多面体の球面への中心射影

補題 6.5（「立体の体積・球面・多面体」§6）・ ✓公理まで証明済み

凸多面体 $P$ の内部に原点があるとする。

$\partial P$ の点 $\boldsymbol x$ に $\boldsymbol x/|\boldsymbol x|$ を対応させる写像 $\pi:\partial P\to S^2$ は全単射である。
$P$ の面 $F$ の扇形分割の三角形 $T=\{\xi_1\boldsymbol p+\xi_2\boldsymbol q+\xi_3\boldsymbol r\mid\xi_i\ge0,\ \sum\xi_i=1\}$ について、 $\pi(T)$ は球面三角形（頂点 $\hat{\boldsymbol p},\hat{\boldsymbol q},\hat{\boldsymbol r}$ ）である。
すべての面の扇形分割の三角形に対する像 $\pi(T)$ は $S^2$ を覆い、相異なる 2 つの像の共通部分は $\sigma$ 測度 $0$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 176 件、定義なども含めて 204 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

半平面・半空間の共通部分の基本性質✓補題 6.2・立体の体積・球面・多面体
- Cauchy–Schwarz の不等式（実数の列）✓定理 4.1・式と証明
  - 判別式で示す不等式✓命題 7.2・2 次関数
    平方完成✓補題 3.1・2 次関数この先をたどる →
  - 平方完成✓補題 3.1・2 次関数この先をたどる →
- 1 次独立と成分表示の一意性✓命題 3.1・平面ベクトルと座標
- 外積の基本性質✓補題 2.3・空間座標と空間ベクトル
  - 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質この先をたどる →
  - 多重線形性と交代性定義 4.1・行列式とその性質
  - グラム行列式✓系 5.3・行列の固有値評価と不等式この先をたどる →
  - コーシー・シュワルツの不等式✓定理 4.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
- 空間の基底✓命題 2.1・空間座標と空間ベクトル
  - 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質この先をたどる →
  - 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性
- 閉直方体はコンパクト✓補題 5.1・コンパクト性
  - 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
- コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性
  - 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
- ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
- ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性
  - ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
  - 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
- 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
コンパクトからハウスドルフへの連続全単射は同相✓系 6.5・コンパクト性
- コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性（上で展開済み）
- コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性
  - 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
- ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性（上で展開済み）
球面測度の回転不変性✓命題 6.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標
- 回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質この先をたどる →
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
球帯の面積（Archimedes）✓定理 4.2・立体の体積・球面・多面体
- S² の球面測度の球座標表示✓命題 6.10・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
- cos・sin の収束・対称性・導関数✓定理 6.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義するこの先をたどる →
- 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
- 逆三角関数定義 9.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
凸多面体の面の構造✓定理 6.4・立体の体積・球面・多面体
- 直線・平面・球面の方程式✓命題 3.1・空間座標と空間ベクトルこの先をたどる →
- 外積の基本性質✓補題 2.3・空間座標と空間ベクトル（上で展開済み）
- 空間の基底✓命題 2.1・空間座標と空間ベクトル（上で展開済み）
- 半平面の共通部分としての凸多角形✓補題 6.3・立体の体積・球面・多面体この先をたどる →
- 半平面・半空間の共通部分の基本性質✓補題 6.2・立体の体積・球面・多面体（上で展開済み）
靴ひも公式✓定理 7.2・図形と方程式
- 1 次独立と成分表示の一意性✓命題 3.1・平面ベクトルと座標
- 三角形の面積✓補題 7.1・図形と方程式この先をたどる →
- 符号付き面積の性質と三角形の面積✓命題 6.2・平面ベクトルと座標この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

頂点のまわりの角の和✓補題 6.6・立体の体積・球面・多面体
Euler の多面体定理✓定理 6.7・立体の体積・球面・多面体

多面体の球面への中心射影

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件