数学 › 線形代数学 › テンソル積と外積代数

外積冪の基底

定理 5.3（「テンソル積と外積代数」§5）・ ✓公理まで証明済み

$\dim V=n$ 、 $(\boldsymbol{e}_i)$ をその基底とする。 $1\le k\le n$ のとき

\boldsymbol{e}_{i_1}\wedge\cdots\wedge\boldsymbol{e}_{i_k}\qquad(1\le i_1<\cdots<i_k\le n)

は $\Lambda^kV$ の基底で、 $\dim\Lambda^kV=\dbinom{n}{k}$ である。 $k>n$ では $\Lambda^kV=0$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 6 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

外積の基本性質✓命題 5.2・テンソル積と外積代数
- 線形版の準同型定理✓定理 4.3・双対空間と商空間
  - 商空間定義 4.1・双対空間と商空間
- 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
- 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
- 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
  - 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質

これを使っている定理証明で参照している 2 件

外積冪の表現行列は小行列式✓命題 6.2・テンソル積と外積代数
行列式の内在的定義✓定理 6.3・テンソル積と外積代数

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