符号付き面積の性質と三角形の面積

命題 6.2（「平面ベクトルと座標」§6）・ ✓公理まで証明済み

$S(A,B,C)=\tfrac12\bigl(\det(\boldsymbol a,\boldsymbol b)+\det(\boldsymbol b,\boldsymbol c)+\det(\boldsymbol c,\boldsymbol a)\bigr)$ 。したがって $S(A,B,C)=S(B,C,A)=S(C,A,B)=-S(B,A,C)$ 。
$S(A,B,C)=0\iff A,B,C$ が一直線上にある（または 2 点が一致する）。
任意の点 $P$ について $S(A,B,C)=S(P,A,B)+S(P,B,C)+S(P,C,A)$ 。
$S(A,B,C,D)=\tfrac12\det(\boldsymbol c-\boldsymbol a,\ \boldsymbol d-\boldsymbol b)$ 。
三角形 $ABC$ （定理 5.4 の $\operatorname{conv}\{A,B,C\}$ ）は面積確定で、その面積（重積分による面積（定義 5.1）［重積分と累次積分］）は $|S(A,B,C)|$ に等しい。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 32 件、定義なども含めて 42 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

1 次独立と成分表示の一意性✓命題 3.1・平面ベクトルと座標
平行移動と拡大による面積の変化✓補題 6.1・重積分と累次積分
- ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分
  - 長方形上の 2 重積分定義 3.2・重積分と累次積分
平行四辺形の面積は行列式の絶対値✓補題 6.4・重積分と累次積分
- 線分は面積 0✓補題 6.2・重積分と累次積分（上で展開済み）
- 平行四辺形は縦線集合であり、ずらしで面積は変わらない✓補題 6.3・重積分と累次積分
  - 縦線集合上の累次積分✓定理 5.6・重積分と累次積分（上で展開済み）
  - 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分（上で展開済み）
- 縦線集合上の累次積分✓定理 5.6・重積分と累次積分
  - 一般の有界領域上の重積分と面積確定定義 5.1・重積分と累次積分
  - 連続関数のグラフは面積 0✓補題 5.2・重積分と累次積分（上で展開済み）
  - 面積 0 の集合の被覆による特徴づけ✓補題 5.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
  - リーマンの可積分条件（ジョルダン版）✓命題 5.4・重積分と累次積分
    面積 0 の集合の被覆による特徴づけ✓補題 5.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
    有界閉長方形上の連続関数の一様連続性✓補題 3.1・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
    ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
  - フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分
    ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
    リーマンの可積分条件✓定理 3.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
- 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
    ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分
点の存在範囲と凸結合✓定理 5.4・平面ベクトルと座標
- 凸集合・凸包定義 5.3・平面ベクトルと座標
- 1 次独立と成分表示の一意性✓命題 3.1・平面ベクトルと座標
線分は面積 0✓補題 6.2・重積分と累次積分
- 多項式関数と有理関数の連続性✓系 5.2・極限と連続性
  - 極限の四則✓定理 4.2・極限と連続性
    関数の極限定義 3.1・極限と連続性
    収束すれば局所有界✓補題 4.1・極限と連続性この先をたどる →
- 連続関数のグラフは面積 0✓補題 5.2・重積分と累次積分
  - ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
- 面積 0 の集合の被覆による特徴づけ✓補題 5.3・重積分と累次積分
  - ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
一次変換による面積の拡大率✓命題 6.5・重積分と累次積分
- 平行四辺形の面積は行列式の絶対値✓補題 6.4・重積分と累次積分（上で展開済み）
- ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
- 平行移動と拡大による面積の変化✓補題 6.1・重積分と累次積分（上で展開済み）
- 線分は面積 0✓補題 6.2・重積分と累次積分（上で展開済み）
- 面積 0 の集合の被覆による特徴づけ✓補題 5.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
- 平行四辺形は縦線集合であり、ずらしで面積は変わらない✓補題 6.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
- 重積分の基本性質✓命題 3.6・重積分と累次積分
  - 長方形上の 2 重積分定義 3.2・重積分と累次積分
  - ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分（上で展開済み）
- 一般の有界領域上の重積分と面積確定定義 5.1・重積分と累次積分
- 長方形上の 2 重積分定義 3.2・重積分と累次積分

これを使っている定理証明で参照している 14 件

見込む角と円の内外✓補題 3.3・円の幾何
Ptolemy の第 2 定理✓定理 2.3・円の名定理
三角形の内角の和✓定理 5.4・合同と相似
等積変形と面積比✓命題 7.6・合同と相似
楕円に内接する三角形の最大面積✓定理 7.2・2 次曲線
靴ひも公式✓定理 7.2・図形と方程式
Sylvester–Gallai の定理✓定理 8.2・図形と方程式
Varignon の定理✓定理 7.4・平面ベクトルと座標
Pappus の六角形定理✓定理 3.2・共線と共点の名定理
半平面の共通部分としての凸多角形✓補題 6.3・立体の体積・球面・多面体
Menelaus の定理とその逆✓定理 6.1・三角形の五心とチェバ・メネラウスの定理
Viviani の定理✓定理 7.4・三角形の五心とチェバ・メネラウスの定理
三角形の面積公式✓定理 3.3・三角比と三角形の計量
Bretschneider の公式✓定理 7.2・三角比と三角形の計量

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