立つのかを、図に頼らず順番に確かめます。読み終えると、合同条件や内角の和が、計算で導かれる結論として説明できるようになります。

• 平面を座標平面 $\mathbb{R}^2$ とみなし、距離を保つ写像（等長変換）がすべて $\boldsymbol x\mapsto O\boldsymbol x+\boldsymbol t$（$O$ は直交行列）の形であることを示します（定理 2.2）。回転・平行移動・鏡映・すべり鏡映（鏡に映したあと、鏡の線に沿ってずらす操作）の 4 種類に分類できます（定理 2.4）。
• 図形が合同であるとは、等長変換で重なることです。三角形の合同条件（3 辺・2 辺夾角・1 辺両端角）は、「3 点の位置関係は辺の長さと内積で決まる」という補題（補題 3.3）から出ます（定理 3.4、定理 3.5、定理 3.7）。
• 相似条件は、相似変換が「合同＋拡大」であることから合同条件に帰着します（定理 4.2）。
• 平行線と同位角・錯角、三角形の内角の和が $\pi$ であること、凸 $n$ 角形の内角の和が $(n-2)\pi$ であることを、向きつきの角の加法性（前章の 命題 4.5［平面ベクトルと座標］）から証明します（定理 5.4、系 5.6）。ユークリッドの第 5 公準は使いません。
• 辺と角の大小、三角形の成立条件、中点連結定理、平行線と線分の比、角の二等分線の定理、等積変形、鏡映による最短経路（Heron の問題）、Steiner–Lehmus の定理までを、この章の定理だけで証明します。以降の総合的な幾何の章は、この章の定理を <Ref> して進みます。

この記事で使う事前知識

• 内積: 2 つのベクトルから数を作る演算で、長さや角の計算に使う。→ 内積
• 行列式: 2 つのベクトルが作る平行四辺形の向きつきの面積にあたる数。→ 内積・長さ・2 次の行列式
• 向きつきの角: 反時計回りを正として測る角。→ 向きつきの角
• 直交行列: 列が互いに垂直な単位ベクトルになっている正方行列で、長さと内積を変えない。
• 1 次独立: 2 つのベクトルがどちらも零ベクトルでなく、平行でないこと。

1. 動機 — 「合同」とは何を言っているのか

中学校では、2 つの三角形が合同であるとは「重ね合わせられること」だと習います。そして、3 辺がそれぞれ等しいなら重なる（SSS）、などの合同条件を学びます。しかし教科書では、合同条件は図を見て納得する「認める」事実として始まり、そこから平行線の性質、内角の和、円周角の定理が積み上がっていきます。

この章では順序を逆にします。重ね合わせる操作そのものを、座標平面の上で数学的に定義します。距離を変えない写像（等長変換）です。

1. 等長変換がどんな写像かを決める（定理 2.2）。これは前章の内積の計算だけで証明できます。
2. 3 点の組を等長変換で移せる条件を調べる。3 点の相互の位置関係は、辺の長さと 1 つの内積で決まるので、合同条件が定理になります。
3. 角の和を調べる。向きつきの角は回転行列の積で加法的なので、内角の和は計算で出ます。

平行線公理（ユークリッドの第 5 公準）は、座標平面では「点を通る平行線がただ 1 本」という自明な事実（方向ベクトルを決めれば直線が決まる）になっていて、公理として置く必要がありません。公理から幾何を組む方法（ヒルベルトの公理系）は注意（注意 5.7）で述べるにとどめます。

用語を決めておきます。三角形 $ABC$ とは、一直線上にない 3 点の組です。$|BC|=a$、$|CA|=b$、$|AB|=c$ と書き、頂点 $A$ での角を $\angle A=\angle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$（前章の なす角（定義 4.2）［平面ベクトルと座標］）とします。前章の記号 $\det$、$R(\theta)$、$e(\varphi)$、$S(A,B,C)$ をそのまま使います。

2. 等長変換

定義 2.1（等長変換）↗

写像 $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ が任意の 2 点 $P,Q$ について $|f(P)-f(Q)|=|P-Q|$ を満たすとき、$f$ を等長変換（距離を保つ写像）という。

全射性や線形性は仮定しません。距離を保つことだけから、次のことが従います。

定理 2.2（等長変換は直交行列と平行移動の合成）✓

$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ について、次は同値である。

1. $f$ は等長変換である。
2. ある $2$ 次直交行列 $O$（$O^{\mathsf T}O=I$）とベクトル $\boldsymbol t$ があって、$f(\boldsymbol x)=O\boldsymbol x+\boldsymbol t$。

次の証明のねらいは、「距離を保つ」という条件だけから、内積も保たれること、さらに行列で書けることまで順に引き出すことです。まず原点を動かさない写像に直し、距離の 2 乗を展開して内積が保たれることを示します。次に標準基底の行き先を並べて直交行列を作り、元の写像と一致することを確かめます。

証明（定理 2.2）

（2 ⇒ 1）直交行列は長さを保つ（命題 3.2［スペクトル定理］）ので、$|f(\boldsymbol x)-f(\boldsymbol y)|=|O(\boldsymbol x-\boldsymbol y)|=|\boldsymbol x-\boldsymbol y|$。

（1 ⇒ 2）$g(\boldsymbol x)=f(\boldsymbol x)-f(\boldsymbol 0)$ とおくと、$g$ も等長変換で $g(\boldsymbol 0)=\boldsymbol 0$ である。$|g(\boldsymbol x)|=|g(\boldsymbol x)-g(\boldsymbol 0)|=|\boldsymbol x|$ で、さらに $|g(\boldsymbol x)-g(\boldsymbol y)|^2=|\boldsymbol x-\boldsymbol y|^2$ の両辺を前章の 定理 4.1［平面ベクトルと座標］ の 3 で展開して $|g(\boldsymbol x)|^2=|\boldsymbol x|^2$、$|g(\boldsymbol y)|^2=|\boldsymbol y|^2$ を使うと

$$g(\boldsymbol x)\cdot g(\boldsymbol y)=\boldsymbol x\cdot\boldsymbol y\qquad(\text{すべての }\boldsymbol x,\boldsymbol y)$$

を得る。標準基底 $\boldsymbol e_1,\boldsymbol e_2$ に対して $g(\boldsymbol e_i)\cdot g(\boldsymbol e_j)=\boldsymbol e_i\cdot\boldsymbol e_j=\delta_{ij}$ なので、$g(\boldsymbol e_1),g(\boldsymbol e_2)$ を列にもつ行列 $O$ は直交行列である（命題 3.2［スペクトル定理］ の 4 と 1 の同値）。任意の $\boldsymbol x=x_1\boldsymbol e_1+x_2\boldsymbol e_2$ について、

$$g(\boldsymbol x)\cdot O\boldsymbol x=x_1\,g(\boldsymbol x)\cdot g(\boldsymbol e_1)+x_2\,g(\boldsymbol x)\cdot g(\boldsymbol e_2)=x_1\,\boldsymbol x\cdot\boldsymbol e_1+x_2\,\boldsymbol x\cdot\boldsymbol e_2=|\boldsymbol x|^2$$

であり、$|O\boldsymbol x|=|\boldsymbol x|$ なので $|g(\boldsymbol x)-O\boldsymbol x|^2=|\boldsymbol x|^2-2|\boldsymbol x|^2+|\boldsymbol x|^2=0$。ゆえに $g(\boldsymbol x)=O\boldsymbol x$、すなわち $f(\boldsymbol x)=O\boldsymbol x+\boldsymbol t$（$\boldsymbol t=f(\boldsymbol 0)$）。

∎

鏡映の行列を $F(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\ \sin\theta&-\cos\theta\end{pmatrix}$ とおきます。

補題 2.3（2 次の直交行列）✓

2 次の直交行列 $O$ は、ある実数 $\theta$ について $O=R(\theta)$（$\det O=1$）または $O=F(\theta)$（$\det O=-1$）である。

証明（補題 2.3）

$O^{\mathsf T}O=I$ は、$O$ の 2 本の列が単位ベクトルで互いに垂直であることを表す。第 1 列は単位ベクトルなので $e(\theta)$ と書ける（定理 7.4［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］）。第 2 列は $\{\boldsymbol x\mid e(\theta)\cdot\boldsymbol x=0\}$ に属し、この集合は前章の 命題 5.5［平面ベクトルと座標］ の 2 と 1 により $(-\sin\theta,\cos\theta)$ の実数倍の全体である。$(-\sin\theta,\cos\theta)$ は単位ベクトルなので、長さ $1$ のものは $\pm(-\sin\theta,\cos\theta)$ だけである。$+$ なら $O=R(\theta)$ で $\det O=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$、$-$ なら $O=F(\theta)$ で $\det O=-1$ である。

∎

定理 2.4（等長変換の分類）✓

等長変換 $f(\boldsymbol x)=O\boldsymbol x+\boldsymbol t$ は、次のいずれかである。

1. 平行移動: $O=I$。
2. 回転: $O=R(\theta)$（$\theta\notin2\pi\mathbb{Z}$）。このとき $f$ はただ 1 つの不動点 $P$ をもち、$f(\boldsymbol x)=\boldsymbol p+R(\theta)(\boldsymbol x-\boldsymbol p)$、すなわち $P$ を中心とする角 $\theta$ の回転である。
3. 鏡映またはすべり鏡映: $O=F(\theta)$。ある直線 $\ell$ と、$\ell$ に平行なベクトル $\alpha\boldsymbol u$ があって、$f$ は「$\ell$ に関する鏡映のあとで $\alpha\boldsymbol u$ だけ平行移動する」写像である。$\alpha=0$ のとき鏡映（$\ell$ 上の点がすべて不動）、$\alpha\ne0$ のときすべり鏡映（不動点なし）である。

証明（定理 2.4）

補題 2.3 により $O=R(\theta)$ または $O=F(\theta)$ である。$O=R(\theta)$ で $\theta\in2\pi\mathbb{Z}$ なら $O=I$ で、1 の平行移動である。

2: 不動点は $(I-R(\theta))\boldsymbol p=\boldsymbol t$ の解である。$\det(I-R(\theta))=(1-\cos\theta)^2+\sin^2\theta=2-2\cos\theta$ で、$\theta\notin2\pi\mathbb{Z}$ なら $\cos\theta\ne1$ なので $\ne0$。したがって解がただ 1 つ存在する（命題 3.1［平面ベクトルと座標］）。$\boldsymbol p=R(\theta)\boldsymbol p+\boldsymbol t$ から $\boldsymbol t-\boldsymbol p=-R(\theta)\boldsymbol p$ なので $f(\boldsymbol x)-\boldsymbol p=R(\theta)(\boldsymbol x-\boldsymbol p)$。

3: $\boldsymbol u=e(\theta/2)$、$\boldsymbol v=(-\sin(\theta/2),\cos(\theta/2))$ とおく。加法定理（定理 6.4［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］）から

$$F(\theta)\boldsymbol u=\bigl(\cos\theta\cos\tfrac\theta2+\sin\theta\sin\tfrac\theta2,\ \sin\theta\cos\tfrac\theta2-\cos\theta\sin\tfrac\theta2\bigr)=\boldsymbol u,\qquad F(\theta)\boldsymbol v=-\boldsymbol v$$

である（2 つ目も同様の計算）。$\boldsymbol u,\boldsymbol v$ は正規直交基底なので、$\boldsymbol t=\alpha\boldsymbol u+\beta\boldsymbol v$（$\alpha=\boldsymbol t\cdot\boldsymbol u$、$\beta=\boldsymbol t\cdot\boldsymbol v$）と書ける。点 $\boldsymbol q=\tfrac\beta2\boldsymbol v$ を通り $\boldsymbol u$ に平行な直線を $\ell$ とし、$\rho(\boldsymbol x)=F(\theta)(\boldsymbol x-\boldsymbol q)+\boldsymbol q$ とおく。$\boldsymbol x=\boldsymbol q+s\boldsymbol u+w\boldsymbol v$ と書くと $\rho(\boldsymbol x)=\boldsymbol q+s\boldsymbol u-w\boldsymbol v$ で、$\rho$ は $\ell$ に関する鏡映（$\ell$ 上の点は不動、$\ell$ に垂直な成分は符号反転）である。一方 $\rho(\boldsymbol x)=F(\theta)\boldsymbol x-F(\theta)\boldsymbol q+\boldsymbol q=F(\theta)\boldsymbol x+\beta\boldsymbol v$ なので、$f(\boldsymbol x)=\rho(\boldsymbol x)+\alpha\boldsymbol u$ を得る。$\alpha=0$ なら $f=\rho$ で $\ell$ 上が不動。$\alpha\ne0$ なら、不動点があれば $\rho(\boldsymbol x)-\boldsymbol x=-\alpha\boldsymbol u$ となるが、左辺は $\boldsymbol x=\boldsymbol q+s\boldsymbol u+w\boldsymbol v$ について $-2w\boldsymbol v$ で $\boldsymbol v$ 方向の成分しか持たない（$\rho$ は $\boldsymbol u$ 成分を変えない）。$\boldsymbol u,\boldsymbol v$ は 1 次独立なので $\alpha=0$ となり、$\alpha\ne0$ に反する。

∎

例 2.5（2 回の鏡映は回転）

原点を通る 2 直線に関する鏡映は、それぞれ $F(2a)$ と $F(2b)$（直線の方向は $e(a)$、$e(b)$）で、積は

$$F(2a)F(2b)=\begin{pmatrix}\cos2a\cos2b+\sin2a\sin2b&\cos2a\sin2b-\sin2a\cos2b\\ \sin2a\cos2b-\cos2a\sin2b&\sin2a\sin2b+\cos2a\cos2b\end{pmatrix}=R(2a-2b)$$

である。2 直線のなす角の 2 倍の回転になる。

3. 合同と三角形の合同条件

定義 3.1（合同）↗

図形（平面の部分集合）$F,F'$ が合同であるとは、等長変換 $f$ で $f(F)=F'$ となるものがあることをいう。三角形 $ABC$ と $A'B'C'$ が、この対応で合同であるとは、等長変換 $f$ で $f(A)=A'$、$f(B)=B'$、$f(C)=C'$ となるものがあることをいう。

等長変換は辺の長さを保ちます。角も保つことを、相似変換（§4）の場合もまとめて補題にしておきます。

補題 3.2（等長変換・相似変換は角を保つ）✓

$k>0$ とし、写像 $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ が任意の 2 点 $P,Q$ について $|f(P)-f(Q)|=k|P-Q|$ を満たすとする（$k=1$ なら等長変換、一般には 定義 4.1 の比 $k$ の相似変換）。このとき、任意の 4 点 $P,Q,X,Y$ について

$$\bigl(f(P)-f(Q)\bigr)\cdot\bigl(f(X)-f(Y)\bigr)=k^2\,(P-Q)\cdot(X-Y)$$

である。さらに $P\ne Q$、$X\ne Y$ ならば $f(P)\ne f(Q)$、$f(X)\ne f(Y)$ で、

$$\angle\bigl(f(P)-f(Q),\,f(X)-f(Y)\bigr)=\angle(P-Q,\,X-Y)$$

である。とくに $A\ne B$、$A\ne C$ ならば $\angle f(B)f(A)f(C)=\angle BAC$。

証明（補題 3.2）

任意のベクトル $\boldsymbol p,\boldsymbol q,\boldsymbol x,\boldsymbol y$ について

$$2(\boldsymbol p-\boldsymbol q)\cdot(\boldsymbol x-\boldsymbol y)=|\boldsymbol p-\boldsymbol y|^2+|\boldsymbol q-\boldsymbol x|^2-|\boldsymbol p-\boldsymbol x|^2-|\boldsymbol q-\boldsymbol y|^2$$

が成り立つ。実際、右辺の 4 項を前章の 定理 4.1［平面ベクトルと座標］ の 3 で展開すると、$|\boldsymbol p|^2,|\boldsymbol q|^2,|\boldsymbol x|^2,|\boldsymbol y|^2$ はすべて打ち消し合い、$-2\boldsymbol p\cdot\boldsymbol y-2\boldsymbol q\cdot\boldsymbol x+2\boldsymbol p\cdot\boldsymbol x+2\boldsymbol q\cdot\boldsymbol y$ が残る。これは同 1（対称性と双線形性）により左辺を展開したものに等しい。右辺は 4 点の間の距離だけで書けている。この恒等式を $f(P),f(Q),f(X),f(Y)$ に使うと、仮定から各距離は $k$ 倍、その 2 乗は $k^2$ 倍なので、1 つ目の等式を得る。

$P\ne Q$ なら $|P-Q|>0$（同 2）なので $|f(P)-f(Q)|=k|P-Q|>0$、すなわち $f(P)\ne f(Q)$。$f(X)\ne f(Y)$ も同様である。1 つ目の等式から

$$\frac{\bigl(f(P)-f(Q)\bigr)\cdot\bigl(f(X)-f(Y)\bigr)}{|f(P)-f(Q)|\,|f(X)-f(Y)|}=\frac{k^2\,(P-Q)\cdot(X-Y)}{k|P-Q|\cdot k|X-Y|}=\frac{(P-Q)\cdot(X-Y)}{|P-Q|\,|X-Y|}$$

で、2 つのなす角は余弦が等しい。なす角は余弦がこの値になる $[0,\pi]$ の数として定義され（前章の 定義 4.2［平面ベクトルと座標］）、余弦は $[0,\pi]$ で単射なので（補題 9.1［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］ の 2）、2 つのなす角は等しい。最後の主張は、$\angle BAC=\angle(B-A,C-A)$ なので $P=B$、$Q=A$、$X=C$、$Y=A$ とした場合である。

∎

保たれるのは向きを区別しないなす角 $\angle$ です。向きつきの角 $\operatorname{ang}$（前章の 命題 4.5［平面ベクトルと座標］）は保たれるとは限りません。たとえば鏡映 $F(0)=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ は $\boldsymbol e_1,\boldsymbol e_2$ を $\boldsymbol e_1,-\boldsymbol e_2$ に移し、$\operatorname{ang}(\boldsymbol e_1,\boldsymbol e_2)=\pi/2$ が $\operatorname{ang}(\boldsymbol e_1,-\boldsymbol e_2)=-\pi/2$ に変わります（なす角はどちらも $\pi/2$）。

合同な三角形は、対応する辺と角が等しい——これが合同の定義から従う「必要条件」です。合同条件はその逆を問います。

補題 3.3（3 点を移す等長変換の存在）✓

$A,B,C$ を一直線上にない 3 点、$A',B',C'$ を任意の 3 点とする。

$$|A'B'|=|AB|,\quad|A'C'|=|AC|,\quad(\boldsymbol b'-\boldsymbol a')\cdot(\boldsymbol c'-\boldsymbol a')=(\boldsymbol b-\boldsymbol a)\cdot(\boldsymbol c-\boldsymbol a)$$

ならば、等長変換 $f$ で $f(A)=A'$、$f(B)=B'$、$f(C)=C'$ となるものがある（とくに $A',B',C'$ も一直線上にない）。

証明（補題 3.3）

$\boldsymbol u=\boldsymbol b-\boldsymbol a$、$\boldsymbol w=\boldsymbol c-\boldsymbol a$、$\boldsymbol u'=\boldsymbol b'-\boldsymbol a'$、$\boldsymbol w'=\boldsymbol c'-\boldsymbol a'$ とおく。仮定は $\boldsymbol u'\cdot\boldsymbol u'=\boldsymbol u\cdot\boldsymbol u$、$\boldsymbol w'\cdot\boldsymbol w'=\boldsymbol w\cdot\boldsymbol w$、$\boldsymbol u'\cdot\boldsymbol w'=\boldsymbol u\cdot\boldsymbol w$ である。ラグランジュの恒等式（定理 4.1［平面ベクトルと座標］ の 4）から $\det(\boldsymbol u',\boldsymbol w')^2=\det(\boldsymbol u,\boldsymbol w)^2\ne0$。よって $\boldsymbol u',\boldsymbol w'$ も 1 次独立である。

$\boldsymbol u,\boldsymbol w$ は 1 次独立なので、線形写像 $L$ を $L(s\boldsymbol u+t\boldsymbol w)=s\boldsymbol u'+t\boldsymbol w'$ で定義できる（命題 3.1［平面ベクトルと座標］）。内積の双線形性から

$$L(s\boldsymbol u+t\boldsymbol w)\cdot L(s'\boldsymbol u+t'\boldsymbol w)=ss'\,\boldsymbol u'\cdot\boldsymbol u'+(st'+ts')\,\boldsymbol u'\cdot\boldsymbol w'+tt'\,\boldsymbol w'\cdot\boldsymbol w'=(s\boldsymbol u+t\boldsymbol w)\cdot(s'\boldsymbol u+t'\boldsymbol w)$$

なので $L$ は内積を保つ。とくに $|L\boldsymbol x|=|\boldsymbol x|$ で、$L$ の行列は直交行列である（命題 3.2［スペクトル定理］ の 3 と 1 の同値）。そこで $f(\boldsymbol x)=\boldsymbol a'+L(\boldsymbol x-\boldsymbol a)$ とおくと、定理 2.2 により等長変換で、$f(A)=A'$、$f(B)=A'+L\boldsymbol u=B'$、$f(C)=C'$ である。

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定理 3.4（三角形の合同条件（3 辺））✓

2 つの三角形 $ABC$、$A'B'C'$ が $|A'B'|=|AB|$、$|B'C'|=|BC|$、$|C'A'|=|CA|$ を満たすなら、この対応で合同である。

証明（定理 3.4）

$\boldsymbol u=\boldsymbol b-\boldsymbol a$、$\boldsymbol w=\boldsymbol c-\boldsymbol a$ とすると、前章の 定理 4.1［平面ベクトルと座標］ の 3 から $\boldsymbol u\cdot\boldsymbol w=\tfrac12(|\boldsymbol u|^2+|\boldsymbol w|^2-|\boldsymbol u-\boldsymbol w|^2)=\tfrac12(|AB|^2+|AC|^2-|BC|^2)$ である。$A'B'C'$ についても同様なので、仮定から内積が等しい。補題 3.3 を使う。

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定理 3.5（三角形の合同条件（2 辺とその夾角））✓

2 つの三角形 $ABC$、$A'B'C'$ が $|A'B'|=|AB|$、$|A'C'|=|AC|$、$\angle A'=\angle A$ を満たすなら、この対応で合同である。

証明（定理 3.5）

前章の 定義 4.2［平面ベクトルと座標］ から $(\boldsymbol b-\boldsymbol a)\cdot(\boldsymbol c-\boldsymbol a)=|AB||AC|\cos\angle A$ で、$A'B'C'$ も同じ値をとる。補題 3.3 を使う。

∎

ASA（1 辺とその両端の角）には、「角と向きから方向が決まる」という補題が必要です。

補題 3.6（角と向きから方向が決まる）✓

$\boldsymbol a,\boldsymbol w,\boldsymbol w'$ をゼロでないベクトルとし、$\det(\boldsymbol a,\boldsymbol w)$ と $\det(\boldsymbol a,\boldsymbol w')$ は $0$ でなく同じ符号であるとする。$\angle(\boldsymbol a,\boldsymbol w)=\angle(\boldsymbol a,\boldsymbol w')$ ならば、$\boldsymbol w'=k\boldsymbol w$（$k>0$）である。

直感的には、基準のベクトルとの角と、基準の直線のどちら側にあるかが決まれば、ベクトルの向きは 1 つに決まる、ということです。

証明（補題 3.6）

$\hat{\boldsymbol a}=\boldsymbol a/|\boldsymbol a|$、$\hat{\boldsymbol a}^{\perp}=(-\hat a_2,\hat a_1)$、$\hat{\boldsymbol w}=\boldsymbol w/|\boldsymbol w|$ とおく。単位ベクトル $\hat{\boldsymbol a}=(p,q)$ について、任意のベクトル $\boldsymbol v$ は

$$\boldsymbol v=(\boldsymbol v\cdot\hat{\boldsymbol a})\hat{\boldsymbol a}+\det(\hat{\boldsymbol a},\boldsymbol v)\hat{\boldsymbol a}^{\perp}$$

と書ける（右辺の第 1 成分は $(v_1p+v_2q)p-(pv_2-qv_1)q=v_1(p^2+q^2)=v_1$、第 2 成分も同様）。したがって $\hat{\boldsymbol w}$ は 2 つの数 $\hat{\boldsymbol w}\cdot\hat{\boldsymbol a}$ と $\det(\hat{\boldsymbol a},\hat{\boldsymbol w})$ で決まる。仮定から前者は $\cos\angle(\boldsymbol a,\boldsymbol w)$ で、$\hat{\boldsymbol w}'$ と等しい。後者については、ラグランジュの恒等式（定理 4.1［平面ベクトルと座標］ の 4）から $\det(\hat{\boldsymbol a},\hat{\boldsymbol w})^2=1-(\hat{\boldsymbol a}\cdot\hat{\boldsymbol w})^2$ で、$\hat{\boldsymbol w}'$ でも同じ値であり、符号が等しいので $\det(\hat{\boldsymbol a},\hat{\boldsymbol w})=\det(\hat{\boldsymbol a},\hat{\boldsymbol w}')$。ゆえに $\hat{\boldsymbol w}=\hat{\boldsymbol w}'$、すなわち $\boldsymbol w'=k\boldsymbol w$（$k=|\boldsymbol w'|/|\boldsymbol w|>0$）である。

∎

定理 3.7（三角形の合同条件（1 辺とその両端の角））✓

2 つの三角形 $ABC$、$A'B'C'$ が $|A'B'|=|AB|$、$\angle A'=\angle A$、$\angle B'=\angle B$ を満たすなら、この対応で合同である。

証明の方針は次のとおりです。まず回転と平行移動で $A,B$ を $A',B'$ に重ね、$C$ の行き先が直線 $A'B'$ の反対側に来たときは、この直線に関する鏡映で同じ側にそろえます。そのうえで、頂点 $A$ と $B$ の角が等しいことから、$C$ の行き先が $C'$ しかないことを示します。

証明（定理 3.7）

$\boldsymbol u=\boldsymbol b-\boldsymbol a$、$\boldsymbol u'=\boldsymbol b'-\boldsymbol a'$ は同じ長さなので、$R(\theta)\boldsymbol u=\boldsymbol u'$ となる $\theta$ がある（命題 4.3［平面ベクトルと座標］ の向きつきの角を使う）。$f_1(\boldsymbol x)=\boldsymbol a'+R(\theta)(\boldsymbol x-\boldsymbol a)$ は等長変換で、$f_1(A)=A'$、$f_1(B)=B'$ である。直線 $A'B'$ に関する鏡映 $\sigma$（定理 2.4 の 3 で $\alpha=0$ の場合。$A',B'$ は不動で、$\boldsymbol x-\boldsymbol a'$ の $\boldsymbol u'$ に垂直な成分を反転する）を使うと、$\det(\boldsymbol u',\sigma(\boldsymbol x)-\boldsymbol a')=-\det(\boldsymbol u',\boldsymbol x-\boldsymbol a')$ である。そこで $g=f_1$ または $g=\sigma\circ f_1$ を、$C^*=g(C)$ が $C'$ と直線 $A'B'$ について同じ側（$\det(\boldsymbol u',\cdot-\boldsymbol a')$ が同符号）になるように選ぶ。$C^*$ は一直線上にない 3 点 $A',B',C^*$ の 1 つ、$C'$ も同様なので、どちらの行列式もゼロでない。

$g$ は等長変換の合成なので等長変換で、補題 3.2（$k=1$）により角を保つので $\angle B'A'C^*=\angle BAC=\angle B'A'C'$。補題 3.6（$\boldsymbol a=\boldsymbol u'$）から、$C'-A'=k(C^*-A')$（$k>0$）。同様に頂点 $B'$ では、$\det(A'-B',\cdot-B')$ を考えると $\det(A'-B',C^*-B')=-\det(\boldsymbol u',C^*-A')$ で、$C'$ についても同じ式なので同符号であり、$\angle A'B'C^*=\angle ABC=\angle A'B'C'$ から $C'-B'=k'(C^*-B')$（$k'>0$）を得る。$\boldsymbol y=C^*-A'$ とおくと、$C'-A'=k\boldsymbol y$ と $C'-A'=(B'-A')+k'(\boldsymbol y-(B'-A'))=(1-k')\boldsymbol u'+k'\boldsymbol y$ から $(k-k')\boldsymbol y=(1-k')\boldsymbol u'$。$\boldsymbol y,\boldsymbol u'$ は 1 次独立なので $k=k'=1$、すなわち $C'=C^*=g(C)$ である。

∎

命題 3.8（二等辺三角形の底角）✓

三角形 $ABC$ について、$|AB|=|AC|\iff\angle B=\angle C$ である。

証明（命題 3.8）

（$\Rightarrow$）三角形 $A'B'C'=ACB$（$A'=A$、$B'=C$、$C'=B$）を考える。$|A'B'|=|AC|=|AB|=|C'A'|$、$|A'C'|=|AB|=|AC|=|B'A'|$、$|B'C'|=|CB|$ なので 定理 3.4 が使え、等長変換 $f$ で $f(A)=A$、$f(B)=C$、$f(C)=B$ となるものがある。補題 3.2（$k=1$）により $f$ は角を保つので $\angle ABC=\angle f(A)f(B)f(C)=\angle ACB$。

（$\Leftarrow$）同じ三角形 $ACB$ を考える。$|A'B'|$ に相当する辺として $|BC|=|C'B'|$ を取る。$\angle B=\angle C$ なので、対応 $B\mapsto C$、$C\mapsto B$、$A\mapsto A$ について、辺 $BC$ とその両端の角が等しい。定理 3.7 により等長変換 $f$ で $f(B)=C$、$f(C)=B$、$f(A)=A$ となるものがあり、$|AB|=|f(A)f(B)|=|AC|$ である。

∎

例 3.9（2 辺と 1 角（夾角でない）では合同が決まらない）

$B=(0,0)$、$A=(3,4)$、$C=(5,0)$、$C'=(1,0)$ とする。$|BA|=5$、$|AC|=|AC'|=\sqrt{20}$ で、2 つの三角形 $ABC$、$ABC'$ は $\angle B$（$x$ 軸の正の向きと $\overrightarrow{BA}$ のなす角）も共通である。しかし $|BC|=5$、$|BC'|=1$ で、辺の長さが異なるので合同ではない。「2 辺と夾角でない角」は合同条件にならない。定理 5.1［三角比と三角形の計量］ で、解がいくつあるかを完全に調べる。

4. 相似

定義 4.1（相似変換と相似）↗

正の実数 $k$ があって、任意の 2 点 $P,Q$ について $|f(P)-f(Q)|=k|P-Q|$ を満たす写像 $f$ を、比 $k$ の相似変換という。図形 $F,F'$ が相似であるとは、相似変換 $f$ で $f(F)=F'$ となるものがあることをいう。三角形についての対応つきの相似も、合同と同様に定める。

$f$ が比 $k$ の相似変換なら、$\boldsymbol x\mapsto\frac1kf(\boldsymbol x)$ は等長変換なので、定理 2.2 から $f(\boldsymbol x)=kO\boldsymbol x+\boldsymbol t$ の形です。相似変換は差ベクトルの内積を $k^2$ 倍し、辺の長さを $k$ 倍し、角を保ちます（補題 3.2）。

定理 4.2（三角形の相似条件）✓

2 つの三角形 $ABC$、$A'B'C'$ について、次の 4 条件は同値である。

1. この対応で相似である。
2. $\dfrac{|A'B'|}{|AB|}=\dfrac{|B'C'|}{|BC|}=\dfrac{|C'A'|}{|CA|}$。
3. $\dfrac{|A'B'|}{|AB|}=\dfrac{|A'C'|}{|AC|}$ かつ $\angle A'=\angle A$。
4. $\angle A'=\angle A$ かつ $\angle B'=\angle B$。

証明（定理 4.2）

（1 ⇒ 2, 3, 4）相似変換は辺を $k$ 倍し、角を保つ（補題 3.2）。

（2, 3, 4 ⇒ 1）それぞれの場合に、比 $k$ を次のようにとる。2 のときは共通の比、3 のときは $k=|A'B'|/|AB|$、4 のときも $k=|A'B'|/|AB|$ とする。拡大 $\delta(\boldsymbol x)=k\boldsymbol x$ は $|\delta(P)-\delta(Q)|=k|P-Q|$ を満たす（前章の 定理 4.1［平面ベクトルと座標］ の 2）ので、像 $\delta(A)\delta(B)\delta(C)$ は、辺の長さが $k|AB|,k|BC|,k|CA|$、角が（補題 3.2 により）$\angle A,\angle B,\angle C$ である。2 では 3 辺が $A'B'C'$ の 3 辺と等しく、3 では 2 辺とその夾角が、4 では 1 辺（$k|AB|=|A'B'|$）とその両端の角が等しいので、それぞれ 定理 3.4、定理 3.5、定理 3.7 により等長変換 $g$ で $g(\delta(A))=A'$、$g(\delta(B))=B'$、$g(\delta(C))=C'$ となるものがある。$g\circ\delta$ が求める相似変換（比 $k$）である。

∎

5. 平行線と角、内角の和

定義 5.1（平行）↗

2 直線 $\ell=\{\boldsymbol p+s\boldsymbol a\}$、$m=\{\boldsymbol q+s\boldsymbol b\}$（$\boldsymbol a,\boldsymbol b\ne\boldsymbol 0$）が平行であるとは、$\boldsymbol a,\boldsymbol b$ が 1 次従属（$\det(\boldsymbol a,\boldsymbol b)=0$）であることをいい、$\ell\parallel m$ と書く。2 直線が一致する場合も含める。

座標平面では、点 $P$ を通り直線 $\ell$ に平行な直線は、方向ベクトルを $\ell$ のものに取ればちょうど 1 本です。ユークリッドの第 5 公準が公理として要る理由は、公理から出発する幾何だからで、ここでは定義から従います。

横断線と 2 直線の同位角・錯角を、ベクトルで言い直します。$\ell,m$ を直線、$P\in\ell$、$Q\in m$（$P\ne Q$）とし、$\boldsymbol t=\overrightarrow{PQ}$、$\ell,m$ の方向ベクトルを $\boldsymbol a,\boldsymbol b$ とします。直線 $PQ$ が $\ell,m$ のどちらとも平行でない（$\det(\boldsymbol t,\boldsymbol a)\ne0$、$\det(\boldsymbol t,\boldsymbol b)\ne0$）とします。$\det(\boldsymbol t,\cdot)$ の符号は、ベクトルが直線 $PQ$ のどちら側を向くかを表します。

命題 5.2（平行線と同位角・錯角）✓

上の設定で次が成り立つ。

1. （同位角）$\det(\boldsymbol t,\boldsymbol a)$ と $\det(\boldsymbol t,\boldsymbol b)$ が同符号のとき、$\ell\parallel m\iff\angle(\boldsymbol a,\boldsymbol t)=\angle(\boldsymbol b,\boldsymbol t)$。
2. （錯角）$\det(\boldsymbol t,\boldsymbol a)$ と $\det(\boldsymbol t,\boldsymbol b)$ が異符号のとき、$\ell\parallel m\iff\angle(\boldsymbol a,\boldsymbol t)=\angle(\boldsymbol b,-\boldsymbol t)$。

証明（命題 5.2）

1: $\ell\parallel m$ なら $\boldsymbol b=k\boldsymbol a$（$k\ne0$）で、$\det(\boldsymbol t,\boldsymbol b)=k\det(\boldsymbol t,\boldsymbol a)$ が同符号なので $k>0$。よって $\angle(\boldsymbol b,\boldsymbol t)=\angle(\boldsymbol a,\boldsymbol t)$。逆に $\angle(\boldsymbol t,\boldsymbol a)=\angle(\boldsymbol t,\boldsymbol b)$ なら、補題 3.6（$\boldsymbol t$ を固定ベクトルとする）から $\boldsymbol b=k\boldsymbol a$（$k>0$）で、$\ell\parallel m$。

2: $-\boldsymbol b$ も $m$ の方向ベクトルで、$\det(\boldsymbol t,-\boldsymbol b)$ は $\det(\boldsymbol t,\boldsymbol a)$ と同符号である。1 を $\boldsymbol a$ と $-\boldsymbol b$ に使うと、$\ell\parallel m\iff\angle(\boldsymbol a,\boldsymbol t)=\angle(-\boldsymbol b,\boldsymbol t)$ で、$\angle(-\boldsymbol b,\boldsymbol t)=\angle(\boldsymbol b,-\boldsymbol t)$（両方の符号を反転しても内積と長さは変わらない）である。

∎

次に内角の和です。向きつきの角の加法性（命題 4.5［平面ベクトルと座標］ の 4）を使います。まず、角の内部の半直線による角の分割を補題にします。

補題 5.3（角の加法）✓

$\boldsymbol u,\boldsymbol w$ を 1 次独立なベクトルとし、$\boldsymbol p=s\boldsymbol u+t\boldsymbol w$（$s,t>0$）とする。このとき

$$\angle(\boldsymbol u,\boldsymbol p)+\angle(\boldsymbol p,\boldsymbol w)=\angle(\boldsymbol u,\boldsymbol w)$$

である。

証明（補題 5.3）

$\det(\boldsymbol u,\boldsymbol w)>0$ としてよい（負なら $\boldsymbol u,\boldsymbol w$ を入れ替える。$\angle$ は対称で $\boldsymbol p=t\boldsymbol w+s\boldsymbol u$ も同じ形）。$\det(\boldsymbol u,\boldsymbol p)=t\det(\boldsymbol u,\boldsymbol w)>0$、$\det(\boldsymbol p,\boldsymbol w)=s\det(\boldsymbol u,\boldsymbol w)>0$ である。前章の 命題 4.5［平面ベクトルと座標］ の 1 により、$\operatorname{ang}(\boldsymbol u,\boldsymbol p)$、$\operatorname{ang}(\boldsymbol p,\boldsymbol w)$、$\operatorname{ang}(\boldsymbol u,\boldsymbol w)$ はすべて $\sin>0$、つまり $(0,\pi)$ の元で、それぞれ $\angle$ に等しい（同 2）。同 4 から $\operatorname{ang}(\boldsymbol u,\boldsymbol p)+\operatorname{ang}(\boldsymbol p,\boldsymbol w)\equiv\operatorname{ang}(\boldsymbol u,\boldsymbol w)\pmod{2\pi}$ で、左辺は $(0,2\pi)$、右辺は $(0,\pi)$ にあるので等号が成り立つ。

∎

定理 5.4（三角形の内角の和）✓

任意の三角形 $ABC$ について $\angle A+\angle B+\angle C=\pi$ である。

証明の方針は、三角形の辺を 1 周しながら、進む向きが各頂点でどれだけ変わるかを足すことです。1 周すると元の向きに戻るので、向きの変化の合計は $2\pi$ になります（下の図）。内角は各頂点での向きの変化を $\pi$ から引いたものなので、内角の和は $3\pi-2\pi=\pi$ になります。

証明（定理 5.4）

$S(A,B,C)>0$ としてよい（負なら $B,C$ の名前を入れ替える。角の和は対称）。$\boldsymbol u=\boldsymbol b-\boldsymbol a$、$\boldsymbol v=\boldsymbol c-\boldsymbol b$、$\boldsymbol w=\boldsymbol a-\boldsymbol c$ とおく（$\boldsymbol u+\boldsymbol v+\boldsymbol w=\boldsymbol 0$）。前章の 命題 6.2［平面ベクトルと座標］ の 1 から、

$$\det(\boldsymbol u,\boldsymbol v)=\det(\boldsymbol v,\boldsymbol w)=\det(\boldsymbol w,\boldsymbol u)=2S(A,B,C)>0$$

（たとえば $\det(\boldsymbol u,\boldsymbol v)=\det(\boldsymbol b-\boldsymbol a,\boldsymbol c-\boldsymbol a)-\det(\boldsymbol b-\boldsymbol a,\boldsymbol b-\boldsymbol a)$）。したがって 命題 4.5［平面ベクトルと座標］ の 1 より、$\theta_1=\operatorname{ang}(\boldsymbol u,\boldsymbol v)$、$\theta_2=\operatorname{ang}(\boldsymbol v,\boldsymbol w)$、$\theta_3=\operatorname{ang}(\boldsymbol w,\boldsymbol u)$ はどれも $\sin>0$ で $(0,\pi)$ の元である。同 4 から $\theta_1+\theta_2+\theta_3\equiv\operatorname{ang}(\boldsymbol u,\boldsymbol u)=0\pmod{2\pi}$ で、和は $(0,3\pi)$ にあるので $\theta_1+\theta_2+\theta_3=2\pi$ である。

内角との関係を調べる。頂点 $B$ の内角は $-\boldsymbol u=\overrightarrow{BA}$ と $\boldsymbol v=\overrightarrow{BC}$ のなす角で、$\cos\angle B=\dfrac{-\boldsymbol u\cdot\boldsymbol v}{|\boldsymbol u||\boldsymbol v|}=-\cos\theta_1=\cos(\pi-\theta_1)$。$\pi-\theta_1\in(0,\pi)$ で、余弦は $[0,\pi]$ で単射（補題 9.1［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］ の 2）なので $\angle B=\pi-\theta_1$ である。同様に $\angle C=\angle(-\boldsymbol v,\boldsymbol w)=\pi-\theta_2$、$\angle A=\angle(-\boldsymbol w,\boldsymbol u)=\pi-\theta_3$。ゆえに $\angle A+\angle B+\angle C=3\pi-2\pi=\pi$ である。

∎

三角形の外角（向きの変わる角）θ1, θ2, θ3。辺をたどるときの向きは、各頂点でそれぞれ θ だけ反時計回りに変わり、一周するとちょうど 2π になる。内角は π − θ

高校では、三角形の内角の和を「平行線の錯角が等しい」ことから示します（頂点を通る底辺の平行線を引く）。その証明は 命題 5.2 と同じ内容です。ここでは平行線を引かずに、向きの変化を足し合わせて示しました。

定義 5.5（凸多角形・内角・外角）↗

$n\ge3$ とする。平面の $n$ 点 $A_1,\dots,A_n$ が、$i<j<k$ を満たすどの 3 つの添え字についても $S(A_i,A_j,A_k)>0$ を満たすとき、$A_1A_2\cdots A_n$ を（反時計回りの）凸 $n$ 角形という。添え字を $n$ を法として巡回させる（$A_0=A_n$、$A_{n+1}=A_1$）。頂点 $A_i$ での内角を $\angle A_{i-1}A_iA_{i+1}$、外角を $\pi$ から内角を引いた数とする。

$S$ は巡回で不変なので、巡回置換した 3 点も反時計回りです。したがって凸多角形の定義は頂点の番号の付け替え（巡回）で変わりません。

系 5.6（凸多角形の内角の和と外角の和）✓

凸 $n$ 角形の内角の和は $(n-2)\pi$、外角の和は $2\pi$ である。

証明（系 5.6）

頂点 $A_1$ から対角線を引いて、$n-2$ 個の三角形 $T_j=A_1A_jA_{j+1}$（$j=2,\dots,n-1$）に分ける。各 $T_j$ は反時計回り（$S(A_1,A_j,A_{j+1})>0$）の三角形で、定理 5.4 から角の総和は $(n-2)\pi$ である。多角形の内角の和がこれに等しいことを示す。

頂点 $A_2$ と $A_n$ では、内角は 1 つの三角形（$T_2$、$T_{n-1}$）の角に等しい。頂点 $A_1$ では $\boldsymbol u_j=\boldsymbol a_j-\boldsymbol a_1$ とおくと、$2<j<n$ について $\det(\boldsymbol u_2,\boldsymbol u_j)>0$、$\det(\boldsymbol u_j,\boldsymbol u_n)>0$、$\det(\boldsymbol u_2,\boldsymbol u_n)>0$ である（$S(A_1,A_2,A_j)$ などが正）。前章の 命題 3.1［平面ベクトルと座標］ の公式で $\boldsymbol u_j=s\boldsymbol u_2+t\boldsymbol u_n$ と書くと $s=\det(\boldsymbol u_j,\boldsymbol u_n)/\det(\boldsymbol u_2,\boldsymbol u_n)>0$、$t=\det(\boldsymbol u_2,\boldsymbol u_j)/\det(\boldsymbol u_2,\boldsymbol u_n)>0$。補題 5.3 を $j=3,4,\dots,n-1$ の順に使うと（$j$ 番目の使用では $\boldsymbol u_2$ と $\boldsymbol u_{j+1}$ の間に $\boldsymbol u_j$ が入る。同じ符号の議論による）

$$\angle A_2A_1A_n=\sum_{j=2}^{n-1}\angle A_jA_1A_{j+1}$$

を得る。$3\le k\le n-1$ の頂点 $A_k$ でも、$\boldsymbol a=\overrightarrow{A_kA_{k+1}}$、$\boldsymbol b=\overrightarrow{A_kA_{k-1}}$、$\boldsymbol p=\overrightarrow{A_kA_1}$ について $\det(\boldsymbol a,\boldsymbol b)>0$、$\det(\boldsymbol a,\boldsymbol p)>0$、$\det(\boldsymbol p,\boldsymbol b)>0$（$S(A_{k-1},A_k,A_{k+1})$、$S(A_1,A_k,A_{k+1})$、$S(A_1,A_{k-1},A_k)$ が正であることの巡回的な言い換え）なので、$\boldsymbol p=s\boldsymbol a+t\boldsymbol b$ と書くと $s=\det(\boldsymbol p,\boldsymbol b)/\det(\boldsymbol a,\boldsymbol b)>0$、$t=\det(\boldsymbol a,\boldsymbol p)/\det(\boldsymbol a,\boldsymbol b)>0$。補題 5.3 より $\angle A_{k-1}A_kA_{k+1}=\angle A_{k+1}A_kA_1+\angle A_1A_kA_{k-1}$、すなわち内角は $T_{k-1}$ と $T_k$ の頂点 $A_k$ での角の和である。これですべての三角形の角がちょうど 1 回ずつ多角形の内角に数えられたので、内角の和は $(n-2)\pi$、外角の和は $n\pi-(n-2)\pi=2\pi$ である。

∎

注意 5.7（ユークリッドの第 5 公準と非ユークリッド幾何）

この章では平行線に関する公理を一切置いていません。座標平面 $\mathbb{R}^2$ が最初からユークリッド幾何の模型になっているからです。公理から出発する立場では、「三角形の内角の和が $\pi$」は第 5 公準と同値な事実になります。第 5 公準を除いた体系（絶対幾何）でも内角の和は $\pi$ 以下であること（Saccheri–Legendre の定理）、内角の和が $\pi$ 未満の模型（双曲幾何）が存在することが知られています。出典: R. Hartshorne, Geometry: Euclid and Beyond, Springer, 2000（公理系と同値な命題の整理）、M. J. Greenberg, Euclidean and Non-Euclidean Geometries, W. H. Freeman。大学では、等長変換の群の作用（algebra）や、曲がった曲面上の幾何（differential-geometry）としてこの話が続きます。

また、多角形の「内部」と「外部」の定義（非凸の多角形や一般の閉曲線の場合）には Jordan の曲線定理が背景にあります（定理 4.2［Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理］）。この章は凸多角形だけを扱い、Jordan の曲線定理は使いません。

6. 辺と角の大小・三角形の成立条件

補題 6.1（頂点の角の余弦を辺の長さで表す）✓

三角形 $ABC$ で $a=|BC|$、$b=|CA|$、$c=|AB|$ とすると、

$$\cos\angle B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac},\qquad\cos\angle C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab},\qquad\cos\angle A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$

である。

証明（補題 6.1）

$\boldsymbol u=\overrightarrow{BA}$、$\boldsymbol w=\overrightarrow{BC}$ とすると $|\boldsymbol u-\boldsymbol w|=|\overrightarrow{CA}|=b$ で、定理 4.1［平面ベクトルと座標］ の 3 から $2\boldsymbol u\cdot\boldsymbol w=|\boldsymbol u|^2+|\boldsymbol w|^2-|\boldsymbol u-\boldsymbol w|^2=c^2+a^2-b^2$。$\cos\angle B=\dfrac{\boldsymbol u\cdot\boldsymbol w}{|\boldsymbol u||\boldsymbol w|}=\dfrac{\boldsymbol u\cdot\boldsymbol w}{ca}$ に代入する。他の 2 式も同様。

∎

これは次の章の余弦定理そのものですが、角の大小の証明に必要なので、ここで先に示しておきます。

定理 6.2（三角形の成立条件）✓

正の実数 $a,b,c$ について、$|BC|=a$、$|CA|=b$、$|AB|=c$ となる三角形 $ABC$ が存在することと、$|b-c|<a<b+c$（3 つの数のどれもが他の 2 つの和より小さい）が成り立つことは同値である。

証明（定理 6.2）

（$\Rightarrow$）$\boldsymbol u=\overrightarrow{AB}$、$\boldsymbol w=\overrightarrow{AC}$ は 1 次独立（三角形の定義）なので、定理 4.1［平面ベクトルと座標］ の 5（等号条件）から $|\boldsymbol u\cdot\boldsymbol w|<|\boldsymbol u||\boldsymbol w|$。$a^2=|\boldsymbol u-\boldsymbol w|^2=b^2+c^2-2\boldsymbol u\cdot\boldsymbol w<b^2+c^2+2bc=(b+c)^2$、$a^2>(b-c)^2$ である。

（$\Leftarrow$）$B=(0,0)$、$C=(a,0)$、$A=(x,y)$ として、$x=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2a}$、$y=\sqrt{c^2-x^2}$ とおく。$c^2-x^2$ を因数分解すると

$$c^2-x^2=\frac{(2ac-a^2-c^2+b^2)(2ac+a^2+c^2-b^2)}{4a^2}=\frac{(b-a+c)(b+a-c)(a+c-b)(a+c+b)}{4a^2}$$

で、仮定から 4 つの因子はすべて正なので $y>0$ である。$|AB|^2=x^2+y^2=c^2$、$|AC|^2=(x-a)^2+y^2=c^2-2ax+a^2=c^2-(a^2+c^2-b^2)+a^2=b^2$。$y\ne0$ なので $A,B,C$ は一直線上にない。

∎

定理 6.3（辺と角の大小関係）✓

三角形 $ABC$ について、$|CA|>|AB|\iff\angle B>\angle C$ である。

証明（定理 6.3）

補題 6.1 から

$$\cos\angle B-\cos\angle C=\frac{b(a^2+c^2-b^2)-c(a^2+b^2-c^2)}{2abc}=\frac{(b-c)\bigl(a^2-(b+c)^2\bigr)}{2abc}$$

（分子を $a^2(b-c)+bc(c-b)-(b^3-c^3)$ と整理して因数分解した）。定理 6.2 により $a<b+c$ なので $a^2-(b+c)^2<0$ で、$\cos\angle B-\cos\angle C$ の符号は $b-c$ の符号と逆である。余弦関数は $[0,\pi]$ で狭義単調減少なので（補題 9.1［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］）、$b>c\iff\cos\angle B<\cos\angle C\iff\angle B>\angle C$。

∎

7. 比に関する定理

定理 7.1（平行線と線分の比）✓

1. 三角形 $ABC$ と、$D=A+s(B-A)$、$E=A+t(C-A)$（$s,t\ne0$、つまり $D,E$ は直線 $AB$、$AC$ 上で $A$ と異なる点）について、$DE\parallel BC\iff s=t$。このとき $|AD|:|AB|=|AE|:|AC|=|DE|:|BC|=|s|$ である。
2. 3 本の相異なる平行線 $\ell_1,\ell_2,\ell_3$（方向ベクトル $\boldsymbol e$）が、$\boldsymbol e$ と平行でない 2 直線 $m,m'$ とそれぞれ $A_i,B_i$ で交わるとき、$|A_1A_2|:|A_2A_3|=|B_1B_2|:|B_2B_3|$ である。

証明（定理 7.1）

1: $\boldsymbol e-\boldsymbol d=t(\boldsymbol c-\boldsymbol a)-s(\boldsymbol b-\boldsymbol a)$ で、$\boldsymbol c-\boldsymbol b=(\boldsymbol c-\boldsymbol a)-(\boldsymbol b-\boldsymbol a)$ である。$\boldsymbol b-\boldsymbol a$ と $\boldsymbol c-\boldsymbol a$ は 1 次独立なので、$DE\parallel BC$、すなわち $\boldsymbol e-\boldsymbol d=k(\boldsymbol c-\boldsymbol b)$ となる $k$ があることと、係数を比べて $t=k$、$-s=-k$（前章の 命題 3.1［平面ベクトルと座標］ の一意性）、すなわち $s=t$ は同値である。このとき $\overrightarrow{AD}=s\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AE}=s\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{DE}=s\overrightarrow{BC}$ である。

2: $\varphi(\boldsymbol x)=\det(\boldsymbol e,\boldsymbol x)$ とおくと、$\varphi(\boldsymbol x+\lambda\boldsymbol e)=\varphi(\boldsymbol x)$ なので、$\varphi$ は各 $\ell_i$ 上で定数 $c_i$ をとる。$\ell_i$ は相異なるので $c_i$ は相異なる（前章の 命題 5.5［平面ベクトルと座標］ の 1）。$m=\{\boldsymbol p+s\boldsymbol d\}$、$A_i=\boldsymbol p+s_i\boldsymbol d$ とすると $c_i=\varphi(A_i)=\varphi(\boldsymbol p)+s_i\det(\boldsymbol e,\boldsymbol d)$ で、$\det(\boldsymbol e,\boldsymbol d)\ne0$ なので $s_i=(c_i-\varphi(\boldsymbol p))/\det(\boldsymbol e,\boldsymbol d)$。同様に $B_i=\boldsymbol q+t_i\boldsymbol d'$ について $t_i=(c_i-\varphi(\boldsymbol q))/\det(\boldsymbol e,\boldsymbol d')$。したがって $\dfrac{s_2-s_1}{s_3-s_2}=\dfrac{c_2-c_1}{c_3-c_2}=\dfrac{t_2-t_1}{t_3-t_2}$ で、$|A_1A_2|:|A_2A_3|=|s_2-s_1|:|s_3-s_2|$ なので結論を得る。

∎

定理 7.2（中点連結定理）✓

三角形 $ABC$ の辺 $AB$、$AC$ の中点を $M$、$N$ とすると、$MN\parallel BC$ かつ $|MN|=\tfrac12|BC|$ である。逆に、辺 $AB$ の中点 $M$ を通り $BC$ に平行な直線は、辺 $AC$ の中点を通る。

証明（定理 7.2）

$\boldsymbol n-\boldsymbol m=\dfrac{\boldsymbol a+\boldsymbol c}{2}-\dfrac{\boldsymbol a+\boldsymbol b}{2}=\dfrac{\boldsymbol c-\boldsymbol b}{2}$ から前半を得る（$MN\parallel BC$ は 定理 7.1 の 1 で $s=t=\tfrac12$ の場合でもある）。逆: $M$ を通り $BC$ に平行な直線上の点は

$$\boldsymbol m+\lambda(\boldsymbol c-\boldsymbol b)=\boldsymbol a+\bigl(\tfrac12-\lambda\bigr)(\boldsymbol b-\boldsymbol a)+\lambda(\boldsymbol c-\boldsymbol a)$$

と書ける。$\boldsymbol b-\boldsymbol a$、$\boldsymbol c-\boldsymbol a$ は 1 次独立なので、この点が直線 $AC$ 上にある（$\boldsymbol b-\boldsymbol a$ の係数が $0$）のは $\lambda=\tfrac12$ のときだけで（命題 3.1［平面ベクトルと座標］ の一意性）、その点は $\boldsymbol a+\tfrac12(\boldsymbol c-\boldsymbol a)=\boldsymbol n$、すなわち辺 $AC$ の中点である。

∎

補題 7.3（角の二等分線の方向）✓

$A,B,C$ を一直線上にない 3 点とし、$\boldsymbol u=\overrightarrow{AB}$、$\boldsymbol w=\overrightarrow{AC}$、$\hat{\boldsymbol u}=\boldsymbol u/|\boldsymbol u|$、$\hat{\boldsymbol w}=\boldsymbol w/|\boldsymbol w|$ とする。 $\boldsymbol p=s\boldsymbol u+t\boldsymbol w$（$s,t>0$、つまり角 $BAC$ の内部の方向）について、$\angle(\boldsymbol u,\boldsymbol p)=\angle(\boldsymbol p,\boldsymbol w)$ であることと、$\boldsymbol p=\lambda(\hat{\boldsymbol u}+\hat{\boldsymbol w})$（$\lambda>0$）であることは同値である。

証明（補題 7.3）

$\hat{\boldsymbol u},\hat{\boldsymbol w}$ は 1 次独立なので、$\hat{\boldsymbol u}-\hat{\boldsymbol w}\ne\boldsymbol 0$、$\hat{\boldsymbol u}+\hat{\boldsymbol w}\ne\boldsymbol 0$ である。$|\hat{\boldsymbol u}|=|\hat{\boldsymbol w}|=1$ なので、$\angle(\boldsymbol u,\boldsymbol p)=\angle(\boldsymbol p,\boldsymbol w)$ は余弦が等しいこと $\hat{\boldsymbol u}\cdot\boldsymbol p=\hat{\boldsymbol w}\cdot\boldsymbol p$、つまり $(\hat{\boldsymbol u}-\hat{\boldsymbol w})\cdot\boldsymbol p=0$ と同値である。

（$\Rightarrow$）$(\hat{\boldsymbol u}-\hat{\boldsymbol w})\cdot\boldsymbol p=0$ を満たすベクトルの全体は、前章の 命題 5.5［平面ベクトルと座標］ の 2 により原点を通る直線である。$(\hat{\boldsymbol u}+\hat{\boldsymbol w})\cdot(\hat{\boldsymbol u}-\hat{\boldsymbol w})=|\hat{\boldsymbol u}|^2-|\hat{\boldsymbol w}|^2=0$ から、この直線は $\hat{\boldsymbol u}+\hat{\boldsymbol w}\ne\boldsymbol 0$ を含むので、$\hat{\boldsymbol u}+\hat{\boldsymbol w}$ の実数倍の全体に等しい。よって $\boldsymbol p=\lambda(\hat{\boldsymbol u}+\hat{\boldsymbol w})$ と書ける。一方 $\boldsymbol p=s\boldsymbol u+t\boldsymbol w=s|\boldsymbol u|\hat{\boldsymbol u}+t|\boldsymbol w|\hat{\boldsymbol w}$ で、$\hat{\boldsymbol u},\hat{\boldsymbol w}$ による表し方の一意性から $\lambda=s|\boldsymbol u|=t|\boldsymbol w|>0$ である。

（$\Leftarrow$）$\boldsymbol p=\lambda(\hat{\boldsymbol u}+\hat{\boldsymbol w})$ なら $\hat{\boldsymbol u}\cdot\boldsymbol p=\lambda(1+\hat{\boldsymbol u}\cdot\hat{\boldsymbol w})=\hat{\boldsymbol w}\cdot\boldsymbol p$ なので、余弦が等しい。

∎

定理 7.4（角の二等分線の定理）✓

三角形 $ABC$ で $a=|BC|$、$b=|CA|$、$c=|AB|$ とする。

1. 辺 $BC$ 上の点 $D$ について、$\angle BAD=\angle DAC\iff|BD|:|DC|=c:b$。
2. $b\ne c$ のとき、$A$ を通り $\hat{\boldsymbol u}-\hat{\boldsymbol w}$（$\hat{\boldsymbol u}=\overrightarrow{AB}/c$、$\hat{\boldsymbol w}=\overrightarrow{AC}/b$）を方向ベクトルとする直線（外角の二等分線）は直線 $BC$ とただ 1 点 $D'$ で交わり、$D'$ は線分 $BC$ の外にあって $|D'B|:|D'C|=c:b$ である。$b=c$ のときこの直線は $BC$ に平行である。

証明（定理 7.4）

$\boldsymbol u=\overrightarrow{AB}$、$\boldsymbol w=\overrightarrow{AC}$ とし、直線 $BC$ 上の点を $D=B+\tau(C-B)$ と書く。$\overrightarrow{AD}=(1-\tau)\boldsymbol u+\tau\boldsymbol w=(1-\tau)c\,\hat{\boldsymbol u}+\tau b\,\hat{\boldsymbol w}$ である。

1: $D$ が線分 $BC$ 上（$0<\tau<1$）なら $\overrightarrow{AD}$ は内部の方向なので、補題 7.3 から $\angle BAD=\angle DAC\iff\overrightarrow{AD}=\lambda(\hat{\boldsymbol u}+\hat{\boldsymbol w})$（$\lambda>0$）で、$\hat{\boldsymbol u},\hat{\boldsymbol w}$ の 1 次独立性から $(1-\tau)c=\tau b$ と同値である。$|BD|=\tau a$、$|DC|=(1-\tau)a$ なので、これは $|BD|:|DC|=\tau:(1-\tau)=c:b$ である。（$\tau=0,1$ のとき $D=B,C$ で角が $0$ になるので除く。）

2: $\overrightarrow{AD'}=\kappa(\hat{\boldsymbol u}-\hat{\boldsymbol w})$ とすると、係数を比べて $(1-\tau)c=\kappa$、$\tau b=-\kappa$。ゆえに $(1-\tau)c+\tau b=0$、すなわち $\tau(b-c)=-c$ で、$b\ne c$ のとき $\tau=\dfrac{c}{c-b}$、$1-\tau=\dfrac{-b}{c-b}$ とただ 1 つに決まる。$\tau$ は $[0,1]$ の外にある（$c>b$ なら $\tau>1$、$c<b$ なら $\tau<0$）ので $D'$ は線分の外で、$|D'B|:|D'C|=|\tau|:|1-\tau|=c:b$。$b=c$ のとき方程式は $c=0$ になって解がなく、直線は平行である。

∎

角の二等分線の定理。$A$ からの二等分線が辺 $BC$ と交わる点を $D$ とすると、$|BD|:|DC|=c:b$。同じ色の辺が対応する

命題 7.5（平行四辺形になる条件）✓

四角形 $ABCD$（$A,B,D$ は一直線上にない）について、次は同値である。

1. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$（$\boldsymbol b-\boldsymbol a=\boldsymbol c-\boldsymbol d$）。
2. 対角線 $AC$ と $BD$ の中点が一致する（$\boldsymbol a+\boldsymbol c=\boldsymbol b+\boldsymbol d$）。
3. $AB\parallel DC$ かつ $AD\parallel BC$（2 組の対辺が平行）。

これらが成り立つとき、$ABCD$ を平行四辺形といい、対辺は等しく、対角は等しい。

証明（命題 7.5）

（1 ⇔ 2）どちらも $\boldsymbol c=\boldsymbol b+\boldsymbol d-\boldsymbol a$ と同値である。（1 ⇒ 3）$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ から $AB\parallel DC$。また $\boldsymbol c-\boldsymbol b=\boldsymbol d-\boldsymbol a$ より $AD\parallel BC$。（3 ⇒ 1）$\boldsymbol u=\boldsymbol b-\boldsymbol a$、$\boldsymbol v=\boldsymbol d-\boldsymbol a$ は 1 次独立で、$\boldsymbol c-\boldsymbol a=x\boldsymbol u+y\boldsymbol v$ と書ける。$\boldsymbol c-\boldsymbol d=x\boldsymbol u+(y-1)\boldsymbol v$ が $\boldsymbol u$ に平行なので $y=1$、$\boldsymbol c-\boldsymbol b=(x-1)\boldsymbol u+y\boldsymbol v$ が $\boldsymbol v$ に平行なので $x=1$。よって $\boldsymbol c=\boldsymbol a+\boldsymbol u+\boldsymbol v$、$\boldsymbol b-\boldsymbol a=\boldsymbol c-\boldsymbol d=\boldsymbol u$。対辺が等しいことは、$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$、$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ の長さをとれば $|AB|=|DC|$、$|AD|=|BC|$ である。対角が等しいことは、$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$、$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ なので $\angle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})=\angle(\overrightarrow{CD},\overrightarrow{CB})$（ともに $\boldsymbol u,\boldsymbol v$ と $-\boldsymbol u,-\boldsymbol v$ のなす角）から従う。

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命題 7.6（等積変形と面積比）✓

1. 三角形 $ABC$ の頂点 $A$ を、$BC$ に平行な直線上で動かしても、面積は変わらない。
2. 三角形 $ABC$ と、直線 $BC$ 上の点 $D=B+\tau(C-B)$ について、$S(A,B,D)=\tau\,S(A,B,C)$。とくに $D$ が線分 $BC$ 上なら、三角形 $ABD$ と $ABC$ の面積の比は $|BD|:|BC|$ である。
3. 相似比 $k$ の相似な 2 つの三角形の面積比は $k^2:1$ である。

証明（命題 7.6）

面積は $|S|$（前章の 命題 6.2［平面ベクトルと座標］ の 5）。 1: $A'=A+\lambda(\boldsymbol c-\boldsymbol b)$ とすると $S(B,C,A')=\tfrac12\det(\boldsymbol c-\boldsymbol b,\boldsymbol a-\boldsymbol b+\lambda(\boldsymbol c-\boldsymbol b))=S(B,C,A)$。 2: $\boldsymbol d-\boldsymbol a=(\boldsymbol b-\boldsymbol a)+\tau(\boldsymbol c-\boldsymbol b)$ で、$\det(\boldsymbol b-\boldsymbol a,\boldsymbol d-\boldsymbol a)=\tau\det(\boldsymbol b-\boldsymbol a,\boldsymbol c-\boldsymbol b)=\tau\det(\boldsymbol b-\boldsymbol a,\boldsymbol c-\boldsymbol a)$。 3: 比 $k$ の相似変換は $f(\boldsymbol x)=kO\boldsymbol x+\boldsymbol t$（$O$ は直交行列）の形である（$\frac1kf$ に 定理 2.2 を使う）。三角形 $ABC$ が $f$ で $A'B'C'$ に移るとすると、$\boldsymbol b'-\boldsymbol a'=kO(\boldsymbol b-\boldsymbol a)$、$\boldsymbol c'-\boldsymbol a'=kO(\boldsymbol c-\boldsymbol a)$ で、平行移動の部分 $\boldsymbol t$ は差をとると消える。$S$ は差ベクトルの行列式で定まる（前章の 定義 6.1［平面ベクトルと座標］）ので、平行移動で面積が変わらないことを別に使う必要はない。$O=(o_{ij})$ について成分で展開すると

$$\det(O\boldsymbol x,O\boldsymbol y)=(o_{11}x_1+o_{12}x_2)(o_{21}y_1+o_{22}y_2)-(o_{21}x_1+o_{22}x_2)(o_{11}y_1+o_{12}y_2)=(o_{11}o_{22}-o_{12}o_{21})(x_1y_2-x_2y_1)=\det O\,\det(\boldsymbol x,\boldsymbol y)$$

で、補題 2.3 から $\det O=\pm1$ なので、$S(A',B',C')=\tfrac12\det\bigl(kO(\boldsymbol b-\boldsymbol a),kO(\boldsymbol c-\boldsymbol a)\bigr)=\pm k^2S(A,B,C)$。面積 $|S|$ は $k^2$ 倍になる。

一般の図形（有界閉かつ面積確定な集合 $E$）についても面積は $k^2$ 倍になる。$f$ は $\mathbb{R}^2$ から $\mathbb{R}^2$ への全単射な $C^1$ 級写像（逆写像は $\boldsymbol y\mapsto\frac1kO^{\mathsf T}(\boldsymbol y-\boldsymbol t)$）で、ヤコビ行列は定数 $kO$、$|\det(kO)|=k^2|\det O|=k^2\ne0$ なので、変数変換公式（定理 6.7［重積分と累次積分］、$U=V=\mathbb{R}^2$、被積分関数 $1$）から $|f(E)|=k^2|E|$ である。平行移動の部分もこの公式に含まれている。

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8. 鏡映による最短経路と Steiner–Lehmus の定理

定理 8.1（Heron の問題（鏡映による最短経路））✓

直線 $\ell$ と、$\ell$ 上にない同じ側の 2 点 $A,B$ をとり、$A'$ を $\ell$ に関する $A$ の鏡映（定理 2.4 の 3 で $\alpha=0$ の写像による像）とする。

1. $\ell$ 上の点 $P$ について $|AP|+|PB|\ge|A'B|$ で、等号が成り立つのは $P$ が線分 $A'B$ と $\ell$ の交点 $P_0$（ただ 1 つ存在する）のときだけである。
2. （反射の法則）$P_0$ で、$\ell$ の方向ベクトル $\boldsymbol e$ について $\angle(\overrightarrow{P_0A},\boldsymbol e)=\angle(\overrightarrow{P_0B},-\boldsymbol e)$ である。

証明（定理 8.1）

$\ell=\{\boldsymbol x\mid\boldsymbol n\cdot(\boldsymbol x-\boldsymbol p)=0\}$（$|\boldsymbol n|=1$）と書き、鏡映を $\sigma(\boldsymbol x)=\boldsymbol x-2\,\boldsymbol n\cdot(\boldsymbol x-\boldsymbol p)\,\boldsymbol n$ とする（行列 $I-2\boldsymbol n\boldsymbol n^{\mathsf T}$ は直交行列なので等長変換で、$\ell$ 上の点を動かさない）。$\boldsymbol n\cdot(A'-\boldsymbol p)=-\boldsymbol n\cdot(A-\boldsymbol p)$ なので、$A,A'$ は $\ell$ の反対側にあり、$A',B$ も反対側にある。

1: $P\in\ell$ なら $|AP|=|\sigma(A)\sigma(P)|=|A'P|$。三角不等式（前章の 定理 4.1［平面ベクトルと座標］ の 6）から $|A'P|+|PB|\ge|A'B|$。等号は $\boldsymbol u=\overrightarrow{A'P}$、$\boldsymbol w=\overrightarrow{PB}$ として $|\boldsymbol u+\boldsymbol w|=|\boldsymbol u|+|\boldsymbol w|$、すなわち $\boldsymbol u\cdot\boldsymbol w=|\boldsymbol u||\boldsymbol w|$ のときで、これはコーシー・シュワルツの等号条件（同 5）により $\boldsymbol u,\boldsymbol w$ が 1 次従属で、さらに内積が正であることから同じ向きであること、つまり $P$ が線分 $A'B$ 上にあることと同値である。線分 $A'B$ 上で $\boldsymbol n\cdot(\boldsymbol x-\boldsymbol p)$ は 1 次関数で、両端で符号が異なるので零点がただ 1 つある。これが $P_0$ である。

2: $X=P_0+\boldsymbol e$ とおくと $X\in\ell$ なので $\sigma(X)=X$、また $\sigma(P_0)=P_0$、$\sigma(A)=A'$ で、$A\ne P_0$（$A\notin\ell$）である。補題 3.2（$k=1$）により $\angle(\overrightarrow{P_0A},\boldsymbol e)=\angle(A-P_0,X-P_0)=\angle(\sigma(A)-\sigma(P_0),\sigma(X)-\sigma(P_0))=\angle(\overrightarrow{P_0A'},\boldsymbol e)$。$P_0$ は線分 $A'B$ の内部の点なので $\overrightarrow{P_0A'}$ は $\overrightarrow{P_0B}$ の負の倍数で、$\angle(\overrightarrow{P_0A'},\boldsymbol e)=\angle(\overrightarrow{P_0B},-\boldsymbol e)$ である。

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定理 8.2（Steiner–Lehmus の定理）✓

三角形 $ABC$ で、$\angle B$ の二等分線が辺 $CA$ と交わる点を $E$、$\angle C$ の二等分線が辺 $AB$ と交わる点を $F$ とする。$|BE|=|CF|$ ならば $|AB|=|AC|$ である。

証明（定理 8.2）

$a=|BC|$、$b=|CA|$、$c=|AB|$ とする。定理 7.4 の 1（頂点 $B$ で使う）から $|AE|:|EC|=c:a$ なので、定理 5.1［平面ベクトルと座標］ により $\boldsymbol e=\dfrac{a\boldsymbol a+c\boldsymbol c}{a+c}$、したがって

$$\overrightarrow{BE}=\frac{a\,\overrightarrow{BA}+c\,\overrightarrow{BC}}{a+c},\qquad|BE|^2=\frac{a^2c^2+c^2a^2+2ac\,\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{(a+c)^2}=\frac{ac\bigl((a+c)^2-b^2\bigr)}{(a+c)^2}$$

である（$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=ac\cos\angle B$ に 補題 6.1 を代入すると $2\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=a^2+c^2-b^2$）。同様に $|CF|^2=\dfrac{ab\bigl((a+b)^2-c^2\bigr)}{(a+b)^2}$。$|BE|=|CF|$ を $a>0$ で割ると

$$c-\frac{cb^2}{(a+c)^2}=b-\frac{bc^2}{(a+b)^2}\quad\Longrightarrow\quad c-b=bc\cdot\frac{b(a+b)^2-c(a+c)^2}{(a+c)^2(a+b)^2}.$$

$b(a+b)^2-c(a+c)^2=(b-c)Q$、$Q=a^2+2a(b+c)+b^2+bc+c^2>0$ なので、$K=\dfrac{bcQ}{(a+c)^2(a+b)^2}>0$ として $c-b=(b-c)K$ となり

$$(b-c)(1+K)=0$$

を得る。$1+K>0$ なので $b=c$ である。

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9. 大学ではどこへ続くか

• 群の作用としての等長変換（algebra の群の作用と Sylow の定理）。定理 2.2 と 定理 2.4 は、平面の等長変換の全体が群をなし、$O(2)$ と平行移動の半直積であることを述べています。合同は「この群の作用で重なる」という同値関係で、図形の分類（正多角形の対称性など）は群論の問題になります。
• 直交行列とスペクトル定理（スペクトル定理）。直交行列は内積を保つ線形写像で、任意の次元で同じ構造を持ちます。
• リーマン幾何。曲がった曲面の上では、距離を保つ写像（等長写像）の全体が小さくなり、三角形の内角の和は $\pi$ にならなくなります。この章で内角の和を証明するときに使った「平面は $\mathbb{R}^2$」という事実が、曲面では成り立ちません。

10. 演習

演習 10.1標準

次の写像は等長変換である。定理 2.4 の分類のどれに当たるかを答え、鏡映・回転なら軸・中心を求めよ。（1）$f(x,y)=(x+3,\,-y)$。（2）$g(\boldsymbol x)=R(\pi/2)\boldsymbol x+(1,1)$。

解答

（1）$f(\boldsymbol x)=F(0)\boldsymbol x+(3,0)$ で、$F(0)=\operatorname{diag}(1,-1)$ である。$\theta=0$ なので $\boldsymbol u=(1,0)$、$\boldsymbol v=(0,1)$ で、$\boldsymbol t=(3,0)=3\boldsymbol u$（$\alpha=3$、$\beta=0$）。軸は $x$ 軸で、$3$ だけ軸方向に進むすべり鏡映である（不動点なし）。（2）$O=R(\pi/2)\ne I$ なので回転で、中心は $(I-R(\pi/2))\boldsymbol p=(1,1)$ の解。$I-R(\pi/2)=\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}$ なので $x+y=1$、$-x+y=1$、つまり $\boldsymbol p=(0,1)$。確かめると $g(0,1)=(-1,0)+(1,1)=(0,1)$ である。$(0,1)$ を中心とする $\pi/2$ の回転。

演習 10.2易

凸多角形の内角の和が $13\pi$（$2340^\circ$）であるとき、何角形か。また、凸 $n$ 角形の外角の和は $n$ によらないことを示せ。

解答

系 5.6 より $(n-2)\pi=13\pi$ なので $n=15$。外角は $\pi$ から内角を引いたものなので、和は $n\pi-(n-2)\pi=2\pi$ で $n$ によらない。

演習 10.3標準

$|AB|=6$、$|AC|=4$、$|BC|=5$ の三角形 $ABC$ で、$\angle A$ の二等分線が辺 $BC$ と交わる点を $D$ とする。$|BD|$、$|DC|$、$|AD|$ を求めよ。

解答

定理 7.4 の 1 から $|BD|:|DC|=6:4$ で、$|BD|+|DC|=5$ なので $|BD|=3$、$|DC|=2$。$\boldsymbol d=\dfrac{4\boldsymbol b+6\boldsymbol c}{10}$（定理 5.1［平面ベクトルと座標］）なので $\overrightarrow{AD}=\dfrac{4\overrightarrow{AB}+6\overrightarrow{AC}}{10}$。$2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=6^2+4^2-5^2=27$ から $|AD|^2=\dfrac{16\cdot36+36\cdot16+2\cdot24\cdot13.5}{100}=\dfrac{576+576+648}{100}=18$、$|AD|=3\sqrt2$。

演習 10.4標準

三角形 $ABC$ の辺 $AB$ 上に $|AD|:|DB|=2:1$ となる点 $D$ をとり、$D$ を通り $BC$ に平行な直線が辺 $AC$ と交わる点を $E$ とする。三角形 $ADE$ と四角形 $DBCE$ の面積比を求めよ。

解答

$D=A+\tfrac23(B-A)$ なので、定理 7.1 の 1 から $E=A+\tfrac23(C-A)$、$|AD|:|AB|=|AE|:|AC|=2:3$。2 辺の比と夾角が等しいので $ADE$ と $ABC$ は相似（定理 4.2 の 3）で比は $\tfrac23$。命題 7.6 の 3 から面積比は $\tfrac49$。四角形 $DBCE$ の面積は $1-\tfrac49=\tfrac59$（$ABC$ を $1$ として）で、求める比は $\tfrac49:\tfrac59=4:5$。

参考文献

• Robin Hartshorne, Geometry: Euclid and Beyond, Springer, 2000 — 平面幾何を公理から組む立場と、平行線公準・合同公理の役割（この章は座標から組む立場をとった）。
• Marcel Berger, Geometry I, Springer, 1987 — アフィン幾何とユークリッド空間の等長変換、その分類。
• Marvin Jay Greenberg, Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History, W. H. Freeman — 第 5 公準の独立性と非ユークリッド幾何の模型。
• H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer, Geometry Revisited, Mathematical Association of America, 1967 — 第 1 章。角の二等分線・等積変形・Steiner–Lehmus の定理の初等的な証明が多数載っている。