多重線形性と交代性

写像 $D : (\mathbb{K}^n)^n \to \mathbb{K}$、すなわち $n$ 個のベクトル $\boldsymbol{v}_1, \ldots, \boldsymbol{v}_n \in \mathbb{K}^n$ にスカラーを対応させる写像を考えます。

• $D$ が多重線形であるとは、各 $k$ について、他の変数を固定したとき $\boldsymbol{v}_k$ の関数として線形であること、つまり任意の $\boldsymbol{u}, \boldsymbol{w} \in \mathbb{K}^n$ と $c \in \mathbb{K}$ に対して $$\begin{aligned} D(\ldots, \boldsymbol{u} + \boldsymbol{w}, \ldots) &= D(\ldots, \boldsymbol{u}, \ldots) + D(\ldots, \boldsymbol{w}, \ldots), \\ D(\ldots, c\,\boldsymbol{u}, \ldots) &= c\, D(\ldots, \boldsymbol{u}, \ldots) \end{aligned}$$ が成り立つことをいいます（$\ldots$ の位置の変数は共通で固定されています）。
• $D$ が交代的であるとは、$i \ne j$ かつ $\boldsymbol{v}_i = \boldsymbol{v}_j$ ならば $D(\boldsymbol{v}_1, \ldots, \boldsymbol{v}_n) = 0$ となることをいいます。

$A = (\boldsymbol{a}_1\ \cdots\ \boldsymbol{a}_n)$ に対して $\det A = \det(\boldsymbol{a}_1, \ldots, \boldsymbol{a}_n)$ と見なし、$\det$ を列ベクトルの関数として扱います。