靴ひも公式

定理 7.2（「図形と方程式」§7）・ ✓公理まで証明済み

$P_1,\dots,P_n$ が反時計回りの凸位置にあるとき、凸 $n$ 角形 $K$ の面積は

m(K)=\frac12\sum_{i=1}^n\det(\boldsymbol p_i,\boldsymbol p_{i+1})\qquad(\boldsymbol p_{n+1}=\boldsymbol p_1)

である。座標では $\tfrac12\bigl|\sum(x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)\bigr|$ で、各項は「斜めにかけて引く」計算（靴ひもを交互に結ぶ形）である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 80 件、定義なども含めて 96 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

1 次独立と成分表示の一意性✓命題 3.1・平面ベクトルと座標
三角形の面積✓補題 7.1・図形と方程式
- 線形写像によるルベーグ測度の変換✓定理 3.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 並進不変性✓補題 3.1・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
  - 並進不変測度の一意性✓補題 3.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標
    開集合の 2 進立方体分解✓補題 2.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
    測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
  - 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質この先をたどる →
  - 正則行列は基本行列の積✓補題 3.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標
    逆行列の掃き出し法✓命題 8.7・行列と連立一次方程式この先をたどる →
    基本行変形の三つの性質✓補題 7.2・行列と連立一次方程式この先をたどる →
  - 基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質この先をたどる →
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
  - 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
  - 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
- 並進不変性✓補題 3.1・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 開集合の 2 進立方体分解✓補題 2.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
  - 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
- 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 区間の外測度✓命題 3.5・可測集合とルベーグ測度この先をたどる →
  - 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
符号付き面積の性質と三角形の面積✓命題 6.2・平面ベクトルと座標
- 1 次独立と成分表示の一意性✓命題 3.1・平面ベクトルと座標
- 平行移動と拡大による面積の変化✓補題 6.1・重積分と累次積分
  - ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分この先をたどる →
- 平行四辺形の面積は行列式の絶対値✓補題 6.4・重積分と累次積分
  - 線分は面積 0✓補題 6.2・重積分と累次積分（上で展開済み）
  - 平行四辺形は縦線集合であり、ずらしで面積は変わらない✓補題 6.3・重積分と累次積分この先をたどる →
  - 縦線集合上の累次積分✓定理 5.6・重積分と累次積分この先をたどる →
  - 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
- 点の存在範囲と凸結合✓定理 5.4・平面ベクトルと座標
  - 凸集合・凸包定義 5.3・平面ベクトルと座標
  - 1 次独立と成分表示の一意性✓命題 3.1・平面ベクトルと座標
- 線分は面積 0✓補題 6.2・重積分と累次積分
  - 多項式関数と有理関数の連続性✓系 5.2・極限と連続性この先をたどる →
  - 連続関数のグラフは面積 0✓補題 5.2・重積分と累次積分この先をたどる →
  - 面積 0 の集合の被覆による特徴づけ✓補題 5.3・重積分と累次積分この先をたどる →
- 一次変換による面積の拡大率✓命題 6.5・重積分と累次積分
  - 平行四辺形の面積は行列式の絶対値✓補題 6.4・重積分と累次積分（上で展開済み）
  - ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分この先をたどる →
  - 平行移動と拡大による面積の変化✓補題 6.1・重積分と累次積分（上で展開済み）
  - 線分は面積 0✓補題 6.2・重積分と累次積分（上で展開済み）
  - 面積 0 の集合の被覆による特徴づけ✓補題 5.3・重積分と累次積分この先をたどる →
  - 平行四辺形は縦線集合であり、ずらしで面積は変わらない✓補題 6.3・重積分と累次積分この先をたどる →
  - 重積分の基本性質✓命題 3.6・重積分と累次積分この先をたどる →
  - 一般の有界領域上の重積分と面積確定定義 5.1・重積分と累次積分
  - 長方形上の 2 重積分定義 3.2・重積分と累次積分

これを使っている定理証明で参照している 2 件

半平面の共通部分としての凸多角形✓補題 6.3・立体の体積・球面・多面体
多面体の球面への中心射影✓補題 6.5・立体の体積・球面・多面体

靴ひも公式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件