点の存在範囲と凸結合

定理 5.4（「平面ベクトルと座標」§5）・ ✓公理まで証明済み

$A\ne B$ のとき、直線 $AB$ は $\{(1-t)\boldsymbol a+t\boldsymbol b\mid t\in\mathbb{R}\}$ であり、線分 $AB$ はそのうち $0\le t\le1$ の部分である。 $\operatorname{conv}\{A,B\}$ は線分 $AB$ である。
任意の 3 点 $A,B,C$ について $\operatorname{conv}\{A,B,C\}=\{\alpha\boldsymbol a+\beta\boldsymbol b+\gamma\boldsymbol c\mid\alpha,\beta,\gamma\ge0,\ \alpha+\beta+\gamma=1\}.$
$A,B,C$ が一直線上にないとき、平面の点 $P$ を $P=\alpha\boldsymbol a+\beta\boldsymbol b+\gamma\boldsymbol c$ （ $\alpha+\beta+\gamma=1$ ）と書く書き方はただ 1 通りである（ $(\alpha,\beta,\gamma)$ を $P$ の重心座標という）。
$\boldsymbol a,\boldsymbol b$ が 1 次独立で $P=O+s\boldsymbol a+t\boldsymbol b$ のとき、 $(s,t)$ は $P$ から一意に決まり、次が成り立つ。 $P$ が直線 $AB$ 上にある $\iff s+t=1$ 。線分 $AB$ 上にある $\iff s+t=1$ かつ $s,t\ge0$ 。三角形 $OAB$ （周と内部）に含まれる $\iff s,t\ge0$ かつ $s+t\le1$ 。 $O,A,B$ とそれらを頂点にもつ平行四辺形（周と内部）に含まれる $\iff0\le s,t\le1$ 。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 2 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。