数学 › 線形代数学 › 行列式とその性質

行列式の特徴づけ

定理 4.2（「行列式とその性質」§4）・ ✓公理まで証明済み

$D : (\mathbb{K}^n)^n \to \mathbb{K}$ が多重線形かつ交代的であれば、任意の $\boldsymbol{v}_1, \ldots, \boldsymbol{v}_n \in \mathbb{K}^n$ に対して

D(\boldsymbol{v}_1, \ldots, \boldsymbol{v}_n) = D(\boldsymbol{e}_1, \ldots, \boldsymbol{e}_n) \cdot \det V, \qquad V = (\boldsymbol{v}_1\ \cdots\ \boldsymbol{v}_n)

が成り立ちます。とくに、多重線形・交代的で $D(\boldsymbol{e}_1, \ldots, \boldsymbol{e}_n) = 1$ を満たす写像は $\det$ ただ一つです。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 2 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
- 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質

これを使っている定理証明で参照している 7 件

基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質
余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質
余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質
積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質
列が一次従属なら行列式は 0✓補題 7.2・行列式とその性質
外積冪の基底✓定理 5.3・テンソル積と外積代数
Liouville の公式✓定理 2.3・線形微分方程式系

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