数学 › 線形代数学 › 行列の固有値評価と不等式

グラム行列式

系 5.3（「行列の固有値評価と不等式」§5）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を $n\times m$ 行列（ $m\le n$ ）とすると

\det(A^{*}A)=\sum_{S}|\det A_{S,[m]}|^2

（和は行の $m$ 個の部分集合）。とくに $A$ の階数が $m$ であることと、 $0$ でない $m$ 次小行列式が存在することは同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 15 件、定義なども含めて 17 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

コーシー・ビネの公式✓定理 5.2・行列の固有値評価と不等式
- 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質
  - 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質
    余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質この先をたどる →
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質この先をたどる →
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
  - 線形独立・生成系・基底定義 5.1・ベクトル空間と線形変換
  - 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
    取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
    次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質この先をたどる →
- 多重線形性と交代性定義 4.1・行列式とその性質
- 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質

これを使っている定理証明で参照している 1 件

外積の基本性質✓補題 2.3・空間座標と空間ベクトル