平面ベクトルと座標：内積・行列式・重み付き距離の公式を一本の道で

0. この記事の要点

三角形や四角形の定理を、図を描いて「この点はここにあるはず」と確かめるのではなく、すべての点に座標 $(x,y)$ を与えて計算だけで証明する、という話です。長さ、角、面積が、足し算と掛け算で書ける数として出てきます。読み終えると、図の描き方に左右されずに、中線定理のような図形の定理を数式の変形で示せるようになります。

• 高校の「平面図形」を、図ではなく座標平面 $\mathbb{R}^2$ から組み立てます。点は $\mathbb{R}^2$ の元、距離は内積で測り、角は内積の比の逆余弦で測ります。ユークリッドの公準は使いません。
• 2 つのベクトルが1 次独立（一方が他方の定数倍になっていないこと）であることは $\det(\boldsymbol a,\boldsymbol b)\ne 0$ と同じで、そのとき平面のすべてのベクトルが $s\boldsymbol a+t\boldsymbol b$ とただ 1 通りに書けます（命題 3.1）。点の存在範囲、重心、内分点の議論はすべてこの一意性に乗っています。
• 内積と行列式はラグランジュの恒等式 $(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b)^2+\det(\boldsymbol a,\boldsymbol b)^2=|\boldsymbol a|^2|\boldsymbol b|^2$ で結ばれ、そこからコーシー・シュワルツの不等式と三角不等式が出ます（定理 4.1）。
• 向きつきの角を回転行列で定義し、内積が $|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\cos\theta$、行列式が $|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\sin\theta$ に等しいことを示します（命題 4.5）。次の章の合同・相似・内角の和は、この向きつきの角の加法性から証明されます。
• 三角形の面積は符号付き面積 $\tfrac12\det(\boldsymbol b-\boldsymbol a,\boldsymbol c-\boldsymbol a)$ の絶対値です（命題 6.2）。面積そのものは重積分の定義に結びつけます。
• 重み付き距離の 2 乗の和の公式（定理 7.1）から、中線定理・イギリス国旗の定理・Varignon の定理・Euler の四辺形定理が一行ずつで導けます。

この記事で使う事前知識

• 行列式: 2 本のベクトル $(a_1,a_2)$、$(b_1,b_2)$ から作る数 $a_1b_2-a_2b_1$ のこと。→ 行列式
• 余弦: 角から決まる数 $\cos\theta$ で、角を内積の比から決めるときに使います。→ 余弦
• 三角関数の加法定理と単位円: $\cos(\alpha+\beta)$ などを展開する公式と、単位円周上の点を $(\cos\varphi,\sin\varphi)$ と書く表示。→ 指数・対数・三角関数をきちんと定義する
• ベクトル空間: 和とスカラー倍ができて、決まった規則を満たす集合のこと。→ ベクトル空間
• 行列の積: 回転行列を続けて 2 回かけるときに使います。→ 行列の積
• 内積空間: 長さと角を測るために内積を備えたベクトル空間のこと。→ 内積空間

1. 動機 — 図に頼らず、座標から始める

高校のベクトルは、矢印として習い、成分で計算し、図形の問題に使います。ところが図形の定理を図で証明していると、「この点は線分の内側にあるとする」「この角は鋭角とする」といった配置の仮定が証明に紛れ込みます。仮定を外すと別の場合分けが要り、書き落とすと証明に穴があきます。

この章の立場は単純です。平面とは $\mathbb{R}^2$ のことだと決めてしまいます。すると、点の位置関係は座標の符号で、角は内積と行列式で、面積は行列式で、すべて計算に落ちます。計算で証明した事実は、図の配置によらずに成り立ちます。

この章で証明するものは、次の章以降の土台になります。

• 次の章の合同と相似では、距離を保つ写像が「直交行列と平行移動の合成」であること（内積を保つことから）を使い、合同条件、平行線と角、三角形の内角の和を定理として証明します。そこで使うのが、この章の 1 次独立の判定、内積、向きつきの角です。
• 面積比、重心、内分点の議論は、この章の符号付き面積と内分点の公式を使います。

大学では、同じ内容がベクトル空間、内積空間、行列式として一般の次元で整理されます。ここでは 2 次元に限って、手で計算できる形で証明します。

2. 準備 — 平面・点・ベクトル

定義 2.1（座標平面とベクトル）↗

実数の組 $(x,y)$ 全体を $\mathbb{R}^2$ と書き、平面と呼ぶ。その元を点ともベクトルとも呼ぶ（点 $P=(x,y)$ を原点 $O=(0,0)$ からの位置ベクトル $\boldsymbol p=(x,y)$ と同一視する）。和とスカラー倍は成分ごとに

$$(a_1,a_2)+(b_1,b_2)=(a_1+b_1,\ a_2+b_2),\qquad k(a_1,a_2)=(ka_1,\ ka_2)$$

で定める。2 点 $A,B$ に対し、$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol b-\boldsymbol a$ と書く。

$\mathbb{R}^2$ はこの演算でベクトル空間の公理（定義 3.1［ベクトル空間と線形変換］）を満たします。基本の記号を 2 つ足します。

定義 2.2（内積・長さ・2 次の行列式）↗

$\boldsymbol a=(a_1,a_2)$、$\boldsymbol b=(b_1,b_2)$ に対し

$$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=a_1b_1+a_2b_2,\qquad \det(\boldsymbol a,\boldsymbol b)=a_1b_2-a_2b_1$$

をそれぞれ内積、行列式という。$|\boldsymbol a|=\sqrt{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol a}$ を長さ、2 点 $P,Q$ の距離を $|P-Q|$ と書く。$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=0$ のとき $\boldsymbol a$ と $\boldsymbol b$ は垂直であるという。

行列式は $2\times2$ 行列 $(\boldsymbol a\ \boldsymbol b)$ の行列式です（2 次の行列式と平行四辺形の面積（命題 8.1）［行列式とその性質］）。第 1 変数についても第 2 変数についても線形で、$\det(\boldsymbol a,\boldsymbol a)=0$、$\det(\boldsymbol b,\boldsymbol a)=-\det(\boldsymbol a,\boldsymbol b)$ が成り立ちます（定義から直接確かめられます）。以下ではこの 3 性質を使います。

3. 1 次独立と成分表示

「2 本のベクトルが平面を張る」ことを、行列式で判定します。

たとえば $\boldsymbol a=(1,2)$、$\boldsymbol b=(3,1)$ では $\det(\boldsymbol a,\boldsymbol b)=1\cdot1-2\cdot3=-5\ne0$ です。このとき $\boldsymbol v=(1,0)$ は $-\tfrac15\boldsymbol a+\tfrac25\boldsymbol b$ とただ 1 通りに書けます（実際に足すと $(1,0)$ になります）。一方 $\boldsymbol a=(1,2)$、$\boldsymbol b=(2,4)$ では行列式が $0$ で、$\boldsymbol b=2\boldsymbol a$ なので 2 本は同じ直線の上にしか行けません。次の命題は、この違いが一般に成り立つことを述べます。証明は「2 ⇒ 3」「3 ⇒ 1」「1 ⇒ 2」と一周して、3 条件が同値だと示す形です。

命題 3.1（1 次独立と成分表示の一意性）✓

$\boldsymbol a,\boldsymbol b\in\mathbb{R}^2$ について、次の 3 条件は同値である。

1. $\boldsymbol a,\boldsymbol b$ は 1 次独立である（$s\boldsymbol a+t\boldsymbol b=\boldsymbol 0$ ならば $s=t=0$）。
2. $\det(\boldsymbol a,\boldsymbol b)\ne0$。
3. 任意のベクトル $\boldsymbol v$ が $\boldsymbol v=s\boldsymbol a+t\boldsymbol b$（$s,t\in\mathbb{R}$）とただ 1 通りに書ける。

このとき $D=\det(\boldsymbol a,\boldsymbol b)$ として $s=\det(\boldsymbol v,\boldsymbol b)/D$、$t=\det(\boldsymbol a,\boldsymbol v)/D$ である。

証明（命題 3.1）

（2 ⇒ 3）$D\ne0$ とする。$\boldsymbol v=s\boldsymbol a+t\boldsymbol b$ と書けたとして、両辺と $\boldsymbol b$ の行列式をとると、行列式の線形性と $\det(\boldsymbol b,\boldsymbol b)=0$ から $\det(\boldsymbol v,\boldsymbol b)=sD$ を得る。同様に $\boldsymbol a$ との行列式から $\det(\boldsymbol a,\boldsymbol v)=tD$ を得る。したがって書けるなら $s,t$ は上の式で決まり、一意性が従う。存在は、この $s,t$ を実際に代入して成分を比べればよい。第 1 成分は

$$\frac{(v_1b_2-v_2b_1)a_1+(a_1v_2-a_2v_1)b_1}{D}=\frac{v_1(a_1b_2-a_2b_1)}{D}=v_1$$

であり、第 2 成分も同様に $v_2$ になる。

（3 ⇒ 1）$\boldsymbol 0$ の表し方が $0\boldsymbol a+0\boldsymbol b$ の 1 通りしかないということが、1 次独立の定義そのものである。

（1 ⇒ 2）対偶を示す。$D=0$ とする。$a_1b_2=a_2b_1$ であるから、

$$b_2\boldsymbol a-a_2\boldsymbol b=(b_2a_1-a_2b_1,\ b_2a_2-a_2b_2)=\boldsymbol 0,\qquad b_1\boldsymbol a-a_1\boldsymbol b=(b_1a_1-a_1b_1,\ b_1a_2-a_1b_2)=\boldsymbol 0$$

が成り立つ。係数 $b_2,a_2,b_1,a_1$ のどれかが $0$ でなければ、これは自明でない 1 次関係である。すべて $0$ なら $\boldsymbol a=\boldsymbol 0$ なので $1\cdot\boldsymbol a+0\cdot\boldsymbol b=\boldsymbol 0$ が自明でない関係になる。どちらにしても 1 次従属である。

∎

一般の次元で同じことを言うのが、基底の次元の不変性（定理 5.5［ベクトル空間と線形変換］）です。$\mathbb{R}^2$ の基底はちょうど 2 本のベクトルからなり、命題 3.1 はその 2 本が基底になる条件を行列式で書いたものです。

4. 内積・なす角・向きつきの角

定理 4.1（内積の性質）✓

$\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c\in\mathbb{R}^2$、$k\in\mathbb{R}$ とする。

1. $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=\boldsymbol b\cdot\boldsymbol a$、$(k\boldsymbol a+\boldsymbol b)\cdot\boldsymbol c=k\,\boldsymbol a\cdot\boldsymbol c+\boldsymbol b\cdot\boldsymbol c$。
2. $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol a\ge0$ で、等号は $\boldsymbol a=\boldsymbol 0$ のときに限る。$|k\boldsymbol a|=|k||\boldsymbol a|$。
3. $|\boldsymbol a\pm\boldsymbol b|^2=|\boldsymbol a|^2\pm2\,\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b+|\boldsymbol b|^2$。
4. （ラグランジュの恒等式）$(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b)^2+\det(\boldsymbol a,\boldsymbol b)^2=|\boldsymbol a|^2|\boldsymbol b|^2$。
5. （コーシー・シュワルツの不等式）$|\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b|\le|\boldsymbol a||\boldsymbol b|$。等号は $\boldsymbol a,\boldsymbol b$ が 1 次従属のときに限る。
6. （三角不等式）$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|\le|\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|$。

証明（定理 4.1）

1 から 3 は成分で展開すれば直ちに従う（たとえば 3 は $(a_1\pm b_1)^2+(a_2\pm b_2)^2$ を展開する）。2 は $a_1^2+a_2^2\ge0$ で、等号は $a_1=a_2=0$ のときに限ることによる。

4: 左辺を展開すると

$$(a_1b_1+a_2b_2)^2+(a_1b_2-a_2b_1)^2=a_1^2b_1^2+a_2^2b_2^2+a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2=(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)$$

となる（交差項 $\pm2a_1a_2b_1b_2$ が打ち消し合う）。

5: 4 から $(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b)^2=|\boldsymbol a|^2|\boldsymbol b|^2-\det(\boldsymbol a,\boldsymbol b)^2\le|\boldsymbol a|^2|\boldsymbol b|^2$。等号は $\det(\boldsymbol a,\boldsymbol b)=0$、すなわち 命題 3.1 により 1 次従属のときに限る。

6: 3 と 5 から $|\boldsymbol a+\boldsymbol b|^2=|\boldsymbol a|^2+2\,\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b+|\boldsymbol b|^2\le(|\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|)^2$。

∎

1・2 は、$\mathbb{R}^2$ の内積が一般の内積の公理（定義 3.1［内積空間とグラム・シュミット直交化］）を満たすという主張です。したがって 5・6 は一般の内積空間の定理（定理 4.2［内積空間とグラム・シュミット直交化］、系 4.3［内積空間とグラム・シュミット直交化］）の特別な場合ですが、$\mathbb{R}^2$ ではラグランジュの恒等式から直接証明できるので、上のように自己完結に示しました。

次に角を定めます。2 つのゼロでないベクトルについて、コーシー・シュワルツの不等式から $-1\le\dfrac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{|\boldsymbol a||\boldsymbol b|}\le1$ です。余弦関数は $[0,\pi]$ から $[-1,1]$ への狭義単調減少な全単射なので（三角関数の制限は全単射（補題 9.1）［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］。逆関数が逆余弦 arccos（定義 9.2）［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］ です）、次の定義が意味を持ちます。

定義 4.2（2 つのベクトルのなす角）↗

$\boldsymbol a,\boldsymbol b$ をゼロでないベクトルとする。

$$\cos\theta=\frac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{|\boldsymbol a||\boldsymbol b|},\qquad 0\le\theta\le\pi$$

を満たす $\theta$ を $\boldsymbol a$ と $\boldsymbol b$ のなす角といい、$\angle(\boldsymbol a,\boldsymbol b)$ と書く（一般の内積空間での定義 定義 4.6［内積空間とグラム・シュミット直交化］ と同じである）。3 点 $A,B,C$（$A\ne B$、$A\ne C$）について $\angle BAC=\angle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ とおく。

なす角は向きを区別しません（$\angle(\boldsymbol a,\boldsymbol b)=\angle(\boldsymbol b,\boldsymbol a)$）。向きを区別する角が、合同・相似・内角の和の証明に必要です。そのために回転行列を使います。

$$R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix},\qquad e(\varphi)=(\cos\varphi,\ \sin\varphi)$$

とおきます。$e(\varphi)$ は単位円周上の点です。単位円周上の点がすべてこの形に書けること、そして $\varphi$ が $2\pi$ の整数倍を除いて一意であることは、単位円の媒介変数表示（定理 7.4［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］）の内容です。加法定理（定理 6.4［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］）から $R(\alpha)\,e(\varphi)=e(\varphi+\alpha)$ が従います。

ここでのねらいは、「$\boldsymbol a$ から $\boldsymbol b$ へ何度回るか」を、向きを込めて 1 つの数に決めることです。$R(\theta)$ は原点のまわりを反時計回りに $\theta$ だけ回す行列、$e(\varphi)$ は単位円周上で $x$ 軸から $\varphi$ の位置にある点です。長さをそろえた $\hat{\boldsymbol a}$ を回して $\hat{\boldsymbol b}$ に重ねる角が向きつきの角で、$2\pi$ の整数倍はずれても同じ点に戻るため、区間 $(-\pi,\pi]$ に限って 1 つに決めます。

命題 4.3（向きつきの角の存在と一意性）✓

$\boldsymbol a,\boldsymbol b$ をゼロでないベクトルとし、$\hat{\boldsymbol a}=\boldsymbol a/|\boldsymbol a|$、$\hat{\boldsymbol b}=\boldsymbol b/|\boldsymbol b|$ とおく。$\hat{\boldsymbol b}=R(\theta)\hat{\boldsymbol a}$ を満たす $\theta\in(-\pi,\pi]$ がただ 1 つ存在する。

証明（命題 4.3）

定理 7.4［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］ により $\hat{\boldsymbol a}=e(\varphi_a)$、$\hat{\boldsymbol b}=e(\varphi_b)$ と書ける。$R(\varphi_b-\varphi_a)\hat{\boldsymbol a}=e(\varphi_b)=\hat{\boldsymbol b}$ なので、$\varphi_b-\varphi_a$ に $2\pi$ の整数倍を足して $(-\pi,\pi]$ に入れたものが求める $\theta$ である（$R$ は $2\pi$ 周期）。一意性: $R(\theta)\hat{\boldsymbol a}=R(\theta')\hat{\boldsymbol a}$ とすると、$e(\varphi_a+\theta)=e(\varphi_a+\theta')$ であり、媒介変数表示の一意性から $\theta-\theta'\in2\pi\mathbb{Z}$。ともに $(-\pi,\pi]$ の元なので $\theta=\theta'$ である。

∎

定義 4.4（向きつきの角）↗

命題 4.3 の $\theta$ を、$\boldsymbol a$ から $\boldsymbol b$ への向きつきの角といい $\operatorname{ang}(\boldsymbol a,\boldsymbol b)$ と書く。反時計回りを正とする。

命題 4.5（内積・行列式と角）✓

$\boldsymbol a,\boldsymbol b$ をゼロでないベクトルとし、$\theta=\operatorname{ang}(\boldsymbol a,\boldsymbol b)$ とする。

1. $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\cos\theta$、$\det(\boldsymbol a,\boldsymbol b)=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\sin\theta$。
2. $\angle(\boldsymbol a,\boldsymbol b)=|\theta|$。
3. $\boldsymbol a\perp\boldsymbol b\iff\theta=\pm\pi/2$。$\boldsymbol a,\boldsymbol b$ が 1 次従属 $\iff\theta\in\{0,\pi\}$。
4. （加法性）ゼロでないベクトル $\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c$ について $\operatorname{ang}(\boldsymbol a,\boldsymbol c)\equiv\operatorname{ang}(\boldsymbol a,\boldsymbol b)+\operatorname{ang}(\boldsymbol b,\boldsymbol c)\pmod{2\pi}$。

この命題の 1 は、内積と行列式がそれぞれ $\cos\theta$ と $\sin\theta$ の $|\boldsymbol a||\boldsymbol b|$ 倍だということで、角の情報がこの 2 つの数に分かれて入っている、という意味です。4 は、$\boldsymbol a$ から $\boldsymbol b$ へ回り、続けて $\boldsymbol b$ から $\boldsymbol c$ へ回るのは、$\boldsymbol a$ から $\boldsymbol c$ へ回る角の足し算になる、という主張です。

証明（命題 4.5）

1: $\hat{\boldsymbol a}=e(\varphi)$ とすると $\hat{\boldsymbol b}=R(\theta)e(\varphi)=e(\varphi+\theta)$。加法定理から

$$\hat{\boldsymbol a}\cdot\hat{\boldsymbol b}=\cos\varphi\cos(\varphi+\theta)+\sin\varphi\sin(\varphi+\theta)=\cos\theta,\quad \det(\hat{\boldsymbol a},\hat{\boldsymbol b})=\cos\varphi\sin(\varphi+\theta)-\sin\varphi\cos(\varphi+\theta)=\sin\theta$$

であり、内積と行列式は各ベクトルについて線形なので $|\boldsymbol a||\boldsymbol b|$ 倍して 1 を得る。

2: 1 より $\cos\theta=\dfrac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{|\boldsymbol a||\boldsymbol b|}$ である。$\cos\theta=\cos|\theta|$ で $|\theta|\in[0,\pi]$ なので、余弦の $[0,\pi]$ での単射性から $|\theta|=\angle(\boldsymbol a,\boldsymbol b)$。

3: 内積が $0$ となるのは $\cos\theta=0$、すなわち $\theta=\pm\pi/2$ のとき（$\theta\in(-\pi,\pi]$）。1 次従属は 命題 3.1 により $\det=0\iff\sin\theta=0\iff\theta\in\{0,\pi\}$。

4: $\hat{\boldsymbol c}=R(\operatorname{ang}(\boldsymbol b,\boldsymbol c))\hat{\boldsymbol b}=R(\operatorname{ang}(\boldsymbol b,\boldsymbol c))R(\operatorname{ang}(\boldsymbol a,\boldsymbol b))\hat{\boldsymbol a}$ であり、$R(\alpha)R(\beta)=R(\alpha+\beta)$（命題 6.3）から $\hat{\boldsymbol c}=R(\operatorname{ang}(\boldsymbol a,\boldsymbol b)+\operatorname{ang}(\boldsymbol b,\boldsymbol c))\hat{\boldsymbol a}$。命題 4.3 の一意性（$2\pi$ を除く）から結論を得る。

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4 の証明で使った $R(\alpha)R(\beta)=R(\alpha+\beta)$ は §6 で示します（循環はしません。§6 の証明は 4 を使いません）。1 は高校の「$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\cos\theta$」の厳密な形です。高校では右辺を内積の定義にしますが、ここでは成分による定義から出発して、角のほうを定めました。

例 4.6（内積から角を求める）

$\boldsymbol a=(1,\sqrt3)$、$\boldsymbol b=(2,0)$ のとき、$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=2$、$|\boldsymbol a|=2$、$|\boldsymbol b|=2$ なので $\cos\angle(\boldsymbol a,\boldsymbol b)=2/4=1/2$、よって $\angle(\boldsymbol a,\boldsymbol b)=\pi/3$。行列式は $\det(\boldsymbol a,\boldsymbol b)=1\cdot0-\sqrt3\cdot2=-2\sqrt3<0$ なので、向きつきの角は $\operatorname{ang}(\boldsymbol a,\boldsymbol b)=-\pi/3$（$\boldsymbol b$ は $\boldsymbol a$ から時計回りに $\pi/3$）である。

5. 内分点・点の存在範囲・直線と円

定理 5.1（内分点・外分点）✓

$A\ne B$ とし、$m,n>0$ とする。

1. $P=\dfrac{n\boldsymbol a+m\boldsymbol b}{m+n}$ は線分 $AB$ 上にあり、$AP:PB=m:n$ である（内分点）。
2. $m\ne n$ のとき、$Q=\dfrac{-n\boldsymbol a+m\boldsymbol b}{m-n}$ は直線 $AB$ 上で線分 $AB$ の外にあり、$AQ:QB=m:n$ である（外分点）。
3. 直線 $AB$ 上の点で $AP:PB=m:n$ となるものは、$m\ne n$ なら上の 2 点だけ、$m=n$ なら中点だけである。

証明（定理 5.1）

直線 $AB$ 上の点は $X=\boldsymbol a+\tau(\boldsymbol b-\boldsymbol a)$（$\tau\in\mathbb{R}$）と書け、$\overrightarrow{AX}=\tau\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{XB}=(1-\tau)\overrightarrow{AB}$ なので $AX:XB=|\tau|:|1-\tau|$ である。

1: $\tau=\dfrac{m}{m+n}\in(0,1)$ とおくと $X=\dfrac{n\boldsymbol a+m\boldsymbol b}{m+n}=P$、$|\tau|:|1-\tau|=m:n$。$0<\tau<1$ なので $P$ は線分上にある。

2: $\tau=\dfrac{m}{m-n}$ とおくと $1-\tau=\dfrac{-n}{m-n}$ で、$X=\dfrac{-n\boldsymbol a+m\boldsymbol b}{m-n}=Q$、$|\tau|:|1-\tau|=m:n$。$m>n$ なら $\tau>1$、$m<n$ なら $\tau<0$ なので、どちらでも $Q$ は線分の外にある。

3: $|\tau|:|1-\tau|=m:n$ を $n|\tau|=m|1-\tau|$ と書く。$0\le\tau\le1$ なら $n\tau=m(1-\tau)$ から $\tau=m/(m+n)$。$\tau>1$ なら $n\tau=m(\tau-1)$ から $(m-n)\tau=m$、$\tau<0$ なら $-n\tau=m(1-\tau)$ から $(m-n)\tau=m$。$m\ne n$ のとき後 2 つはどちらも $\tau=m/(m-n)$ を与え、$m=n$ のときは解を持たない。

∎

例 5.2（中線を 2 : 1 に内分する点）

三角形 $ABC$ の辺 $BC$ の中点を $M$ とすると $\boldsymbol m=(\boldsymbol b+\boldsymbol c)/2$ である。線分 $AM$ を $2:1$ に内分する点（$m=2$、$n=1$ として $A$ から測る）は

$$\frac{1\cdot\boldsymbol a+2\boldsymbol m}{3}=\frac{\boldsymbol a+\boldsymbol b+\boldsymbol c}{3}$$

であり、$\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c$ について対称である。ゆえに 3 本の中線はすべてこの点 $G$（重心）を通り、各中線を頂点から $2:1$ に内分する。

次に、1 次独立なベクトルの組を使った「点の存在範囲」を整理します。まず凸集合の言葉を用意します。

定義 5.3（凸集合・凸包）↗

$K\subseteq\mathbb{R}^2$ が凸であるとは、$K$ の任意の 2 点 $P,Q$ について線分 $PQ=\{(1-t)P+tQ\mid0\le t\le1\}$ が $K$ に含まれることをいう。部分集合 $S$ を含むすべての凸集合の共通部分を $S$ の凸包といい $\operatorname{conv}S$ と書く。凸集合の共通部分は凸なので、凸包は $S$ を含む最小の凸集合である。

凸集合とは、中のどの 2 点を線分で結んでも、線分が外にはみ出さない図形のことです。三角形の周と内部は凸で、三日月形やドーナツ形は凸ではありません。凸包は、与えられた点を輪ゴムで囲んだときにできる形をイメージしてください。次の定理の 2 と 3 に出てくる $(\alpha,\beta,\gamma)$ は、3 つの頂点に重さ $\alpha,\beta,\gamma$（合計 $1$）を置いたときの重心の位置を表す数の組で、重心座標と呼ばれます。

定理 5.4（点の存在範囲と凸結合）✓

1. $A\ne B$ のとき、直線 $AB$ は $\{(1-t)\boldsymbol a+t\boldsymbol b\mid t\in\mathbb{R}\}$ であり、線分 $AB$ はそのうち $0\le t\le1$ の部分である。$\operatorname{conv}\{A,B\}$ は線分 $AB$ である。
2. 任意の 3 点 $A,B,C$ について $$\operatorname{conv}\{A,B,C\}=\{\alpha\boldsymbol a+\beta\boldsymbol b+\gamma\boldsymbol c\mid\alpha,\beta,\gamma\ge0,\ \alpha+\beta+\gamma=1\}.$$
3. $A,B,C$ が一直線上にないとき、平面の点 $P$ を $P=\alpha\boldsymbol a+\beta\boldsymbol b+\gamma\boldsymbol c$（$\alpha+\beta+\gamma=1$）と書く書き方はただ 1 通りである（$(\alpha,\beta,\gamma)$ を $P$ の重心座標という）。
4. $\boldsymbol a,\boldsymbol b$ が 1 次独立で $P=O+s\boldsymbol a+t\boldsymbol b$ のとき、$(s,t)$ は $P$ から一意に決まり、次が成り立つ。$P$ が直線 $AB$ 上にある $\iff s+t=1$。線分 $AB$ 上にある $\iff s+t=1$ かつ $s,t\ge0$。三角形 $OAB$（周と内部）に含まれる $\iff s,t\ge0$ かつ $s+t\le1$。$O,A,B$ とそれらを頂点にもつ平行四辺形（周と内部）に含まれる $\iff0\le s,t\le1$。

証明（定理 5.4）

1: 直線上の点は $A+\tau(B-A)=(1-\tau)A+\tau B$ と書ける。線分は定義（定義 5.3）により $0\le t\le 1$ の部分で、これは $A,B$ を含む最小の凸集合でもある（$A,B$ を含む凸集合は定義から線分を含み、線分自身は凸である）。

2: 右辺を $T$ とおく。$T$ は凸である。$P=\alpha A+\beta B+\gamma C$ と $P'=\alpha'A+\beta'B+\gamma'C$ の線分上の点 $(1-t)P+tP'$ の係数は $(1-t)\alpha+t\alpha'$ などで、非負で和が $1$ だからである。$T$ は $A,B,C$ を含むので $\operatorname{conv}\{A,B,C\}\subseteq T$。逆に $K$ を $A,B,C$ を含む任意の凸集合とし、$P=\alpha A+\beta B+\gamma C\in T$ をとる。$\gamma=1$ なら $P=C\in K$。$\gamma<1$ なら $\alpha+\beta=1-\gamma>0$ で

$$P=(1-\gamma)Q+\gamma C,\qquad Q=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}A+\frac{\beta}{\alpha+\beta}B$$

と書ける。$Q$ は線分 $AB\subseteq K$ の点、$P$ は線分 $QC\subseteq K$ の点なので $P\in K$。したがって $T\subseteq K$ で、共通部分をとって $T\subseteq\operatorname{conv}\{A,B,C\}$ を得る。

3: $\boldsymbol b-\boldsymbol a$ と $\boldsymbol c-\boldsymbol a$ は 1 次独立（3 点が一直線上にないことの言い換え）なので、$\boldsymbol p-\boldsymbol a=\beta(\boldsymbol b-\boldsymbol a)+\gamma(\boldsymbol c-\boldsymbol a)$ を満たす $(\beta,\gamma)$ は 命題 3.1 によりただ 1 つで、$\alpha=1-\beta-\gamma$ も決まる。

4: 一意性は 命題 3.1 による。$P$ が直線 $AB$ 上にあるとは、$P=(1-\tau)A+\tau B=O+(1-\tau)\boldsymbol a+\tau\boldsymbol b$ となる $\tau$ があることで、一意性から $s=1-\tau$、$t=\tau$、すなわち $s+t=1$ である。逆に $s+t=1$ なら $\tau=t$ とすればよい。線分の条件は 1 から $0\le\tau\le1$、すなわち $s,t\ge0$ を加えたもの。三角形 $OAB$ は 2 により $\{(1-s-t)O+sA+tB\}$ で係数がすべて非負、すなわち $s,t\ge0$、$s+t\le1$ である。平行四辺形は $\{s\boldsymbol a+t\boldsymbol b\mid0\le s,t\le1\}$ のことである。

∎

位置ベクトル OP = s a + t b の存在範囲。濃い三角形が s, t ≥ 0 かつ s + t ≤ 1、点線の平行四辺形が 0 ≤ s, t ≤ 1、斜めの点線が s + t = 1（直線 AB）

命題 5.5（直線と円のベクトル方程式）✓

1. $\boldsymbol d\ne\boldsymbol 0$ とする。点 $A$ を通り $\boldsymbol d$ に平行な直線は $\{\boldsymbol a+t\boldsymbol d\mid t\in\mathbb{R}\}=\{\boldsymbol x\mid\det(\boldsymbol d,\boldsymbol x-\boldsymbol a)=0\}$ である。
2. $\boldsymbol n\ne\boldsymbol 0$ とする。$\{\boldsymbol x\mid\boldsymbol n\cdot(\boldsymbol x-\boldsymbol a)=0\}$ は点 $A$ を通り $\boldsymbol n$ に垂直な直線であり、方向ベクトルは $\boldsymbol d=(-n_2,n_1)$ である。
3. 中心 $C$、半径 $r>0$ の円は $\{\boldsymbol x\mid|\boldsymbol x-\boldsymbol c|=r\}$ である。
4. $A\ne B$ とする。$(\boldsymbol x-\boldsymbol a)\cdot(\boldsymbol x-\boldsymbol b)=0$ を満たす点 $X$ の集合は、$AB$ を直径とする円（中心 $M=(A+B)/2$、半径 $|AB|/2$）である。

証明（命題 5.5）

1: $\boldsymbol x-\boldsymbol a=t\boldsymbol d$ と書ければ $\det(\boldsymbol d,\boldsymbol x-\boldsymbol a)=t\det(\boldsymbol d,\boldsymbol d)=0$。逆に $\det(\boldsymbol d,\boldsymbol y)=0$ なら、$\boldsymbol d\ne\boldsymbol 0$ なので 命題 3.1 の（1 ⇒ 2）の対偶により $\boldsymbol d,\boldsymbol y$ は 1 次従属である。すなわち $(s,t)\ne(0,0)$ で $s\boldsymbol d+t\boldsymbol y=\boldsymbol 0$ となるものがあり、$t=0$ なら $s\boldsymbol d=\boldsymbol 0$ から $\boldsymbol d=\boldsymbol 0$ となって矛盾するので $t\ne0$、よって $\boldsymbol y=-(s/t)\boldsymbol d$ と書ける。

2: $\boldsymbol d=(-n_2,n_1)$ とすると $\det(\boldsymbol d,\boldsymbol y)=-n_2y_2-n_1y_1=-\boldsymbol n\cdot\boldsymbol y$ なので、$\boldsymbol n\cdot(\boldsymbol x-\boldsymbol a)=0\iff\det(\boldsymbol d,\boldsymbol x-\boldsymbol a)=0$。あとは 1 による。

3: 円の定義（中心からの距離が $r$ の点の集合）そのものである。

4: $\boldsymbol m=(\boldsymbol a+\boldsymbol b)/2$ とおく。$\boldsymbol x-\boldsymbol a=(\boldsymbol x-\boldsymbol m)+(\boldsymbol m-\boldsymbol a)$、$\boldsymbol x-\boldsymbol b=(\boldsymbol x-\boldsymbol m)-(\boldsymbol m-\boldsymbol a)$ なので、

$$(\boldsymbol x-\boldsymbol a)\cdot(\boldsymbol x-\boldsymbol b)=|\boldsymbol x-\boldsymbol m|^2-|\boldsymbol m-\boldsymbol a|^2=|\boldsymbol x-\boldsymbol m|^2-\frac{|\boldsymbol b-\boldsymbol a|^2}{4}$$

である。これが $0$ とは $|\boldsymbol x-\boldsymbol m|=|AB|/2$ のことである。

∎

4 は、円周上の点 $X$（$X\ne A,B$）から直径 $AB$ を見込む角が直角だというタレスの定理を、角を使わずに言い換えたものです。角を使った形は タレスの定理（系 3.2）［円の幾何］ にあります。

6. 符号付き面積と回転行列

三角形の面積を、符号つきで扱います。符号が「向き」を教えてくれるので、点の位置関係の場合分けが要りません。

次の命題の 5 は、符号付き面積の絶対値が本当に三角形の面積になることを、面積の定義にさかのぼって確かめる部分です。「面積確定」は、重積分で面積が決まる図形という意味の言葉で、ここでは三角形や平行四辺形がそれに当たると押さえておけば十分です。証明の考え方は、平行四辺形を対角線で 2 つに分け、点対称に重なる 2 つの三角形の面積が等しいから、三角形の面積は平行四辺形の半分、というものです。

平行四辺形を対角線で 2 つの三角形 T（左下）と T'（右上）に分ける。中心の点を軸にした点対称で T と T' が重なる

定義 6.1（符号付き面積）↗

3 点 $A,B,C$ に対し

$$S(A,B,C)=\frac12\det(\boldsymbol b-\boldsymbol a,\ \boldsymbol c-\boldsymbol a)$$

を符号付き面積という。$S(A,B,C)>0$ のとき、この順の 3 点は反時計回りに並ぶという。4 点 $A,B,C,D$ には $S(A,B,C,D)=S(A,B,C)+S(A,C,D)$ を対応させる。

命題 6.2（符号付き面積の性質と三角形の面積）✓

1. $S(A,B,C)=\tfrac12\bigl(\det(\boldsymbol a,\boldsymbol b)+\det(\boldsymbol b,\boldsymbol c)+\det(\boldsymbol c,\boldsymbol a)\bigr)$。したがって $S(A,B,C)=S(B,C,A)=S(C,A,B)=-S(B,A,C)$。
2. $S(A,B,C)=0\iff A,B,C$ が一直線上にある（または 2 点が一致する）。
3. 任意の点 $P$ について $S(A,B,C)=S(P,A,B)+S(P,B,C)+S(P,C,A)$。
4. $S(A,B,C,D)=\tfrac12\det(\boldsymbol c-\boldsymbol a,\ \boldsymbol d-\boldsymbol b)$。
5. 三角形 $ABC$（定理 5.4 の $\operatorname{conv}\{A,B,C\}$）は面積確定で、その面積（重積分による面積（定義 5.1）［重積分と累次積分］）は $|S(A,B,C)|$ に等しい。

証明（命題 6.2）

1: $\det(\boldsymbol b-\boldsymbol a,\boldsymbol c-\boldsymbol a)$ を線形性で展開すると $\det(\boldsymbol b,\boldsymbol c)-\det(\boldsymbol b,\boldsymbol a)-\det(\boldsymbol a,\boldsymbol c)+\det(\boldsymbol a,\boldsymbol a)=\det(\boldsymbol a,\boldsymbol b)+\det(\boldsymbol b,\boldsymbol c)+\det(\boldsymbol c,\boldsymbol a)$（$\det(\boldsymbol b,\boldsymbol a)=-\det(\boldsymbol a,\boldsymbol b)$ などによる）。この式は $A\to B\to C\to A$ の巡回で不変で、$A,B$ を入れ替えると符号が変わる。

2: 命題 3.1 により $\det(\boldsymbol b-\boldsymbol a,\boldsymbol c-\boldsymbol a)=0$ は $\boldsymbol b-\boldsymbol a$ と $\boldsymbol c-\boldsymbol a$ が 1 次従属であることと同じで、これは 3 点が一直線上にあること（どれかのベクトルが $\boldsymbol 0$ の場合を含む）である。

3: 1 を各項に使うと、右辺は $\tfrac12\bigl[\det(\boldsymbol p,\boldsymbol a)+\det(\boldsymbol a,\boldsymbol b)+\det(\boldsymbol b,\boldsymbol p)+\det(\boldsymbol p,\boldsymbol b)+\det(\boldsymbol b,\boldsymbol c)+\det(\boldsymbol c,\boldsymbol p)+\det(\boldsymbol p,\boldsymbol c)+\det(\boldsymbol c,\boldsymbol a)+\det(\boldsymbol a,\boldsymbol p)\bigr]$ である。$\boldsymbol p$ を含む 6 項は $\det(\boldsymbol p,\boldsymbol a)+\det(\boldsymbol a,\boldsymbol p)=0$ のように 2 つずつ打ち消し合い、残りは $S(A,B,C)$ の 1 の式に一致する。

4: $S(A,B,C)+S(A,C,D)=\tfrac12\bigl[\det(\boldsymbol b-\boldsymbol a,\boldsymbol c-\boldsymbol a)+\det(\boldsymbol c-\boldsymbol a,\boldsymbol d-\boldsymbol a)\bigr]$。第 1 項は $-\det(\boldsymbol c-\boldsymbol a,\boldsymbol b-\boldsymbol a)$ なので、和は $\tfrac12\det(\boldsymbol c-\boldsymbol a,\ \boldsymbol d-\boldsymbol a-(\boldsymbol b-\boldsymbol a))=\tfrac12\det(\boldsymbol c-\boldsymbol a,\boldsymbol d-\boldsymbol b)$。

5: 平行移動で $A$ を原点に移し（平行移動で面積確定性と面積は変わらない。補題 6.1［重積分と累次積分］）、$\boldsymbol u=\boldsymbol b-\boldsymbol a$、$\boldsymbol v=\boldsymbol c-\boldsymbol a$ とおく。平行四辺形 $\Pi=\{s\boldsymbol u+t\boldsymbol v\mid0\le s,t\le1\}$ は面積確定で、その面積は $|\det(\boldsymbol u,\boldsymbol v)|$ である（補題 6.4［重積分と累次積分］）。$\Pi$ は $T=\{s+t\le1\}$ の部分（定理 5.4 の 4 により三角形）と $T'=\{s+t\ge1\}$ の部分に分かれ、$T\cap T'$ は線分で面積 $0$ である（補題 6.2［重積分と累次積分］）。写像 $\boldsymbol x\mapsto\boldsymbol u+\boldsymbol v-\boldsymbol x$ は $\Pi$ を $\Pi$ に、$T$ を $T'$ に移す。この写像は行列 $-I$（行列式 $1$）による変換と平行移動の合成なので、面積を変えない（命題 6.5［重積分と累次積分］）。したがって $|T|=|T'|$ で、$|\Pi|=|T|+|T'|-|T\cap T'|=2|T|$、すなわち $|T|=\tfrac12|\det(\boldsymbol u,\boldsymbol v)|=|S(A,B,C)|$ を得る。

∎

向きの記号 $S>0$（反時計回り）の意味は、$\boldsymbol a=(1,0)$、$\boldsymbol b=(0,1)$、$A=O$ として $S(O,A,B)=\tfrac12>0$ と確かめられます。$x$ 軸の正の向きから $y$ 軸の正の向きへ反時計回りに $\pi/2$ 進む配置が「反時計回り」です。

命題 6.3（回転行列の合成）✓

1. $R(\alpha)R(\beta)=R(\alpha+\beta)$。$R(0)=I$、$R(\theta)^{-1}=R(-\theta)=R(\theta)^{\mathsf T}$。
2. $R(\theta)\boldsymbol a\cdot R(\theta)\boldsymbol b=\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b$、$\det(R(\theta)\boldsymbol a,R(\theta)\boldsymbol b)=\det(\boldsymbol a,\boldsymbol b)$。とくに $|R(\theta)\boldsymbol a|=|\boldsymbol a|$。
3. $R(\theta)e(\varphi)=e(\varphi+\theta)$。ゼロでないベクトルは $\boldsymbol a=|\boldsymbol a|\,e(\varphi)$ と書ける。

証明（命題 6.3）

1: 行列の積は線形写像の合成に対応する（定理 4.2［行列と連立一次方程式］）。直接計算すると、積の $(1,1)$ 成分は $\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$、$(2,1)$ 成分は $\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ で、加法定理（定理 6.4［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］）により $\cos(\alpha+\beta)$、$\sin(\alpha+\beta)$ に等しい。第 2 列も同様に $-\sin(\alpha+\beta)$、$\cos(\alpha+\beta)$ となる。$R(0)=I$ は明らか、$R(\theta)R(-\theta)=R(0)=I$ から逆行列が $R(-\theta)$ で、これは成分を見れば転置 $R(\theta)^{\mathsf T}$ に等しい。

2: $R(\theta)^{\mathsf T}R(\theta)=I$ なので $R(\theta)\boldsymbol a\cdot R(\theta)\boldsymbol b=(R(\theta)\boldsymbol a)^{\mathsf T}R(\theta)\boldsymbol b=\boldsymbol a^{\mathsf T}\boldsymbol b$。行列式は、列が $R(\theta)\boldsymbol a,R(\theta)\boldsymbol b$ の行列の行列式が $\det R(\theta)\cdot\det(\boldsymbol a\ \boldsymbol b)$ に等しく（定理 6.1［行列式とその性質］）、$\det R(\theta)=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ なので不変である。

3: $R(\theta)e(\varphi)=(\cos\theta\cos\varphi-\sin\theta\sin\varphi,\ \sin\theta\cos\varphi+\cos\theta\sin\varphi)=e(\varphi+\theta)$。後半は $\boldsymbol a/|\boldsymbol a|$ が単位円周上の点なので 定理 7.4［指数・対数・三角関数をきちんと定義する］ による。

∎

7. 距離の 2 乗の公式（Leibniz）

いくつかの点にそれぞれ重さがあるとき、動く点 $P$ から各点までの距離の 2 乗に重さを掛けて足した量が、重心 $G$ からの距離の 2 乗に直る、というのが次の公式です。$M$ は重さの合計です。たとえば $A=(0,0)$、$B=(2,0)$、重さ $1,1$ なら $G=(1,0)$、$M=2$ で、$P=(1,1)$ のとき左辺は $2+2=4$、右辺は $2\cdot1+(1+1)=4$ となって一致します。証明の鍵は、$P-A_i$ を「$P-G$」と「$G-A_i$」の 2 本に分けることです。重さを掛けて足すと、$P-G$ と $G-A_i$ が混ざる項が打ち消し合って消えます。

定理 7.1（重み付き距離の 2 乗の和（Leibniz の公式））✓

$A_1,\dots,A_n$ を平面の点、$m_1,\dots,m_n>0$ を重みとし、$M=\sum m_i$、$G=\dfrac{1}{M}\sum m_i\boldsymbol a_i$（重み付き重心）とする。任意の点 $P$ について

$$\sum_{i=1}^nm_i|P-A_i|^2=M\,|P-G|^2+\sum_{i=1}^nm_i|G-A_i|^2.$$

とくに、左辺は $P=G$ のときに最小で、最小にする点は $G$ だけである。

証明（定理 7.1）

$\boldsymbol p-\boldsymbol a_i=(\boldsymbol p-\boldsymbol g)+(\boldsymbol g-\boldsymbol a_i)$ なので 定理 4.1 の 3 から

$$|P-A_i|^2=|P-G|^2+2(\boldsymbol p-\boldsymbol g)\cdot(\boldsymbol g-\boldsymbol a_i)+|G-A_i|^2.$$

$m_i$ を掛けて足すと、交差項は $2(\boldsymbol p-\boldsymbol g)\cdot\sum m_i(\boldsymbol g-\boldsymbol a_i)=2(\boldsymbol p-\boldsymbol g)\cdot(M\boldsymbol g-\sum m_i\boldsymbol a_i)=0$ となり、主張の式を得る。最小性は、右辺の第 2 項が $P$ によらず、第 1 項が $M>0$ と 定理 4.1 の 2 により $P=G$ のときだけ $0$ になることから従う。

∎

系 7.2（等しい重みの場合と中線定理）✓

1. （中線定理）$M$ を $AB$ の中点とすると、任意の点 $P$ について $|PA|^2+|PB|^2=2|PM|^2+\tfrac12|AB|^2$。
2. $A_1,\dots,A_n$ の重心 $G$（重みがすべて $1$）について、$\sum_i|G-A_i|^2=\dfrac1n\sum_{i<j}|A_i-A_j|^2$。

証明（系 7.2）

1: $n=2$、$m_1=m_2=1$ として 定理 7.1 を使う。$G=M$、$|M-A|^2=|M-B|^2=\tfrac14|AB|^2$ なので、右辺は $2|PM|^2+\tfrac12|AB|^2$ である。

2: 定理 7.1 で $P=A_j$ とおくと $\sum_i|A_j-A_i|^2=n|A_j-G|^2+\sum_i|G-A_i|^2$。これを $j=1,\dots,n$ で足す。左辺は各対 $\{i,j\}$ を 2 回数えて $2\sum_{i<j}|A_i-A_j|^2$、右辺は $2n\sum_i|G-A_i|^2$ である。

∎

系 7.3（イギリス国旗の定理）✓

長方形 $ABCD$（$\boldsymbol b-\boldsymbol a=\boldsymbol c-\boldsymbol d$ かつ $(\boldsymbol b-\boldsymbol a)\cdot(\boldsymbol d-\boldsymbol a)=0$）と平面上の任意の点 $P$ について

$$|PA|^2+|PC|^2=|PB|^2+|PD|^2.$$

証明（系 7.3）

$\boldsymbol u=\boldsymbol b-\boldsymbol a$、$\boldsymbol v=\boldsymbol d-\boldsymbol a$ とおくと $\boldsymbol c=\boldsymbol a+\boldsymbol u+\boldsymbol v$ である。対角線 $AC$ と $BD$ の中点は $\boldsymbol a+\tfrac12(\boldsymbol u+\boldsymbol v)$ で一致し、これを $M$ とおく。$|AC|^2=|\boldsymbol u+\boldsymbol v|^2$、$|BD|^2=|\boldsymbol v-\boldsymbol u|^2$ で、$\boldsymbol u\cdot\boldsymbol v=0$ から 定理 4.1 の 3 より両者は $|\boldsymbol u|^2+|\boldsymbol v|^2$ に等しい。系 7.2 の 1 を $A,C$ と $B,D$ に使うと、どちらの辺も $2|PM|^2+\tfrac12(|\boldsymbol u|^2+|\boldsymbol v|^2)$ になる。

∎

定理 7.4（Varignon の定理）✓

四角形 $ABCD$（凸でなくてもよい。$A,B,C,D$ は任意の 4 点）の辺 $AB,BC,CD,DA$ の中点を順に $P,Q,R,U$ とする。このとき $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{UR}$、$\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PU}$ で、$PQRU$ は平行四辺形（つぶれていてもよい）である。さらに $S(P,Q,R,U)=\tfrac12S(A,B,C,D)$ で、$PQRU$ の面積は $ABCD$ の（符号付き）面積の半分である。

証明（定理 7.4）

$\boldsymbol q-\boldsymbol p=\dfrac{\boldsymbol b+\boldsymbol c}{2}-\dfrac{\boldsymbol a+\boldsymbol b}{2}=\dfrac{\boldsymbol c-\boldsymbol a}{2}$、$\boldsymbol r-\boldsymbol u=\dfrac{\boldsymbol c+\boldsymbol d}{2}-\dfrac{\boldsymbol d+\boldsymbol a}{2}=\dfrac{\boldsymbol c-\boldsymbol a}{2}$ なので $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{UR}$。同様に $\overrightarrow{QR}=\dfrac{\boldsymbol d-\boldsymbol b}{2}=\overrightarrow{PU}$。面積は 命題 6.2 の 4 を使う。$PQRU$ の対角線は $\boldsymbol r-\boldsymbol p=\tfrac12(\boldsymbol x+\boldsymbol y)$、$\boldsymbol u-\boldsymbol q=\tfrac12(\boldsymbol y-\boldsymbol x)$（$\boldsymbol x=\boldsymbol c-\boldsymbol a$、$\boldsymbol y=\boldsymbol d-\boldsymbol b$）で、$\det(\boldsymbol x+\boldsymbol y,\boldsymbol y-\boldsymbol x)=2\det(\boldsymbol x,\boldsymbol y)$ なので、$S(P,Q,R,U)=\tfrac12\cdot\tfrac14\cdot2\det(\boldsymbol x,\boldsymbol y)=\tfrac14\det(\boldsymbol x,\boldsymbol y)=\tfrac12S(A,B,C,D)$ である。

∎

定理 7.5（Euler の四辺形定理）✓

四角形 $ABCD$ の対角線 $AC,BD$ の中点をそれぞれ $M,N$ とすると

$$|AB|^2+|BC|^2+|CD|^2+|DA|^2=|AC|^2+|BD|^2+4|MN|^2.$$

証明（定理 7.5）

系 7.2 の 1 を $A,C$ と $P=B$、$P=D$ に使うと $|BA|^2+|BC|^2=2|BM|^2+\tfrac12|AC|^2$、$|DA|^2+|DC|^2=2|DM|^2+\tfrac12|AC|^2$。足して

$$|AB|^2+|BC|^2+|CD|^2+|DA|^2=2(|BM|^2+|DM|^2)+|AC|^2.$$

次に 系 7.2 の 1 を $B,D$ と $P=M$ に使うと $|MB|^2+|MD|^2=2|MN|^2+\tfrac12|BD|^2$ なので、代入して主張を得る。

∎

$ABCD$ が平行四辺形なら $M=N$ なので $|AB|^2+|BC|^2+|CD|^2+|DA|^2=|AC|^2+|BD|^2$（平行四辺形の対角線の 2 乗の和は 4 辺の 2 乗の和に等しい）です。長方形ならさらに $|AC|=|BD|$ で、これが直角三角形の三平方の定理に相当します。

ノート

高校での説明。 高校では、内積を $|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\cos\theta$ で定義して $\theta$ を図で与え、成分表示との一致を「余弦定理から」示します。余弦定理は三角形の合同条件・三平方の定理に根を持つので、これでは幾何を先に前提にしてしまいます。この章では順序を逆にしました。成分で内積を定義し、角のほうを内積の比から定めたので、以降の章で余弦定理を「内積の展開」として証明できます（定理 3.1［三角比と三角形の計量］）。

8. 大学ではどこへ続くか

• ベクトル空間と内積空間（ベクトル空間、内積空間）。命題 3.1 は基底と次元の不変性の $n=2$ の場合、定理 4.1 の 5・6 は内積空間の一般論の特別な場合です。内積からノルムと角を定める流れは、関数の空間のような無限次元でも同じです。
• 行列式と体積（行列式）。命題 6.2 は 2 次の行列式が符号つきの面積であるという事実で、次元を上げると 3 次の行列式が体積になります。空間ベクトルの章で再び使います。
• 直交群と回転（スペクトル定理）。$R(\theta)$ の全体は積に関して群をなし、命題 6.3 はその群が可換で $\theta$ が加法的に合成されることを述べています。距離を保つ写像の全体は、次の章で「直交行列と平行移動」として群の作用の言葉になります。

9. 演習

演習 9.1標準

三角形 $OAB$ に対し、$\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$ とおく。実数 $s,t$ が $s\ge0$、$t\ge0$、$1\le s+t\le2$ を動くとき、点 $P$ の動く範囲の面積は三角形 $OAB$ の面積の何倍か。

解答

$s,t\ge0$、$s+t\le2$ の範囲は、$\overrightarrow{OA'}=2\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB'}=2\overrightarrow{OB}$ とした三角形 $OA'B'$ である（定理 5.4 の 4 で $A,B$ を $A',B'$ に取り替えたもの。$s'=s/2$、$t'=t/2$ とおけば $s',t'\ge0$、$s'+t'\le1$ になる）。$\boldsymbol a'=2\boldsymbol a$、$\boldsymbol b'=2\boldsymbol b$ なので $S(O,A',B')=\tfrac12\det(2\boldsymbol a,2\boldsymbol b)=4S(O,A,B)$ で、面積は 4 倍である（命題 6.2）。$s+t<1$ の範囲（三角形 $OAB$）を除いた残りが求める範囲で、面積は $4-1=3$ 倍である。

演習 9.2易

$|\boldsymbol a|=2$、$|\boldsymbol b|=3$、$\angle(\boldsymbol a,\boldsymbol b)=\pi/3$ のとき、$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|$ と $|2\boldsymbol a-\boldsymbol b|$ を求めよ。

解答

$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=2\cdot3\cos(\pi/3)=3$（定義 4.2 による）。定理 4.1 の 3 から $|\boldsymbol a+\boldsymbol b|^2=4+2\cdot3+9=19$ なので $|\boldsymbol a+\boldsymbol b|=\sqrt{19}$。$|2\boldsymbol a-\boldsymbol b|^2=4\cdot4-4\cdot3+9=13$ なので $|2\boldsymbol a-\boldsymbol b|=\sqrt{13}$。

演習 9.3標準

辺の長さが $3,4,5$ の三角形 $ABC$ の重心を $G$ とするとき、$|GA|^2+|GB|^2+|GC|^2$ を求めよ。また、任意の点 $P$ について $|PA|^2+|PB|^2+|PC|^2$ が最小となる点とその最小値を答えよ。

解答

系 7.2 の 2 から $|GA|^2+|GB|^2+|GC|^2=\tfrac13(9+16+25)=\tfrac{50}{3}$。定理 7.1 で重みをすべて $1$ とすると $|PA|^2+|PB|^2+|PC|^2=3|PG|^2+\tfrac{50}{3}$ なので、最小になるのは $P=G$ のときで、最小値は $\tfrac{50}{3}$ である。

演習 9.4標準

$A=(0,0)$、$B=(2,0)$ とする。$ABC$ が正三角形で、$A,B,C$ がこの順に反時計回りとなるように点 $C$ を定めよ。$\cos(\pi/3)=1/2$、$\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$ を使ってよい。

解答

$C$ は $B$ を $A$ のまわりに反時計回りに $\pi/3$ 回転した点である。$|AC|=|AB|=2$ と $\angle BAC=\pi/3$ から $|BC|^2=|AB|^2+|AC|^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4+4-2\cdot2\cdot2\cos(\pi/3)=4$ なので 3 辺が等しい。$\boldsymbol c=R(\pi/3)\boldsymbol b=\bigl(2\cdot\tfrac12,\ 2\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr)=(1,\sqrt3)$。$S(A,B,C)=\tfrac12\det((2,0),(1,\sqrt3))=\sqrt3>0$ なので反時計回りである（命題 6.3 の 2 により回転は向きを保つ）。

参考文献

• 斎藤正彦『線型代数入門』東京大学出版会、1966 — ベクトル空間・内積・行列式の標準的な扱い。
• H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer, Geometry Revisited, Mathematical Association of America, 1967 — 第 1 章（三角形に関する点と直線）と第 3 章（共線と共点）。ここで証明した公式は、後の章で使う初等幾何の定理の土台になる。
• Robin Hartshorne, Geometry: Euclid and Beyond, Springer, 2000 — 公理から平面幾何を組み立てる立場（この章は座標から組み立てる立場をとった）。
• Marcel Berger, Geometry I, Springer, 1987 — アフィン空間・ユークリッド空間・等長変換の扱い。