数学 › 高校数学：図形と幾何 › 立体の体積・球面・多面体

頂点のまわりの角の和

補題 6.6（「立体の体積・球面・多面体」§6） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 178 件、定義なども含めて 206 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 月形・扇形の面積✓補題 5.3・立体の体積・球面・多面体

  • 球面測度の回転不変性✓命題 6.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標

    • 回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標

      • 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質 この先をたどる →
      • 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質 この先をたどる →
      • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
• 多面体の球面への中心射影✓補題 6.5・立体の体積・球面・多面体

  • 半平面・半空間の共通部分の基本性質✓補題 6.2・立体の体積・球面・多面体

    • Cauchy–Schwarz の不等式（実数の列）✓定理 4.1・式と証明

      • 判別式で示す不等式✓命題 7.2・2 次関数 この先をたどる →
      • 平方完成✓補題 3.1・2 次関数 この先をたどる →
    • 1 次独立と成分表示の一意性✓命題 3.1・平面ベクトルと座標
    • 外積の基本性質✓補題 2.3・空間座標と空間ベクトル

      • 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質 この先をたどる →
      • 多重線形性と交代性定義 4.1・行列式とその性質
      • グラム行列式✓系 5.3・行列の固有値評価と不等式 この先をたどる →
      • コーシー・シュワルツの不等式✓定理 4.2・内積空間とグラム・シュミット直交化
    • 空間の基底✓命題 2.1・空間座標と空間ベクトル

      • 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質 この先をたどる →
      • 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換 この先をたどる →
  • ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性

    • 閉直方体はコンパクト✓補題 5.1・コンパクト性

      • 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
    • コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性

      • 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
    • ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
    • ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性 この先をたどる →
    • 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
  • コンパクトからハウスドルフへの連続全単射は同相✓系 6.5・コンパクト性

    • コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性（上で展開済み）
    • コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性

      • 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
    • ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性 この先をたどる →
  • 球面測度の回転不変性✓命題 6.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標（上で展開済み）
  • 球帯の面積（Archimedes）✓定理 4.2・立体の体積・球面・多面体

    • S² の球面測度の球座標表示✓命題 6.10・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
    • cos・sin の収束・対称性・導関数✓定理 6.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する この先をたどる →
    • 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分 この先をたどる →
    • 逆三角関数定義 9.2・指数・対数・三角関数をきちんと定義する
  • 凸多面体の面の構造✓定理 6.4・立体の体積・球面・多面体

    • 直線・平面・球面の方程式✓命題 3.1・空間座標と空間ベクトル この先をたどる →
    • 外積の基本性質✓補題 2.3・空間座標と空間ベクトル（上で展開済み）
    • 空間の基底✓命題 2.1・空間座標と空間ベクトル（上で展開済み）
    • 半平面の共通部分としての凸多角形✓補題 6.3・立体の体積・球面・多面体 この先をたどる →
    • 半平面・半空間の共通部分の基本性質✓補題 6.2・立体の体積・球面・多面体（上で展開済み）
  • 靴ひも公式✓定理 7.2・図形と方程式

    • 1 次独立と成分表示の一意性✓命題 3.1・平面ベクトルと座標
    • 三角形の面積✓補題 7.1・図形と方程式 この先をたどる →
    • 符号付き面積の性質と三角形の面積✓命題 6.2・平面ベクトルと座標 この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

• Euler の多面体定理✓定理 6.7・立体の体積・球面・多面体

関連するノック 1 問

• 高校数学（図形） 第 84 問